高中数学人教版（A版）选择性必修第二册(2019)-数学周考（三）-普通用卷

20220919数学周考（三）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）.集合A={制尤2-4x+3N0},B={x\log^x>1},则小B间的关系是()A.AC\B=0B,AUB=RC.AQB D.BUA.已知复数z=l+i,设复数w=互，则w的虚部是()z2A.-1 B.1 C.i D.—i.已知直三棱柱ABC-ABiG的6个顶点都在球0的球面上.若ZB=1,AC=V3.ABLAC,AAr=4,则球0的表面积为（）A.5兀 B.107T C.207r D.竺典3.在等比数列｛a”｝中，已知。2020>°，则"。2021>a2024''是"。2022>a2023''的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.C.充要条件.设P(A|B)=P(B|A)=［，P(彳)=|，则P(B)=().给定两个长度为2的平面向量画和南，它们的夹角为120。.如图所示，点C在以0为圆心2为半.对任意的刀1，小e（1,3],当X1<*2时，*1一处一沙1>0恒成立，则实数a的取值范围是（）A.[3,4-00） B.（3,+00） C,[9,4-00） D.（9,4-oo）.已知Fr$是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且仍&|>\PF2\<线段P&的垂直平分线过尸2,若椭圆的离心率为双曲线的离心率为e2,则三+等的最小值（）V636V3

V636V3二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求).已知函数fQ)=sin(3汇+》(3>0)的图象与直线y=1的交点中，距离最近的两点间的距离为m贝1()B.函数/⑺在［-*勺上单调递增C.xC.x=・是/(x)的一条对称轴D.函数/"(>)在［0,初上存在唯一零点詈10.函数/Xx)=悬的大致图象可能是()11.如图，在直三棱柱ABC—4B1G11.如图，在直三棱柱ABC—4B1G中,中点，则下列说法正确的是()A.异面直线A.异面直线BC与BiM所成的角为90。C.二面角a-AC-B的大小为60。B.在BiC上存在点D,使MD〃平面ABCD.BrM1CM.曲线y=/-1与曲线y=lnx()A.在点(1,0)处相交 B.在点(1,0)处相切C.存在相互平行的切线D.有两个交点三、填空题(本大题共4小题，共20.0分).已知ab>0,a+b=5,则—J+ 的最小值为 。a+1匕+1.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点4(2,0),8(0,4),C(-4,0),则其欧拉线方程为..春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动.已知某种盆栽植物每株成活的概率为P，各株是否成活相互独立.该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差。(X)=2.1,P(X=3)<P(X=7),贝ijP=",, f ill0<x<J ".设函数/'(x)=| x+,——,g(x)=lg(ax2-4x+1),若对VX]e[0,+8),都eR( 2-ex,x>1使得/(%)=g(Xz)，则实数a的最大值为.四、解答题(本大题共4小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).(本小题10.0分)△4BC中，sin2/l-sin2B—sin2C=sinBsinC.(1)求A；(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值..(本小题10.0分)如图，平面4BCC1平面ABE,点E为半圆弧B上异于4B的点,在矩形ABCD中,AB=&BC，设平面4BE与平面CCE的交线为，.(1)证明：〃/平面4BCD；(2)当I与半圆弧B相切时，求二面角4-DE-C的余弦值..(本小题小.0分)已知数列｛外»｝前n项和为S”,且为=3,Sn=an+1-1,数列｛瓦｝为等差数列，=b4,且一+=%.(I)求数列｛册｝和｛b｝的通项公式；(口)若。=就圻，求｛7｝的前n项和1"t""n+l.(本小题10.0分)已知函数/(无)=xlnx+(1—q)x+a.(1)当a=0时，求曲线y=/(%)在点(1,7(1))处的切线方程；(2)若对任意x€(0,1),不等式/(x)>0恒成立，求正整数a的最小值.答案和解析.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法以及对数不等式的解法，集合关系的判断，属于基础题.先利用一元二次不等式的解法以及对数不等式的解法求出集合A,B,然后由集合的关系进行判断即可.【解答】解：因为集合A=[x\x2-4x+3>0]=[x\x<1或x>3},B={x\logix>1}={x|0<x<J,所以B£A.故选：D..【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、共辄复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力，属于基础题.利用复数的运算法则和共规复数的定义化简复数，再根据虚部的定义即可得出.【解答】解：复数z=1+3复数卬=写=*=竽=也丑=—l-i,z"(l+i)，2i-i-i则W的虚部是-1,故选：A..【答案】C【解析】【分析】本考查直棱柱的外接球的半径与棱长的关系，考查计算能力，属于基础题.直棱柱的外接球的半径与底面三角形的外接圆的半径和棱柱高的一半构成直角三角形，再利用勾股定理可求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案.【解答】解：直棱柱的外接球的半径与底面三角形的外接圆的半径和棱柱高的一半构成直角三角形."AB=1,AC=V3.AB1AC,二底面三角形的外接圆的半径r= iJi2+(V3)2=1，球心到底面的距离八=1AAr=2,球的半径满足R2="+F=m+22=5,.•.球。的表面积为4tt/?2=207r.故答案选：C..【答案】A【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式与性质，充分必要条件的判断，属于中档题.根据等比数列中的偶数项同号，可得。2022=42a2020>。，。2024=勺％2020>。，结合通项公式求出每一个条件下公比的范围，再由充分、必要条件的定义判断即可.【解答】解：因为公比qHO,且。2020>。，则。2022=勺2。2020>°，。2024=9402020>。，所以&2021〉。2024>0 1>q3>0<=>0<q<1,a2022>a2023=Qa20220q<1且q*0，所以“。2021>a2024"是**a2022>a2023"的充分不必要条件.故选A..【答案】C【解析】【分析】本题考查条件概率，属于基础题.解题时根据条件概率公式求解，分清P(B|4)与P(A|B)的区别.【解答】解：因为PQ4|8)=需，P(B|4)=嘿，P(川B)=P(B|4)=；,r\D) 4所以P(B)=P(A)=1-P(4)=I-：.故选：C..【答案】B【解析】【分析】本题考查向量的几何运用以及正弦型函数的最值，属于中档题.建立平面直角坐标系，并设乙40c=8,从而可写出4B,C三点的坐标，然后求方.石?，根据三角函数性质求最值.【解答】解：解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，财4(2,0),B(2cosl20°,2sinl20°),即B(-l,遮).设〃OC=a,a€[0°,120°],则C(2cosa,2sina),所以而■C4=(—1—2cosa,V3—2sina)"(2—2cosa,-2sina)=(—1—2cosa)"(2-2cosa)+(V3-2sina)x(-2sina)=2-2cosa-2百sina=2—4sin(a+30°).因为aG[0°,120°],所以a+30°G[30°,150°],所以sin(a+30。)G 所以当sin(a+30。)=1,即a=60。时，而•不取得最小值2-4x1=-2故答案选：B..【答案】C【解析】【分析】本题主要考查利用导数研究恒成立问题，属于中档题.对于原不等式进行同构处理，可得出71次-3打>abiXi— 构造函数/'(x)=alnx-3x,可知函数/(幻在(1,3］上单调递增，求导，令/'(x)>0恒成立，即可求出a的取值范围.【解答】解：对于任意//2e(L3］，当巧<X2时，恒有与一不一：也葭>0成立，即。加*2—3x2>a/nxj-3xi恒成立，令/'(*)=aZnx—3x,；•f(*2)>••・/(x)在(1,3］上单调递增，：,f'(%)=£-3》0在(1,3］恒成立，a>3x在(1,3］恒成立，只需a》(3x)max，X6(1,3］,3x在(1,3］的最大值为9,:.a>9,则实数a的取值范围是［9,+00).故选C..【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆和双曲线的概念和性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题.根据题意可知|a后1=IF2Pl=2c,利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得£+系的表达式，通过基本不等式即得结论.

【解答】=1（。2＞。也=1（。2＞。也＞0）,解：不妨设椭圆，双曲线方程分别为：毛7+?=1（%＞瓦＞0）,设椭圆和双曲线的焦距为2c,由题意可知：I&F2I=|F2Pl=2c,又・・・|F】P|+|F2Pl=2%,|F1PI-|F2Pl=2a2,・•.[F]P|+2c=2qi，尸$|-2c=2a21••・••・譬+^2]詈.以=2,当且仅当誓=土时等号成立,2+半的最小值为6.故答案选：C..【答案】AC【解析】【分析】本题主要考查正弦型函数的性质，属于基础题.先求出3,然后得到解析式，然后一一判断即可.【解答】距离最近的两点间的距离解：因为函数f（x）=sin（0比+》（3＞0）的图象与直线丫=1的交点中,距离最近的两点间的距离为7T,所以这个函数的周期为"，所以总=7T".3=2,所以4正确，则/(x)=sin(2x4-7),当U2x+=G[-py],不是单调递增的，所以8错误；/■《)=sin(2x：+,)=sin]=1,所以C正确；由/'(x)=0,贝i」2x+£=kTT,keZ,则x=?-V，keZ,故”=患或x=詈，函数/'(x)在[0,n]上存在零点为工和詈，所以。错误.故选：AC..【答案】AC【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，讨论当a=0,a>0或a<0是是解决本题的关键，是中档题.分别讨论当a=0,。<0或。>0时，对应函数的图象和性质即可.【解答】i„i1 x>0 -h解：当a=0时，/(幻=号=白=卜1 ,此时对应图象为4,x,x|I%<0当a>0时，/(%)的定义域为R,/(-x)=/(x),则/(%)是偶函数，X 1 1当x>0时，/(幻=正^=不三示，且/'(x)>0，此时对应图象为C,X当a<0时，〃>)=袅的定义域为{x|xH±，K},x>0时，/(口=品=+，当x>V-a时,y=g(x)=X+三为增函数，且y=x+三>0,二f(x)=为减函数，此时b图象不合适，故选：AC.11.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查空间中线面的位置关系、角的求法，要求学生熟练掌握空间中线与面平行或垂直的判定定理与性质定理，以及通过平移的思想找出异面直线的平面角，并理解二面角的定义，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.选项A,连接MG，易矩BC//B1G，故NMBiG即为所求.由勾股定理可知1BiG，由三棱柱的性质可知BBi1BG，再结合线面垂直的判定定理与性质定理即可证得可证得BiG_LMB】，即/MB1G=90°；选项8,连接BQ,交当。于点D,连接M。，再取BC的中点E,连接DE、AE,易知四边形AMCE为平行四边形，故MC〃AE,再由线面平行的判定定理即可得证；选项C,取AC的中点N,连接BN、B]N,贝叱夕可当即为所求，在Rt4BNB]中,由三角函数可求出tanz_BNB]的值，从而得解；选项。，在ACMBi中，利用勾股定理分别算出CM、MB1和BiC的长，判断其结果是否满足CM?+MBl=B1C2即可.【解答】解：选项A,连接MG，由三棱柱的性质可知，BC"B[Ci，••4MBic1即为异面直线BC与兄M.vAB=BC=2,AC=2V2>•••Z.ABC=4&%。I=90°,即4当1B©,由直三棱柱的性质可知，BBi_L平面&B1C1，vBGu平面为B1C],BBi1BG，又&B1nBBI=B[,4/1、BB]u平面ABBiA],二当。1_L平面ABBiA1，••BrCx1MB1，即NMBiG=90。，.••选项4正确；选项B,连接BG，交&C于点。，连接MC,再取BC的中点E,连接DE、AE,贝UDE//4M,DE=AM,••四边形4MDE为平行四边形，[MD//AE,•••MD仁平面ABC,AEu平面ABC,MD〃平面ABC,即选项8正确；

选项C,取4c的中点N,连接8N、B[N,•:BB]_L平面ABC,NBNBi即为二面角Bi-4C-B的平面角.在RtZkBNBi中，BBr=V6.BN=^-AB=V2.：.tan乙BNB1=皆=6,；.乙BNB、=6Q。,即选项C正确；NA选项D,在^CMBi中，CM2=AC2+AM2=y,MBl=ArB1+ArM2=y,BXC2=BXB2+BC2=10,显然CM2+MB工H8停2,即与CM不垂直，.•.选项。错误.故选：ABC..【答案】ACD【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属中档题.令/(x)=--l,g(x)=Inx,由/(l)=g(l)=0,可判定A正确；由尸(1)=2,令⑴=1,可判定B不正确；由f'(l)=g'C)，可判定C正确：令F(x)=M-i-inx,求得F'(x),得出函数的单调性，结合零点的存在定理，可判定。正确.【解答】解：令/(%)=x2—1»g(幻=Inx,由/(l)=g(l)=0,所以两函数在点(1,0)处相交，所以A正确；又由/'(x)=2x,g'M=p可得/'(1)=2,g'(l)=l,所以B不正确；由广(x)=2xCR,g'(x)=^G(0,+oo),存在/''(I)=g'G),

故曲线y=x2-1与曲线y=Inx存在互相平行的切线，所以C正确.令F(x)=/(x)—g(x)=x2—1—Inx,x>0,可得/'(x)=2x—p当xe(o,等)时，F'M<0;当xe(等,+8)时，F'M>0,所以F(x)在(0,等)上单调递减，在(号,+8)上单调递增，又由F(等)=—：+]ln2<0,尸(？>0,F⑴=0,F(e)=e2—2>0,故F(x)有两个零点，即曲线y=工2-1与y=inx有两个交点，故。正确.故选：ACD..【答案】包7【解析】1,【分析】本题考查了基本不等式求最值，根据已知条件(a+1)+(b+1)=7,即(a+l)；(b+I)根据乘1求最小值.1,【解答】解：因为ab>0,a+b=5知a>0,b>0,又a+l+b+l=7,i所以,(q+1+64-1)=1,而E+忌1, ，、/2 1\="(a+14-6+1)( +)7、 7\a+1h+171JJ(b+1),a+1、7\a+1b+1/>1(3+2V2),经检验等号成立..【答案】x-y4-2=0【解析】【分析】本题考查了直线的方程，新定义问题，三角形重心和外心的性质，属于基础题.根据A4BC的顶点坐标，可得重心G.设AABC的外心为利用=|WB|,解得a；利用点斜式即可得出该三角形的欧拉线方程.【解答】解:因为△ABC的顶点为4(2,0),8(0,4),C(一4,0),所以，△480的重心6(-：彳).设△ABC的外心为“(-l,a),则=|WB|,所以J(—l一2尸+a?=Jl+(a—4/,解得Q=1,可得W(—1,1).所以，该三角形的欧拉线方程为y-l=染。+1),化简得：x-y+2=0..【答案】0.7【解析】【分析】本题考查二项分布的的方差、〃次独立重复试验及其概率计算，属于较易题.先利用二项分布的方差公式求出p的值，然后验证p是否符合题意.【解答】解：因为每株成活率为p,且各株是够成活相互独立，所以X〜B(〃，p),所以£)(X)=10p(l-p)=2.1,解得p=0.3或0.7,当p=0.3时，P(X=3)=Cfox(O.3)3x(O.7)7,P(X=7)=C^x(0.3)7x(0.7)3,不满足尸(X=3)<P(X=7),所以不符合题意，所以p=0.7.故答案为：0.7..【答案】4【解析】【分析】本题考查分段函数的值域及对数函数和指数函数的性质，同时考查集合关系中参数的取值范围，属于中档题.设g(x)=lg(ax2-4%+1)的值域为A,求得函数/(x)值域为(-8,0],则由(一8,0]c4,可求得实数a的取值范围，故得实数a的最大值.【解答】解：设g(x)=lg(ax2一4x+1)的值域为4当0GW1时，左)=4=1-券则/(x)在[0,1]上单调递增，所以当OWxWl时，-lW/(x)W0,当x>l时，/(X)=2-ex,所以/'(x)在(1,+8)上单调递减，所以当x>1时，/(x)<2-e,所以当xe[0,+8)时，f(x)的值域为(-8,0],若对任意.G[0,+8),都存在*2GR,使f(jq)=g(M)，则SO]cA,/i(x)=ax2-4x+1能取遍(0,1]中的每一个数，又•••九(0)=1, 。40或｛；：,即aWO或0<aW4,综上可得实数a的取值范围为(-8,4],故a的最大值为4・故答案为4..【答案】解：(1)设△4BC的内角4,B,C所对的边分别为a,Tc,因为si/A—siMB-siMC=sinBsinC,由正弦定理可得a?—h2—c2=be,即为炉+c2—a2=—be,由余弦定理可得cosA=b2+c2-a2be1 ,a,-=rr4sa27r2bc=一定=一£由°<4<兀，可得4=三；⑵由题意可得a=3,又B+C=m，可设B=?-d,c=^+d,-汴d<,，由正弦定理可得扁^=熹=肃=可得b=2百sin管-d),c=2V3sin(^+d),则4ABC周长为a+b+c=3+2V3[sin(--d)+sin(-+d)]=3+2>/3(icosd--sind+-cosd+—sind)=3+2y/3cosd，6 6 2 2 2 2当d=0,即B=C=*时，△ABC的周长取得最大值3+2V1【解析】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，属于中档题.(1)运用余弦定理和特殊角的三角函数值，可得所求角；(2)运用正弦定理和三角函数的和与差公式，结合余弦函数的图象和性质，可得所求最大值..【答案】解：(1)证明：•••四边形4BC。为矩形，.•.4B〃CD,vABu平面ABE,CD<t/平面4BE,CD〃平面ABE,又CDu平面CDE,平面ABEn平面CDE=I,1//CD,•••CDu平面ABC。，，C平面ABC。，二，〃平面4BCC;(2)当l与半圆弧卷相切时，AE1EB,AE=EB,：.AB=gE,•••平面ABCDJ_平面ABE,平面4BCDn平面ABE=AB,E.DA1AB,DAu平面ABC。,•••DA_L平面ABE,又AEu平面ABE,•••DALAE,同理CB1BE,不妨设BC=V2,则BE=AE=AD=yf2,AB=DC=2,•••由勾股定理得DE=CE=2,取CE的中点F,连接AF,FC,AC,贝IJCEIAF,DE1CF,.•.乙4FC是二面角4-DE-C的平面角，易知4F=；CE=1,CF=yDF=V3.且AC=VAB?+BC?=通,.•.在△AFC中，有cos乙1FC=必+—尸物z=一立，2X1XV3 3二面角A-DE-。的余弦值为一冬【解析】本题考查了线面平行的判定，考查了二面角以及余弦的求法，属于中档题.(1)结合题意根据线面平行的判定定量即可得出；(2)结合题意首先求出N4FC是二面角4-DE-C的平面角，根据余弦定量求出二面角A-DE-C的余弦值.19.【答案】解：（I）Q1=3,Sn=an+1-1,可得的=Si=02-1，即有=4,n>2时，Sn_i=an-1,又Sn=an+1—1,两式相减可得0n=Sn-Sn_i=an+1-1-an+1,即有an+i