2022年湘教版九上《反比例函数图象与性质的综合应用》立体课件(公开课版)

学习目标1.理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.(重点、难点)2.能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.

(重

点、难点)3.体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力.(重点、难点)学习目标1.理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵1导入新课

反比例函数的图象是什么？反比例函数的性质与k有怎样的关系？反比例函数的图象是双曲线

当k>0时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；

当k<0时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.复习引入问题1

问题2

导入新课反比例函数的图象是什么？反比例函数的性质与k有2反比例函数解析式中k的几何意义一1.在反比例函数的图象上分别取点P，Q向

x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：

合作探究反比例函数解析式中k的几何意义一1.在反比例函数351234－15xyOPS1

S2

4

4S1=S2S1=S2=k－5－4－3－21432－3－2－4－5－1Q51234－15xyOPS1S244S1=S242.

若在反比例函数中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：4

4S1=S2S1=S2=－kyxOPQS1

S22.若在反比例函数中也44S5由前面的探究过程，可以猜想：

若点P是图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=|k|.由前面的探究过程，可以猜想：若点P是6yxOPS我们就k<0的情况给出证明：设点P的坐标为(a，b)AB∵点P(a，b)在函数的图象上，∴，即ab=k.∴S矩形AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；若点P

在第二象限，则a<0，b>0，若点P在第四象限，则a>0，b<0，∴S矩形AOBP=PB·PA=a·(－b)=－ab=－k.BPA综上，S矩形AOBP=|k|.自己尝试证明

k>0的情况.yxOPS我们就k<0的情况给出证明：设点P的坐7

点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作

QB垂直于x轴，矩形AOBQ

的面积与k的关系是

S矩形AOBQ=.推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是S△QAO=S△QBO=.Q对于反比例函数，AB|k|yxO归纳：反比例函数的面积不变性点Q是其图象上的任意一Q对于反比例函数8A.SA>SB>SCB.SA<SB<SCC.SA=SB=SCD.SA<SC<SB1.如图，在函数(x＞0)的图像上有三点A，B，

C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA，SB，SC，则()yxOABCC练一练A.SA>SB>SCB.SA<SB<92.如图，过反比例函数图象上的一点P，作PA⊥x轴于A.若△POA的面积为6，则k=

.－12提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意

k＜0.yxOPA2.如图，过反比例函数图象上的一103.

若点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别向

x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，若四边形

PMON的面积为3，则这个反比例函数的关系式是

.或3.若点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别向或11例1如图，P，C是函数(x>0)图像上的任意两点，过点P作x轴的垂线PA，垂足为A，过点C作x轴的垂线CD，垂足为D，连接OC交PA于点E.设△POA的面积为S1，则S1=

；梯形CEAD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1

S2；△POE的面积S3和S2的大小关系是S2

S3.典例精析2S1S2＞＝S3例1如图，P，C是函数(x>0)12

如图所示，直线与双曲线交于A，B两点，P是AB上的点，△AOC的面积S1、△BOD的面积S2、△POE的面积S3的大小关系为

.S1=S2<S3练一练解析：由反比例函数面积的不变性易知S1=S2.PE与双曲线的一支交于点F，连接OF，易知，S△OFE

=S1=S2，而S3＞S△OFE，所以S1，S2，S3的大小关系为S1=S2<S3FS1S2S3如图所示，直线与双曲线交于A，B两点，P13yDBACx例2

如图，点A是反比例函数(x＞0)的图象上任意一点，AB//x轴交反比例函数(x＜0)的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中点C，D在x轴上，则S平行四边形ABCD=___.325yDBACx例2如图，点A是反比例函数14

如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与x轴平行，且直线分别与反比例函数(x＞0)和(x＜0)的图象交于点P，Q，若△POQ的面积为8，则k=______.QPOxMy－10练一练如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与15例3

如图所示，点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在双曲线上，且x2－x1=4，y1－y2=2.分别过点A，B向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C，D，E，F，AC与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的解析式为

.解得k=6.∴双曲线的解析式为.解析：∵x2－x1=4，y1－y2=2，∴BG=4，AG=5，∴S△ABG=4×5÷2=10.由反比例函数面积的不变性可知，S长方形ACOE=S长方形BDOF=k.∴S五边形AEODB

=

S四边形ACOE+S四边形BDOF－S四边形FOCG+S△ABG=k+k－2+4=14.例3如图所示，点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在双16

如图，已知点A，B在双曲线上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为6，则k=

.24练一练EF解析：作AE⊥y轴于点E，BF⊥x

轴于点F.∵P

是AC的中点，∴S四边形OCPD=S四边形ACOE=S四边形BDOF

=k，S△ABP=S四边形BFCP，=(S四边形BDOF－S四边形OCPD)=(k－k)=k=6.∴k=24.如图，已知点A，B在双曲线17反比例函数与一次函数的综合二

在同一坐标系中，函数和y=k2x+b的图象大致如下，则k1

、k2、b各应满足什么条件？k2>0b>0k1>0k2>0b<0k1>0合作探究①xyOxyO②反比例函数与一次函数的综合二在同一坐标系中，18k2<0b<0k1<0k2<0b>0③xyOk1>0④xyOk2<0k1<0k2<0③xyOk1>0④xyO19

例4

函数y=kx－k与的图象大致是()

D.xyOC.yA.yxB.xyODOOk＜0k＞0×××√k＞0k＜0由一次函数增减性得k＞0由一次函数与y轴交点知－k＞0，则k＜0x提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数k，可对k的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.例4函数y=kx－k与20

在同一直角坐标系中，函数与y=ax+1(a≠0)的图象可能是()A.yxOB.yxOC.yxOD.yxOB练一练在同一直角坐标系中，函数21例5

如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数的图象，观察图象，当y1﹥y2时，x的取值范围为

.－23yx0

－2<x<0或x>3解析：y1﹥y2即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时.观察右图，可知－2<x<0或x>3.方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.例5如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数22练一练

如图，一次函数y1=k1x+b

(k1≠0)的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是

．－12yx0A

B

－1<x<0或x>2练一练如图，一次函数y1=k1x+b23例6

已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.由于这两个函数的图象交于点P(－3，4)，则点P(－3，4)是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个解析式.解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为

y=k1x和.

所以，.解得，.例6已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(24P则这两个函数的解析式分别为和，它们的图象如图所示.这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？想一想：P则这两个函数的解析式分别为和25

反比例函数的图象与正比例函数y=3x的图象的交点坐标为

．(2，6)，(－2，－6)解析：联立两个函数解析式，解方程即可.

练一练反比例函数的图象与正26例7

已知A(－4，)，B(－1，2)是一次函数y=kx+b与反比例函数图象的两个交点，求一次函数解析式及m的值.

解：把A(－4，)，B(－1，2)代入y=kx+b中，得－4k+b=，－k+b=2，k=，解得b=，所以一次函数的解析式为y=x+.

例7已知A(－4，)，B(－1，2)是一次函数y27把B(－1，2)代入中，得m=－1×2=－2.

把B(－1，2)代入中，得m28当堂练习A.4B.2C.－2D.不确定1.如图所示，P是反比例函数的图象上一点，过点P作PB

⊥x轴于点B，点A在y轴上，△ABP的面积为2，则k的值为()

OBAPxyA当堂练习A.4B.2292.如图，函数y＝－x与函数的图象相交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为()A.2B.4C.6D.8DyxOCABD2.如图，函数y＝－x与函数303.反比例函数的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是(1，k)，则反比例函数的解析式是_______．

3.反比例函数的图象与一次函数y314.如图，直线y=k1x+b与反比例函数(x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x+b＞的解集是___________．1＜x＜5OBAxy154.如图，直线y=k1x+b与反比例函数32xyOBA5.如图，直线y=ax+b与双曲线交于两点A(1，2)，B(m，4)两点，(1)求直线与双曲线的解析式；所以一次函数的解析式为y=4x－2.

把A，B两点坐标代入一次函数解析式中，得到a=4，b=－2.解：把B(1，2)代入双曲线解析式中，得k=2，故其解析式为.当y=－4时，m=.

xyOBA5.如图，直线y=ax+b与双曲线33(2)求不等式ax+b＞的解集.

xyOBA解：根据图象可知，若

ax+b＞，则x＞1或＜x＜0.(2)求不等式ax+b＞的解集.346.如图，反比例函数与一次函数y=－x+2

的图象交于A，B两点.(1)求A，B两点的坐标；AyOBx解：y=－x+2

，解得x=4，y=－2

所以A(－2，4)，B(4，－2).

或x=－2，y=4.

6.如图，反比例函数与一次函数35作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则AC=4，BD=2.(2)求△AOB的面积.解：一次函数与x轴的交点为M(2，0)，∴OM=2.OAyBxMCD∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4，∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，(2)求△AOB的面积36课堂小结面积问题面积不变性与一次函数的综合判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b的正负反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称反比例函数图象和性质的综合运用课堂小结面积问题面积不变性与一次函数的综合判断反比例函数和一37斜坡的竖直高度和对应的水平宽度的比叫做坡比

一辆汽车从一道斜坡上开过，已知斜坡的坡比为1：10，AC=20m，求斜坡的长.引例ABC斜坡的竖直高度和对应的水平宽度的比叫做坡比一辆汽车从38例题学习ABCEFD一男孩从扶梯走到滑梯的顶部,然后从滑梯滑下,他经过了多少路程?如图,扶梯AB的坡比(BE与AE的长度之比)为1:0.8,滑梯CD的坡比为1:1.6米,AE=2米,BC=CD.(结果精确到0.01米)例题学习ABCEFD一男孩从扶梯走到滑梯的顶部,然后从滑梯滑39例题学习如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=40cm，将斜边上的高CD四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条。（1）分别求出3张长方形纸条的长度。ABCD

（2）若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如右图，正方形美术作品的面积最大不能超过多少cm²。例题学习如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=40cm40试一试：如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，AD：BD=1：0.6，云梯底部离地面的距离BC为2m。你能求出云梯的顶端离地面的距离AE吗？ADEBC试一试：如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，ADEBC41知识梳理应用二次根式解决实际问题首先要分析问题,列出算式,进一步应用二次根式的性质和运算法则化简二次根式.体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值.知识梳理应用二次根式解决实际问题首先要分析问题,列出算式,进42再见再见43学习目标1.理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.(重点、难点)2.能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.

(重

点、难点)3.体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运用能力.(重点、难点)学习目标1.理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵44导入新课

反比例函数的图象是什么？反比例函数的性质与k有怎样的关系？反比例函数的图象是双曲线

当k>0时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；

当k<0时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.复习引入问题1

问题2

导入新课反比例函数的图象是什么？反比例函数的性质与k有45反比例函数解析式中k的几何意义一1.在反比例函数的图象上分别取点P，Q向

x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：

合作探究反比例函数解析式中k的几何意义一1.在反比例函数4651234－15xyOPS1

S2

4

4S1=S2S1=S2=k－5－4－3－21432－3－2－4－5－1Q51234－15xyOPS1S244S1=S2472.

若在反比例函数中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：4

4S1=S2S1=S2=－kyxOPQS1

S22.若在反比例函数中也44S48由前面的探究过程，可以猜想：

若点P是图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=|k|.由前面的探究过程，可以猜想：若点P是49yxOPS我们就k<0的情况给出证明：设点P的坐标为(a，b)AB∵点P(a，b)在函数的图象上，∴，即ab=k.∴S矩形AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；若点P

在第二象限，则a<0，b>0，若点P在第四象限，则a>0，b<0，∴S矩形AOBP=PB·PA=a·(－b)=－ab=－k.BPA综上，S矩形AOBP=|k|.自己尝试证明

k>0的情况.yxOPS我们就k<0的情况给出证明：设点P的坐50

点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作

QB垂直于x轴，矩形AOBQ

的面积与k的关系是

S矩形AOBQ=.推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是S△QAO=S△QBO=.Q对于反比例函数，AB|k|yxO归纳：反比例函数的面积不变性点Q是其图象上的任意一Q对于反比例函数51A.SA>SB>SCB.SA<SB<SCC.SA=SB=SCD.SA<SC<SB1.如图，在函数(x＞0)的图像上有三点A，B，

C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA，SB，SC，则()yxOABCC练一练A.SA>SB>SCB.SA<SB<522.如图，过反比例函数图象上的一点P，作PA⊥x轴于A.若△POA的面积为6，则k=

.－12提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意

k＜0.yxOPA2.如图，过反比例函数图象上的一533.

若点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别向

x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，若四边形

PMON的面积为3，则这个反比例函数的关系式是

.或3.若点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别向或54例1如图，P，C是函数(x>0)图像上的任意两点，过点P作x轴的垂线PA，垂足为A，过点C作x轴的垂线CD，垂足为D，连接OC交PA于点E.设△POA的面积为S1，则S1=

；梯形CEAD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1

S2；△POE的面积S3和S2的大小关系是S2

S3.典例精析2S1S2＞＝S3例1如图，P，C是函数(x>0)55

如图所示，直线与双曲线交于A，B两点，P是AB上的点，△AOC的面积S1、△BOD的面积S2、△POE的面积S3的大小关系为

.S1=S2<S3练一练解析：由反比例函数面积的不变性易知S1=S2.PE与双曲线的一支交于点F，连接OF，易知，S△OFE

=S1=S2，而S3＞S△OFE，所以S1，S2，S3的大小关系为S1=S2<S3FS1S2S3如图所示，直线与双曲线交于A，B两点，P56yDBACx例2

如图，点A是反比例函数(x＞0)的图象上任意一点，AB//x轴交反比例函数(x＜0)的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中点C，D在x轴上，则S平行四边形ABCD=___.325yDBACx例2如图，点A是反比例函数57

如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与x轴平行，且直线分别与反比例函数(x＞0)和(x＜0)的图象交于点P，Q，若△POQ的面积为8，则k=______.QPOxMy－10练一练如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与58例3

如图所示，点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在双曲线上，且x2－x1=4，y1－y2=2.分别过点A，B向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C，D，E，F，AC与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的解析式为

.解得k=6.∴双曲线的解析式为.解析：∵x2－x1=4，y1－y2=2，∴BG=4，AG=5，∴S△ABG=4×5÷2=10.由反比例函数面积的不变性可知，S长方形ACOE=S长方形BDOF=k.∴S五边形AEODB

=

S四边形ACOE+S四边形BDOF－S四边形FOCG+S△ABG=k+k－2+4=14.例3如图所示，点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在双59

如图，已知点A，B在双曲线上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为6，则k=

.24练一练EF解析：作AE⊥y轴于点E，BF⊥x

轴于点F.∵P

是AC的中点，∴S四边形OCPD=S四边形ACOE=S四边形BDOF

=k，S△ABP=S四边形BFCP，=(S四边形BDOF－S四边形OCPD)=(k－k)=k=6.∴k=24.如图，已知点A，B在双曲线60反比例函数与一次函数的综合二

在同一坐标系中，函数和y=k2x+b的图象大致如下，则k1

、k2、b各应满足什么条件？k2>0b>0k1>0k2>0b<0k1>0合作探究①xyOxyO②反比例函数与一次函数的综合二在同一坐标系中，61k2<0b<0k1<0k2<0b>0③xyOk1>0④xyOk2<0k1<0k2<0③xyOk1>0④xyO62

例4

函数y=kx－k与的图象大致是()

D.xyOC.yA.yxB.xyODOOk＜0k＞0×××√k＞0k＜0由一次函数增减性得k＞0由一次函数与y轴交点知－k＞0，则k＜0x提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数k，可对k的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.例4函数y=kx－k与63

在同一直角坐标系中，函数与y=ax+1(a≠0)的图象可能是()A.yxOB.yxOC.yxOD.yxOB练一练在同一直角坐标系中，函数64例5

如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数的图象，观察图象，当y1﹥y2时，x的取值范围为

.－23yx0

－2<x<0或x>3解析：y1﹥y2即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时.观察右图，可知－2<x<0或x>3.方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.例5如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数65练一练

如图，一次函数y1=k1x+b

(k1≠0)的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是

．－12yx0A

B

－1<x<0或x>2练一练如图，一次函数y1=k1x+b66例6

已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.由于这两个函数的图象交于点P(－3，4)，则点P(－3，4)是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个解析式.解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为

y=k1x和.

所以，.解得，.例6已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(67P则这两个函数的解析式分别为和，它们的图象如图所示.这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？想一想：P则这两个函数的解析式分别为和68

反比例函数的图象与正比例函数y=3x的图象的交点坐标为

．(2，6)，(－2，－6)解析：联立两个函数解析式，解方程即可.

练一练反比例函数的图象与正69例7

已知A(－4，)，B(－1，2)是一次函数y=kx+b与反比例函数图象的两个交点，求一次函数解析式及m的值.

解：把A(－4，)，B(－1，2)代入y=kx+b中，得－4k+b=，－k+b=2，k=，解得b=，所以一次函数的解析式为y=x+.

例7已知A(－4，)，B(－1，2)是一次函数y70把B(－1，2)代入中，得m=－1×2=－2.

把B(－1，2)代入中，得m71当堂练习A.4B.2C.－2D.不确定1.如图所示，P是反比例函数的图象上一点，过点P作PB

⊥x轴于点B，点A在y轴上，△ABP的面积为2，则k的值为()

OBAPxyA当堂练习A.4B.2722.如图，函数y＝－x与函数的图象相交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为()A.2B.4C.6D.8DyxOCABD2.如图，函数y＝－x与函数733.反比例函数的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是(1，k)，则反比例函数的解析式是_______．

3.反比例函数的图象与一次函数y744.如图，直线y=k1x+b与反比例函数(x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x+b＞的解集是___________．1＜x＜5OBAxy154.如图，直线y=k1x+b与反比例函数