机械行业振动管理知识分析课件

机械振动机械振动机械振动第十七章vibrationmechanicalchapter17机械振动机械振动机械振动第十七章vibratio1本章内容本章内容Contentschapter17简谐振动的特征及其描述characteristicanddescribeofsimpleharmonicmotion简谐振动的能量energyofsimpleharmonicmotion

composeofsimpleharmonicmotion

简谐振动的合成本章内容本章内容Contentschapter17简谐振2第一节引言characteristicanddescribeof简谐振动的特征及描述简谐振动的特征及描述17-1sssssimpleharmonicmotion往复运动。如声源的振动、钟摆的摆动等。机械振动

物体在它的平衡位置附近所作的物体发生机械振动的条件：物体受到始终指向平衡位置的回复力；物体具有惯性。掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。简谐振动（simpleharmonicvibration)是最简单、最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振动的重要基础。这里主要讨论简谐振动。第一节引言characteristicanddes3动力学特征一、动力学特征两个典型模型：力或力矩的大小与质点的位置坐标或角位置坐标量值成正比并反号。共同特征：OOOO以物体受力为零的平衡位置为坐标原点Okm水平光滑面，弹簧劲度质量可忽略，物体质量物体在任一位置受的弹性力FFkx以铅垂方向为摆角参考轴线，OOOO单摆在任一角位置所受的重力矩为q则MmglqMmglsinq~sinq~q取摆幅很小（A）弹簧振子（B）单摆llqqmgmgMMXOOFFmFF正X向反X向xxxx00动力学特征一、动力学特征两个典型模型：力或力矩的大小与质点的4运动学特征二、运动学特征简谐振动的速度vdtdxxAsinw()wtj+简谐振动的加速度avddt2wcosA()wtj+2wx应用转动定律，同理也可求得单摆的角振动方程cos()wtj+0qqXFFmOOxxmFFkxFFaamFFxkm简谐振动微分方程xxddt22+kmx0km对于给定的弹簧振子为常量，其比值亦为常量。令w2km则aw2x即aw2x+0得Aj为微分方程求解时的积分常量，由系统的初始条件决定。简谐振动方程xxcosA()wtj+该微分方程的解通常表成余弦函数运动学特征二、运动学特征简谐振动的速度vdtdxxAsinw5续上简谐振动的加速度2wcosA()wtj+avddt2wxxxcosA()wtj+简谐振动的振动方程简谐振动的速度vdtdxxAsinw(wtj+)0AAXv最大a0a最大v0a最大v0tttXvaOOOAA2wAw续上简谐振动的加速度2wcosA()wtj+avddt2wx6简谐振动参量三、描述简谐振动的物理量XOOAAxOxOxOxOOvOv振幅：的最大绝对值Axx周期T：完成一次振动需时频率nT1：n角频率w：w2pn弹簧振子wmk单摆glwxxcosA()wtj+,()wtj+vAsinw相位：F()wtj+是界定振子在时刻的运动状态的物理量t运动状态要由位置和速度同时描述，而和的正负取决于

vxxvFtO，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。所谓时质点的运动状态xxcosAjOvAsinwjO位置速度tO初始条件即为初相：jtO是时，振子的相位。简谐振动参量三、描述简谐振动的物理量XOOAAxOxOxOx7续上由和求给定振子的振幅xxOvOAAxxO2+w2vO2cosAjxxOAsinwjvO消去得j初相j由和求给定振子的xxOvOcosAjxxOAsinwjvOA消去得tanjvOwxxO

但由于在0~2p范围内，同一正切值对应有两个值，因此，还必须再根据和的正负进行判断。联系振子运动状态jxxOvO直观图不难作出判断且vO0xxO0若则j2p0xxO0若X0且vO0则jp32p且vO0xxO0若则j2pp且vO0xxO0若则jpp3vOvOxxOvOxxOvO（第一象限）（第二象限）（第三象限）（第四象限）22AA续上由和求给定振子的振幅xxOvO8旋转矢量法OOAAXXOjM(0)Aj初相wM(

t

)twtwM(

t

)twM(

t

)twM(

t

)M(

t

)twM(

t

)twM(T

)Tw周期

T四、简谐振动的旋转矢量图示法M(

t

)twM(

t

)twXOjM(0)j初相M(

t

)twAw矢量端点在X轴上的投影对应振子的位置坐标OOt时刻的振动相位(wt﹢j)F旋转矢量A以匀角速w逆时针转动循环往复x=A

cos(wt﹢j)简谐振动方程旋转矢量法OOAAXXOjM(0)Aj初相wM(t9续上旋转矢量端点M

作匀速圆周运动振子的运动速度（与X轴同向为正）vwA其速率MvvcosqvcosbwAsinvFsinjtw+()MMMAXOAAXOvwMFqbvvjtw+()F2pbObpqanMa旋转矢量端点M的加速度为法向加速度，其大小为anw2A振子的运动加速度（与X轴同向为正）w2AaancosFcosjtw+()和av任一时刻的和值，其正负号仅表示方向。va同号时为加速va异号时为减速续上旋转矢量端点M作匀速圆周运动振子的运动速度（与X10例一例已知mXt()sO)(0.040.0412简谐振动的X~t曲线完成下述简谐振动方程cos()x+t解法提要A=0.04(m)T=2(s)w

=

2p/T

=p(rad/s)cos()x+t0.04pp2XOAwjM(0(=p/2t=0v00从t=0作反时针旋转时，A矢端的投影从x=0向X轴的负方运动，即，与已知X~

t曲线一致。v00(SI(例一例已知mXt()sO)(0.040.0412简谐振动的X11例

试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。fxk()+rlrlmgXOf0平衡点mgxfmm在受力平衡点m小球f0mgkrl受弹性力大小选取受力平衡点作为位置坐标原点小球在为置坐标处所受弹性力xkxkrl+krlFmgxk()+rl+合外力振动方程xcosA()wtj+kxx动力学方程mddtx22k0k+微分方程ddtx22mx的解：均与水平弹簧振子结果相同解法提要例二例试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标12例三例已知弹簧振子x0

=0t=0时v0=0.4m·s-1m=5×10-3

kgk=2×10-4

N·m

-1

完成下述简谐振动方程cos()x+tv00wmk0.2(rad·s–1)A+x02v02w22(m)x0

=0,已知OXjwM(0(p23相应的旋转矢量图为cos()x+t20.2p23(SI)解法提要v00例三例已知弹簧振子x0=0t=0时v0=0.413例四已知求例某物体沿

X轴作简谐运动，振幅

A

=

0.12m，周期

T

=

2s，t=

0

时x0

=

0.06m处初相

j

,t=

0.5s

时的位置

x,速度

v,加速度a物体背离原点移动到位置A

=

0.12m，T

=

2s,w

=

2p/T=

prad·s-1,将j=p/3rad及t=

0.5s代入谐振动的

x,v,a定义式得x

A

cos(wt﹢j

)0.104(m)vdtdxxAsinw()wtj+0.19(

m·s-1)avddt2wcosA()wtj+2wx1.03(

m·s-2)解法提要x=

A

cos(wt﹢j

)由简谐振动方程t=

0

时0.06=0.12cosj

得j=±p/3再由题意知t=

0

时物体正向运动，即AsinwjvO0xxOO且vOOj=p/3，则j在第四象限，故取例四已知求例某物体沿X轴作简谐运动，振幅A=0.114例五已知例周期均为

T

=

8.5s用旋转矢量法求两质点振动相位差两质点第一次通过平衡点的时刻两质点1、2同在X轴上作简谐振动t=

0

时

在处

质点2

22AA向平衡点运动质点1在处向平衡点运动振幅A相同解法提要j0x10Acosj122Acosj122j14p或134px10因且v010在第一象限应取j14p12x0AcosA2j2jpcos2j,js两质点振动相位差jj134pww1j2j21OX2x0x10v01v02A1A2w2pT从旋转矢量图可以看出：时，质点1第一次通过平衡点A1转过4pTw1t4p1t4pw8,1.06(s)A2转过p2时，质点2第一次通过平衡点Twtp1t4pw,2.13(s)222例五已知例周期均为T=8.5s用旋转矢量法求两质点振15第二节振动能量17-2ssss简谐振动的能量简谐振动的能量energyofsimpleharmonicmotion

（以x=0处为零势点）系统的动能12Ekmv212mAsinw()wtj+222系统的势能12212A()wtj+22Epkxxkcos系统的机械能E+EkEp12mw2A212kA2振子运动速度xxcosA()wtj+vAsinw()wtj+简谐振动方程振动系统：

kmw弹簧劲度振子质量振动角频率mk如水平弹簧振子EkEp均随时间而变且能量相互转换EkEp变到最大时变为零EpEk系统的机械能E守恒。E8w2及A2特点变为零变到最大时EkEpEEk+Ep时间0能量简谐振动的能量简谐振动的能量第二节振动能量17-2ssss简谐振动的能量简谐振16例六动能12Ekmv212mAsin()wtj+w222

势能12A()wtj+22Ep122kxxkcos解法提要当时EpEkmw2ktan2()wtj+则w2mk其中得EpEktan2()wtj+EpEktan2()wtj+1振动相位,tan()wtj+1F()wtj+p34或4p+++例一水平弹簧振子弹簧劲度k振子质量m振幅

A已知求沿X轴振动当振动系统的以平衡点为原点位置坐标x相等时动能值与势能值振子的xxcosA()wtj+代入中，解得xx22A+X0Ep122kxxEkEpE+AA12E22A22AEpEk能量位置例六动能12Ekmv212mAsin()wtj+w222势17例七求该摆动系统的机械能守恒数学表达式该摆的运动学微分方程及摆动周期动能

刚体（直棒）转动动能

势能

系统的重力势能12Ek2Iw12I(ddtq(216mL2(ddtq(2以垂态直棒中心点C

为重力零势点解法提要EpmgL21)1)cosqmgL21)1)qsin12~~mgL21)1)1q2mgL21~~21q24mgLq2令2w23gL机械能E+EkEp16mL2(ddtq(24mgLq2+1机械能守恒，即为恒量，EddtE0即31mL2ddtq2ddtq2+21mgLqddtq0ddtE2ddtq2+23gLq0,得简谐角振动微分方程2ddtq2+q02wTp2wp223gL该摆的振动周期例匀质细直悬棒质量m、长

L已知在铅直面内摆动摆幅很小转动惯量I1mL23qL21mgCO例七求该摆动系统的机械能守恒数学表达式该摆的运动学微分方程及18随堂小议（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（4）4E1。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，则其总能量将变为随堂小议随堂小议（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（4）19小议链接1（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（4）4E1。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，则其总能量将变为随堂小议小议链接1（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（420小议链接2（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（4）4E1。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，则其总能量将变为随堂小议小议链接2（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（421小议链接3（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（4）4E1。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，则其总能量将变为随堂小议小议链接3（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（422小议链接4（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（4）4E1。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，则其总能量将变为随堂小议小议链接4（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（423第三节振动合成17-3ssss简谐振动的合成简谐振动的合成composeofsimpleharmonicmotion

简谐振动的合成同频率同方向一、两个xx1cos()wt+A1j1cos()wt2j+A2xx2且

相同w同在

X

轴合成振动xx1xx2xx+用旋转矢量法可求得合成振动方程xx22yOX1Aj1wA2w2j2jwAjjxx1y1yxx)xxcos()wtj+AAA12+A222A1A2cos(2jj1+j12arctanyxarctany+yx1+x2arctanA1cossinj1+A2sin2jA1j1+A2cos2jj与计时起始时刻有关合成初相分振动初相差j12j与计时起始时刻无关，但它对合成振幅属相长还是相消合成起决定作用A第三节振动合成17-3ssss简谐振动的合成简谐振24续上简谐振动同频率同方向两个A合成振幅的讨论xx1cos()wt+A1j1cos()wt2j+A2xx2合振动分振动；xxAcos()wt+jAcos)(2jj1A12+A222A1A2+其中，合振幅2jj1若2p+k0()21,k,,...则cos2jj1()1AA12+A222A1A2++A2为合振幅可能达到的最大值若A1A1A2则AA12,若2jj1为其它值，则处于AA2A1A2A1+与之间若2jj10()21,k,,...则cos2jj1()1AA12+A222A1A2为合振幅可能达到的最小值若A1A2则A2p+k(+1)A2A10,续上简谐振动同频率同方向两个A合成振幅的讨论xx1cos()25例八求xx1cos()t+01p530.05cos()t+xx2011p50.06cos()t+010.07j3例已知简谐振动(SI)(SI)(SI)xx3A合成的和jxx2xx1+j3xx1+xx3合成的最大时A？j3合成的最小时A？+xx3xx2解法提要)AA12+A222A1A2cos(2jj1+8.92×10–2(m)jarctanA1cossinj1+A2sin2jA1j1+A2cos2jarctan0.92868°12′248°12′(舍去）A1A2AXOj2j1p5j1p53,时j3j3当2j1p52p+k(+1)得0()21,k,,...合成的

达到最小A+xx3xx2,j3p52p+k(+1)j3j1j3p532p+k当时xx1+xx3合成的

达到最大A得j3p532p+k0()21,k,,...例八求xx1cos()t+01p530.05cos()t+x26振动合成二简谐振动的合成不同频率同方向二、两个为了突出重点，设两分振动的振幅相等且初相均为零。+合振动xx1xx2xx+xx1Acoswt1coswt2Axx22pnAcost12pnAcost22pnAcost12pnAcost2此合振动不是简谐振动，一般比较复杂，只介绍一种常见现象：A2t2pcosn1+n222pcosn1n22tn1n22+频率为的简谐振动频率为的简谐振动n1n22振动合成二简谐振动的合成不同频率同方向二、两个为了突出重27续上tttn1385Hzn2383Hz听到的音频n384Hz强度节拍性变化n2Hz若n2n1与相差不大，n1n2n1+n2xxA2t2pcosn1+n222pcos2n1n2t可看作呈周期性慢变的振幅合振动频率相对较高的简谐振动n1+n221秒tA2ttAA9Hzn1n28Hz合振动振幅（包络线）变化的频率称为两分振动的频率nn1n21Hz“

拍频

”合振动频率n8.5Hz()()()()例如：续上tttn1385Hzn2383Hz听到的音频n38428振动合成三简谐振动的合成同频率三、两个相互垂直xxcos()wt+A1j1cos()wt2j+A2y消去

t得轨迹方程：2+xxA12y2A222A1A2xxycos()2jj1sin()2jj12该方程为椭圆的普遍方程，若2jj10或yA2A1xx得直线2p+k(),...21k,2jj1或yA2A1xx得直线若+p2p+k(),...21k,(+1)若介绍几种特殊情况：2jj1p2+得正椭圆2+xxA12y2A221振动合成三简谐振动的合成同频率三、两个相互垂直xxcos29续上A1YA2XOA1A2XOY2jj102j0j102jj1p直线直线两个同频率相互垂直简谐振动合成图线举例：A1A2XOYXOYA2A1正椭圆正椭圆2jj1p22jp2j10p232jj102jj1pp23或21A1YA2XOA1A2XOY2jj1p32jj1p23斜椭圆斜椭圆2jp3j102jp32j102jpj10续上A1YA2XOA1A2XOY2jj102j0j102jj30振动合成四简谐振动的合成不同频率四、两个相互垂直xxcos()t+A1j1cos()t2j+A2yw2w1其合运动一般较复杂，且轨迹不稳定。但当为两个简单的整数之比时w2w1可以得到稳定轨迹图形，称为李萨如图形w1w22113322jj1p2pp234p4p5例如振动合成四简谐振动的合成不同频率四、两个相互垂直xxcos(31随堂小议结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议（1）0；（2）4cm；（4）8cm。

两个同方向同频率的谐振动，振动方程为x1=6×10-2cos(5t+),x2=2×10-2sin(π

–5t)2π

则其合振动的振幅为（3）4cm；52随堂小议结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议（32小议链接1（1）0；（2）4cm；（4）8cm。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案

两个同方向同频率的谐振动，振动方程为随堂小议x1=6×10-2cos(5t+),x2=2×10-2sin(π

–5t)2π

则其合振动的振幅为谐振动（3）4cm；52小议链接1（1）0；（2）4cm；（4）8cm。结束选33小议链接2（1）0；（2）4cm；（4）8cm。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案

两个同方向同频率的谐振动，振动方程为随堂小议x1=6×10-2cos(5t+),x2=2×10-2sin(π

–5t)2π

则其合振动的振幅为谐振动（3）4cm；52小议链接2（1）0；（2）4cm；（4）8cm。结束选34小议链接3（1）0；（2）4cm；（4）8cm。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案

两个同方向同频率的谐振动，振动方程为随堂小议x1=6×10-2cos(5t+),x2=2×10-2sin(π

–5t)2π

则其合振动的振幅为谐振动（3）4cm；52小议链接3（1）0；（2）4cm；（4）8cm。结束选35小议链接4（1）0；（2）4cm；（4）8cm。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案

两个同方向同频率的谐振动，振动方程为随堂小议x1=6×10-2cos(5t+),x2=2×10-2sin(π

–5t)2π

则其合振动的振幅为谐振动（3）4cm；52小议链接4（1）0；（2）4cm；（4）8cm。结束选36作业HOMEWORK17-917-1617-1917-22作业HOMEWORK17-917-161737选讲：阻尼振动阻尼振动阻尼振动称为阻尼振动或衰减振动tXO振幅逐渐衰减的振动形成阻尼振动的原因：振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。以第一种原因为例，建立阻尼振动的力学模型。X选讲：阻尼振动阻尼振动阻尼振动称为阻尼振动或38续上以液体中的水平弹簧振子为例：XOOxx摩擦阻力vvfrfrffmm弹性力振动速度不太大时受g：阻力系数摩擦阻力vgfr与反向v负号：fr弹性力fkxx振子受m合外力Fkxxvgkxxgddtxmddtx22即ddtx22xxddtxkmgm令kmw02gmb2+w0称为振动系统的固有角频率得ddtx22b2ddtx+w02xx0b称为阻尼系数若阻尼较弱，且w0b时，上述微分方程的解为A0exxbcos()wt+jt续上以液体中的水平弹簧振子为例：XOOxx摩擦阻力vvfrf39续上A0和j取决于初始状态。w为振动角频率，w02b2A0exxb)+jcos(wtt为阻尼振动的振幅，随时间的增大而指数衰减。A0ebttXOA0ebt)+jcos(wt本图设j0越大，振幅衰减越快，且振动周期越长。bTT2pTw周期w02b22pA0ebt续上A0和j取决于初始状态。w为振动角频率，w02b2A0e40续上相对较大的阻尼振动，其振幅衰减较快，但只要满足bbw0，振子仍可出现往复运动的特征，仍属阻尼振动。若阻尼过大，以致bw0，用此条件求解微分方程，其结果表明（数学表达从略）振子不能作往复运动，而是从开始的最大位置缓慢地回到平衡位置。此情况称为过阻尼。若bw0，振子从开始的最大位置较快地回到平衡位置，并处于往复运动的临界状态。此情况称为临界阻尼。临界阻尼w0b过阻尼w0bOXt阻尼振动w0b续上相对较大的阻尼振动，其振幅衰减较快，但41受迫振动振动系统振动系统受迫振动共振受迫振动共振

系统在周期性外力的持续作用下所作的等幅振动称为受迫振动。幅值角频率pH周期性外力（强迫力）costHp弹性力fxkmmvvX平衡点平衡点OO阻力阻力frfrvgvg示意建立动力学方程ddtx22xxddtxkmgcosHtp+ddtx22即+kmgmddtx+xxmHcostp表成ddtx22+b2ddtx+w02xxhcostp此微分方程的解为A0exxbcos()wt+jtd+cosA(+tp)受迫振动振动系统振动系统受迫振动共振受42续上A0exxbcos()wt+tdj+cosA(+tp)21阻尼振动等幅振动受迫振动进入稳定振动状态后，其振动角频率为强迫力的角频率，其振幅为pAh()4bpw02p22+22受迫振动与强迫力有一定的相位差，用初相表示jarctanjbp2w02p212tXOXOtA和j都与阻尼系数b固有角频率

的大小有关。w0强迫力角频率

相对于系统的p+受迫振动开始振动比较复杂经过一段时间后，受迫振动进入稳定振动状态。XOt12A续上A0exxbcos()wt+tdj+cosA(+tp)243续上ApObw00b较小b较大重点讨论受迫振动稳定状态时的振幅Ah)4bp(w02p22+22若强迫力的角频率已定，大则小。pbA若阻尼系数已定，当等于或接近b系统的固有角频率时，获得极大值。ApA令dd0p求得极大时的为Appw022b2受迫振动的振幅出现极大值的现象称为共振。共振时的振幅值为共振时的强迫力频率pw02b22称为共振频率Ahb2w022b续上ApObw00b较小b较大重点讨论受迫振动稳定状态时的振44机械振动机械振动机械振动第十七章vibrationmechanicalchapter17机械振动机械振动机械振动第十七章vibratio45本章内容本章内容Contentschapter17简谐振动的特征及其描述characteristicanddescribeofsimpleharmonicmotion简谐振动的能量energyofsimpleharmonicmotion

composeofsimpleharmonicmotion

简谐振动的合成本章内容本章内容Contentschapter17简谐振46第一节引言characteristicanddescribeof简谐振动的特征及描述简谐振动的特征及描述17-1sssssimpleharmonicmotion往复运动。如声源的振动、钟摆的摆动等。机械振动

物体在它的平衡位置附近所作的物体发生机械振动的条件：物体受到始终指向平衡位置的回复力；物体具有惯性。掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。简谐振动（simpleharmonicvibration)是最简单、最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振动的重要基础。这里主要讨论简谐振动。第一节引言characteristicanddes47动力学特征一、动力学特征两个典型模型：力或力矩的大小与质点的位置坐标或角位置坐标量值成正比并反号。共同特征：OOOO以物体受力为零的平衡位置为坐标原点Okm水平光滑面，弹簧劲度质量可忽略，物体质量物体在任一位置受的弹性力FFkx以铅垂方向为摆角参考轴线，OOOO单摆在任一角位置所受的重力矩为q则MmglqMmglsinq~sinq~q取摆幅很小（A）弹簧振子（B）单摆llqqmgmgMMXOOFFmFF正X向反X向xxxx00动力学特征一、动力学特征两个典型模型：力或力矩的大小与质点的48运动学特征二、运动学特征简谐振动的速度vdtdxxAsinw()wtj+简谐振动的加速度avddt2wcosA()wtj+2wx应用转动定律，同理也可求得单摆的角振动方程cos()wtj+0qqXFFmOOxxmFFkxFFaamFFxkm简谐振动微分方程xxddt22+kmx0km对于给定的弹簧振子为常量，其比值亦为常量。令w2km则aw2x即aw2x+0得Aj为微分方程求解时的积分常量，由系统的初始条件决定。简谐振动方程xxcosA()wtj+该微分方程的解通常表成余弦函数运动学特征二、运动学特征简谐振动的速度vdtdxxAsinw49续上简谐振动的加速度2wcosA()wtj+avddt2wxxxcosA()wtj+简谐振动的振动方程简谐振动的速度vdtdxxAsinw(wtj+)0AAXv最大a0a最大v0a最大v0tttXvaOOOAA2wAw续上简谐振动的加速度2wcosA()wtj+avddt2wx50简谐振动参量三、描述简谐振动的物理量XOOAAxOxOxOxOOvOv振幅：的最大绝对值Axx周期T：完成一次振动需时频率nT1：n角频率w：w2pn弹簧振子wmk单摆glwxxcosA()wtj+,()wtj+vAsinw相位：F()wtj+是界定振子在时刻的运动状态的物理量t运动状态要由位置和速度同时描述，而和的正负取决于

vxxvFtO，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。所谓时质点的运动状态xxcosAjOvAsinwjO位置速度tO初始条件即为初相：jtO是时，振子的相位。简谐振动参量三、描述简谐振动的物理量XOOAAxOxOxOx51续上由和求给定振子的振幅xxOvOAAxxO2+w2vO2cosAjxxOAsinwjvO消去得j初相j由和求给定振子的xxOvOcosAjxxOAsinwjvOA消去得tanjvOwxxO

但由于在0~2p范围内，同一正切值对应有两个值，因此，还必须再根据和的正负进行判断。联系振子运动状态jxxOvO直观图不难作出判断且vO0xxO0若则j2p0xxO0若X0且vO0则jp32p且vO0xxO0若则j2pp且vO0xxO0若则jpp3vOvOxxOvOxxOvO（第一象限）（第二象限）（第三象限）（第四象限）22AA续上由和求给定振子的振幅xxOvO52旋转矢量法OOAAXXOjM(0)Aj初相wM(

t

)twtwM(

t

)twM(

t

)twM(

t

)M(

t

)twM(

t

)twM(T

)Tw周期

T四、简谐振动的旋转矢量图示法M(

t

)twM(

t

)twXOjM(0)j初相M(

t

)twAw矢量端点在X轴上的投影对应振子的位置坐标OOt时刻的振动相位(wt﹢j)F旋转矢量A以匀角速w逆时针转动循环往复x=A

cos(wt﹢j)简谐振动方程旋转矢量法OOAAXXOjM(0)Aj初相wM(t53续上旋转矢量端点M

作匀速圆周运动振子的运动速度（与X轴同向为正）vwA其速率MvvcosqvcosbwAsinvFsinjtw+()MMMAXOAAXOvwMFqbvvjtw+()F2pbObpqanMa旋转矢量端点M的加速度为法向加速度，其大小为anw2A振子的运动加速度（与X轴同向为正）w2AaancosFcosjtw+()和av任一时刻的和值，其正负号仅表示方向。va同号时为加速va异号时为减速续上旋转矢量端点M作匀速圆周运动振子的运动速度（与X54例一例已知mXt()sO)(0.040.0412简谐振动的X~t曲线完成下述简谐振动方程cos()x+t解法提要A=0.04(m)T=2(s)w

=

2p/T

=p(rad/s)cos()x+t0.04pp2XOAwjM(0(=p/2t=0v00从t=0作反时针旋转时，A矢端的投影从x=0向X轴的负方运动，即，与已知X~

t曲线一致。v00(SI(例一例已知mXt()sO)(0.040.0412简谐振动的X55例

试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。fxk()+rlrlmgXOf0平衡点mgxfmm在受力平衡点m小球f0mgkrl受弹性力大小选取受力平衡点作为位置坐标原点小球在为置坐标处所受弹性力xkxkrl+krlFmgxk()+rl+合外力振动方程xcosA()wtj+kxx动力学方程mddtx22k0k+微分方程ddtx22mx的解：均与水平弹簧振子结果相同解法提要例二例试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标56例三例已知弹簧振子x0

=0t=0时v0=0.4m·s-1m=5×10-3

kgk=2×10-4

N·m

-1

完成下述简谐振动方程cos()x+tv00wmk0.2(rad·s–1)A+x02v02w22(m)x0

=0,已知OXjwM(0(p23相应的旋转矢量图为cos()x+t20.2p23(SI)解法提要v00例三例已知弹簧振子x0=0t=0时v0=0.457例四已知求例某物体沿

X轴作简谐运动，振幅

A

=

0.12m，周期

T

=

2s，t=

0

时x0

=

0.06m处初相

j

,t=

0.5s

时的位置

x,速度

v,加速度a物体背离原点移动到位置A

=

0.12m，T

=

2s,w

=

2p/T=

prad·s-1,将j=p/3rad及t=

0.5s代入谐振动的

x,v,a定义式得x

A

cos(wt﹢j

)0.104(m)vdtdxxAsinw()wtj+0.19(

m·s-1)avddt2wcosA()wtj+2wx1.03(

m·s-2)解法提要x=

A

cos(wt﹢j

)由简谐振动方程t=

0

时0.06=0.12cosj

得j=±p/3再由题意知t=

0

时物体正向运动，即AsinwjvO0xxOO且vOOj=p/3，则j在第四象限，故取例四已知求例某物体沿X轴作简谐运动，振幅A=0.158例五已知例周期均为

T

=

8.5s用旋转矢量法求两质点振动相位差两质点第一次通过平衡点的时刻两质点1、2同在X轴上作简谐振动t=

0

时

在处

质点2

22AA向平衡点运动质点1在处向平衡点运动振幅A相同解法提要j0x10Acosj122Acosj122j14p或134px10因且v010在第一象限应取j14p12x0AcosA2j2jpcos2j,js两质点振动相位差jj134pww1j2j21OX2x0x10v01v02A1A2w2pT从旋转矢量图可以看出：时，质点1第一次通过平衡点A1转过4pTw1t4p1t4pw8,1.06(s)A2转过p2时，质点2第一次通过平衡点Twtp1t4pw,2.13(s)222例五已知例周期均为T=8.5s用旋转矢量法求两质点振59第二节振动能量17-2ssss简谐振动的能量简谐振动的能量energyofsimpleharmonicmotion

（以x=0处为零势点）系统的动能12Ekmv212mAsinw()wtj+222系统的势能12212A()wtj+22Epkxxkcos系统的机械能E+EkEp12mw2A212kA2振子运动速度xxcosA()wtj+vAsinw()wtj+简谐振动方程振动系统：

kmw弹簧劲度振子质量振动角频率mk如水平弹簧振子EkEp均随时间而变且能量相互转换EkEp变到最大时变为零EpEk系统的机械能E守恒。E8w2及A2特点变为零变到最大时EkEpEEk+Ep时间0能量简谐振动的能量简谐振动的能量第二节振动能量17-2ssss简谐振动的能量简谐振60例六动能12Ekmv212mAsin()wtj+w222

势能12A()wtj+22Ep122kxxkcos解法提要当时EpEkmw2ktan2()wtj+则w2mk其中得EpEktan2()wtj+EpEktan2()wtj+1振动相位,tan()wtj+1F()wtj+p34或4p+++例一水平弹簧振子弹簧劲度k振子质量m振幅

A已知求沿X轴振动当振动系统的以平衡点为原点位置坐标x相等时动能值与势能值振子的xxcosA()wtj+代入中，解得xx22A+X0Ep122kxxEkEpE+AA12E22A22AEpEk能量位置例六动能12Ekmv212mAsin()wtj+w222势61例七求该摆动系统的机械能守恒数学表达式该摆的运动学微分方程及摆动周期动能

刚体（直棒）转动动能

势能

系统的重力势能12Ek2Iw12I(ddtq(216mL2(ddtq(2以垂态直棒中心点C

为重力零势点解法提要EpmgL21)1)cosqmgL21)1)qsin12~~mgL21)1)1q2mgL21~~21q24mgLq2令2w23gL机械能E+EkEp16mL2(ddtq(24mgLq2+1机械能守恒，即为恒量，EddtE0即31mL2ddtq2ddtq2+21mgLqddtq0ddtE2ddtq2+23gLq0,得简谐角振动微分方程2ddtq2+q02wTp2wp223gL该摆的振动周期例匀质细直悬棒质量m、长

L已知在铅直面内摆动摆幅很小转动惯量I1mL23qL21mgCO例七求该摆动系统的机械能守恒数学表达式该摆的运动学微分方程及62随堂小议（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（4）4E1。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，则其总能量将变为随堂小议随堂小议（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（4）63小议链接1（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（4）4E1。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，则其总能量将变为随堂小议小议链接1（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（464小议链接2（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（4）4E1。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，则其总能量将变为随堂小议小议链接2（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（465小议链接3（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（4）4E1。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，则其总能量将变为随堂小议小议链接3（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（466小议链接4（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（4）4E1。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，则其总能量将变为随堂小议小议链接4（1）E1/4；（2）E1/2；（3）2E1；（467第三节振动合成17-3ssss简谐振动的合成简谐振动的合成composeofsimpleharmonicmotion

简谐振动的合成同频率同方向一、两个xx1cos()wt+A1j1cos()wt2j+A2xx2且

相同w同在

X

轴合成振动xx1xx2xx+用旋转矢量法可求得合成振动方程xx22yOX1Aj1wA2w2j2jwAjjxx1y1yxx)xxcos()wtj+AAA12+A222A1A2cos(2jj1+j12arctanyxarctany+yx1+x2arctanA1cossinj1+A2sin2jA1j1+A2cos2jj与计时起始时刻有关合成初相分振动初相差j12j与计时起始时刻无关，但它对合成振幅属相长还是相消合成起决定作用A第三节振动合成17-3ssss简谐振动的合成简谐振68续上简谐振动同频率同方向两个A合成振幅的讨论xx1cos()wt+A1j1cos()wt2j+A2xx2合振动分振动；xxAcos()wt+jAcos)(2jj1A12+A222A1A2+其中，合振幅2jj1若2p+k0()21,k,,...则cos2jj1()1AA12+A222A1A2++A2为合振幅可能达到的最大值若A1A1A2则AA12,若2jj1为其它值，则处于AA2A1A2A1+与之间若2jj10()21,k,,...则cos2jj1()1AA12+A222A1A2为合振幅可能达到的最小值若A1A2则A2p+k(+1)A2A10,续上简谐振动同频率同方向两个A合成振幅的讨论xx1cos()69例八求xx1cos()t+01p530.05cos()t+xx2011p50.06cos()t+010.07j3例已知简谐振动(SI)(SI)(SI)xx3A合成的和jxx2xx1+j3xx1+xx3合成的最大时A？j3合成的最小时A？+xx3xx2解法提要)AA12+A222A1A2cos(2jj1+8.92×10–2(m)jarctanA1cossinj1+A2sin2jA1j1+A2cos2jarctan0.92868°12′248°12′(舍去）A1A2AXOj2j1p5j1p53,时j3j3当2j1p52p+k(+1)得0()21,k,,...合成的

达到最小A+xx3xx2,j3p52p+k(+1)j3j1j3p532p+k当时xx1+xx3合成的

达到最大A得j3p532p+k0()21,k,,...例八求xx1cos()t+01p530.05cos()t+x70振动合成二简谐振动的合成不同频率同方向二、两个为了突出重点，设两分振动的振幅相等且初相均为零。+合振动xx1xx2xx+xx1Acoswt1coswt2Axx22pnAcost12pnAcost22pnAcost12pnAcost2此合振动不是简谐振动，一般比较复杂，只介绍一种常见现象：A2t2pcosn1+n222pcosn1n22tn1n22+频率为的简谐振动频率为的简谐振动n1n22振动合成二简谐振动的合成不同频率同方向二、两个为了突出重71续上tttn1385Hzn2383Hz听到的音频n384Hz强度节拍性变化n2Hz若n2n1与相差不大，n1n2n1+n2xxA2t2pcosn1+n222pcos2n1n2t可看作呈周期性慢变的振幅合振动频率相对较高的简谐振动n1+n221秒tA2ttAA9Hzn1n28Hz合振动振幅（包络线）变化的频率称为两分振动的频率nn1n21Hz“

拍频

”合振动频率n8.5Hz()()()()例如：续上tttn1385Hzn2383Hz听到的音频n38472振动合成三简谐振动的合成同频率三、两个相互垂直xxcos()wt+A1j1cos()wt2j+A2y消去

t得轨迹方程：2+xxA12y2A222A1A2xxycos()2jj1sin()2jj12该方程为椭圆的普遍方程，若2jj10或yA2A1xx得直线2p+k(),...21k,2jj1或yA2A1xx得直线若+p2p+k(),...21k,(+1)若介绍几种特殊情况：2jj1p2+得正椭圆2+xxA12y2A221振动合成三简谐振动的合成同频率三、两个相互垂直xxcos73续上A1YA2XOA1A2XOY2jj102j0j102jj1p直线直线两个同频率相互垂直简谐振动合成图线举例：A1A2XOYXOYA2A1正椭圆正椭圆2jj1p22jp2j10p232jj102jj1pp23或21A1YA2XOA1A2XOY2jj1p32jj1p23斜椭圆斜椭圆2jp3j102jp32j102jpj10续上A1YA2XOA1A2XOY2jj102j0j102jj74振动合成四简谐振动的合成不同频率四、两个相互垂直xxcos()t+A1j1cos()t2j+A2yw2w1其合运动一般较复杂，且轨迹不稳定。但当为两个简单的整数之比时w2w1可以得到稳定轨迹图形，称为李萨如图形w1w22113322jj1p2pp234p4p5例如振动合成四简谐振动的合成不同频率四、两个相互垂直xxcos(75随堂小议结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议（1）0；（2）4cm；（4）8cm。