高中数学选择性必修二等比数列的概念和通项公式讲义

4.3.1.1等比数列的概念和通项公式共同基础•系统落实 课前自主学习，基稳才能楼高GONGTONQJICHUXITONQLUOSHI知识点一等比数列的概念(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q#O)表示.(2)符号语言：^:虱口为常数，“CN*)【重点总结】(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0,因此公比也不为0,由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列.(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒.(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略.要点二等比中项如果在a与匕中间插入一个数G,使a,G,匕成等比数列，那么G叫做a与6的等比中项.【重点总结】(1)若G是a与b的等比中项，则，=&，所以G?=ab,G=+>/ab.n—I—h(2)与“任意两个实数a,b都有唯一的等差中项人=号”不同，只有当a、b同号时a、b才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是麻与一痛；当a,b异号时没有等比中项.(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.要点三等比数列的通项公式设等比数列｛为｝的公比为4,则这个等比数列的通项公式是a“=qg"T(0，gw。且〃gN*).【重点总结】(1)已知首项由和公比q,可以确定一个等比数列.(2)在公式a0=aiqnr中，有a0，ai,q,n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中川，q为两个基本量.(3)对于等比数列｛aQ,若q<0,则｛aj中正负项间隔出现，如数列1,-2,4,一8,16,…；若q>0,则数列｛a/各项同号.从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号.【基础自测】.判断正误(正确的画“J”，错误的画“X”)(1)若一个数列为｛小｝,且满足乌-=贝〃22,g为不等于。的常数)，则这个数列是等比数列.()(2)在等比数列｛%｝中，若已知任意两项的值，则可以求出首项、公比和数列任一项的值.()(3)G为a,b的等比中项0G2=ab.( )(4)若一个数列从第二项开始，每一项都是它前后两项的等比中项，则这个数列是等比数列.()【答案】(1)V(2)V(3)X(4)X.(多选题)下列数列不是等比数列的是()A.2,223X22,… bA/，

C.5-1,(5-1)2，(s-l)3,…D.0,0,0，…【答案】ACDl-〃l-〃-la2?23X22 茄=-,B是等比数列；C中，当s=l时，不是等D显然不是等比数列.故选ACD.【解析】A中，学，A不是等比数列；=-,B是等比数列；C中，当s=l时，不是等D显然不是等比数列.故选ACD..已知｛m｝是等比数列，a\=\,a4=2巾则。3=( )A.±2B.2C.-2D.4【答案】B【解析】设等比数列｛。“｝的公比为q,则有1Xq3=2啦=(6)3,.'.q=y[2,.*.03=-=2,故选B.4.已知等比数列｛m｝中，“1=—2,“3=—8,则a”【答案】一2"或(一2)"【解析】=-2,。3=-8, =^2=2=^'.■•q=±2，o„=(-2>2"1或许=(-2)-(—2)"1,即an=—2"或。”=(—2)".题型一等比数列通项公式的求法及应用探究1基本量的计算【例1】在等比数列｛斯｝中(1)474=2,07=8,求4”；(2)。2+。5=18,。3+恁=9,an=\>求〃.【解析】(1)【解析】(1)因为所以由称得炉=4,从而夕=阻,而〃|炉=2,2 1 _ 3于是“尸审=》所以小=。4'・(2)方法一：由已知可得,2+。5=04+。1/=18,①]。3+。6=。142+。闻5=% ②由黑得4=宗从而付=32.又a〃=1,所以32x(；)〃一1=1,即26一〃=2°,所以〃=6.方法二：因为。3+。6=432+。5),所以q=\由。闻+〃]/=18,得s=32.由i=得〃=6.【重点小结】(1)由胃=q3便可求出q,再求出a”则an=a「qn（2）两个条件列出关于ai，q的方程组，求出ai，q后再由an=l求n；也可以直接先由q=-^j—入手.a2~ra5【方法归纳】等比数列通项公式的求法（1）根据已知条件，建立关于ai,g的方程组，求出卬，q后再求斯，这是常规方法.（2）充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求0,最后求出，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.探究2等比数列的实际应用【例2】计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格每年降低/现在价格为8100元的计算机3年后的价格可吃低为（）A.300元B.900元C.2400元D.3600元【答案】C2【解析】降低后的价格构成以年为公比的等比数列，则现在价格为8100元的计算机3年后的价格可降低为8100义03=2400（元）.【方法技巧】关于等比数列模型的实际应用题，先构造等比数列模型，确定0和q,然后用等比数列的知识求解.【跟踪训练1］（1）在等比数列｛%｝中，G+如=4,汲=2,则公比g等于（）A.—2B.1或一2C.1D.1或2【答案】B【解析】。3+。4=。24+。2/=24+2/=4,即始+夕一2=0,解得q=l或q=-2,故选B.（2）在等比数列｛〃〃｝中，〃〃>0,已知0=6,。］+。2+的=78,则公等于（ ）A.12B.18C.24D.36【答案】B【解析】设公比为q,由已知得6+6q+6q2=78,即炉+夕-12=0解得q=3或q=-4（舍去）.,a2=6q=6X3=18.故选B.（3）某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的倍.【答案】1.259【解析】设这个林场今年的树木总量是山，第〃年末的树木总量为小，则。〃+i=a〃+a〃X25%=L25a“.则誓=1.25,则数列｛的｝是公比q=1.25的等比数列.C*n则。］。=049=1.259m.所以誓=1.259.41题型二等比中项【例3】已知等比数列的前三项和为168,6—45=42,求小，47的等比中项.【解析】设该等比数列的公比为g,首项为a”因为。2—。5=42,所以由已知，得a\+aq+aig2=168a\q-a\(f=42由已知，得所以TOC\o"1-5"\h\zai(l+q+q2)=168 ①所以aq(l—而=42 ②因为1—g3=(i—q)(l+g+g2),所以由②除以①，得g(l—4)=：.所以q=g.- 42所以ai="j1=96.2~\2)4若G是“5,。7的等比中项，则应有62=。5。7=。14*,。1/>=。衿|°=962义&)|°=9.所以45,47的等比中项是±3.【方法归纳】(1)首项ai和g是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项.【跟踪训练2】如果一1,a,b,c,一9成等比数列，那么()A.b=3,ac=9 B.b=—3>ac=9C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-9【答案】B【解析】—1,a,b,c,一9成等比数列，・・・/=(一l)Xb,抉=(一l)X(-9)=9：.b<0,：.b=-3.又〃=ac,・・.ac=9.故选B.题型三等比数列的判定与证明【例4】已知数列｛斯｝的前〃项和为S”Sn=1(an-l)(neN,)(1)求。2；(2)求证：数列｛④｝是等比数列.【解析】⑴当〃=1时，Si=1(ai—l)=ai,解得：«i=—当篦=2时,$2=^42—1)=0+。2,解得。2=1(2)证明：当〃22时，一S“Sn—1- 1)&(a”-1-1),得公=6又0=+所以｛斯｝是首项为一/公比为一g的等比数歹工【变式探究1】将本例中条件换为“数列｛m｝满足ai=l,a“+i=2%+1"，求证：(斯+1｝成等比数列，并求小.【解析】由册+i=2n“+l,/.an+1+1=2(。〃+1),••・｛%+1)是以2为首项，2为公比的等比数列，.•.a〃+l=2X2"-i=2",**•。〃=2"-1.【变式探究2】将本例中的条件换为“数列⑹中，ai=l，,求所【解析】令。"一则。"+1=；。"+与&)A由已知条件知§=1,得A=3,所以01+i—3X(§"+i=ga“-3X(§"]又“L3xR1=—|胃0,所以｛斯一3X(｝)"｝是首项为一|,公比为(的等比数列.于是3X(g｝=—故出=3><(9"-2X&.【方法归纳】判定数列是等比数列的常用方法(1)定义法：如2■二虱^是常数)或乌-=虱4是常数，〃22)台｛m｝为等比数列.a,i Qn-\(2)等比中项法：足+|=。"。“+2(出力0,〃GN*)台｛%｝为等比数列.(3)通项公式法：a“=ai/r(其中ai,g为非零常数，“CN*)㈡｛”“｝为等比数列.【易错辨析】忽略等比数列各项的符号规律致错【例5】在等比数列｛小｝中，45=1，09=81,则47=()A.9或一9B.9C.27或一27D.-27【答案】B【解析】由等比中项的性质得同=。5。9=81,.•.卬=±9,由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以m=9,故选B.【易错警示】.出错原因没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得。7=±9,错选A..纠错心得在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同.解此类题时要小心谨慎，以防上当.【分析】首先根据题意得到％=4+%，从而得到再解方程即可.【解析】由题知：〃3=4+4，所以为2=1+4，即2/_q_l=0,解得g=_Q或4=1.故选：ATOC\o"1-5"\h\z2.已知等比数列｛q｝满足%=2,%=十，则公比4=( )A.-- B.； C.-2 D.22 ，【答案】B【分析】由4二生。,即可求出.【解析】•：a5=a2q\即(=2",解得q=；.故选：B.3.已知｛4｝为等比数列，5“是它的前”项和.若%%=2%,且应与2%的等差中项为(，则臬=( )A.29 B.31 C.33 D.35【答案】B【分析】设等比数列｛4｝的公比为4,由已知可得0和q,代入等比数列的求和公式即可【解析】因为a2a3=2ax= =44,%=2,,/4+2%=2x—=%+2%/» 故选：B.4.《莱茵德纸草书》(RhMdPapyws)是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是()个.A.12 B.24 C.36 D.48【答案】D【分析】设等比数列｛4｝的首项为4>。，公比0>1,根据题意，由q(i_q5)求解.|1-q【解析】设等比数列｛q｝的首项为6>。，公比4>1,3由题意得：/,q+4+/+%+%=933所以％=aq"=48,故选：D5.在等比数列｛《,｝中，若。「％吗4为定值，7.为数列｛。,｝的前〃项积，则下列各数为定值的是( )A.T” B.Tl2 C.' D.7M【答案】C【分析】根据等比数列的通项公式用4,4表示出44%，然后再分别表示出各选项中的积进行判断.【解析】设公比为4,则的6aM =("4)3为定值，即为定值，1=。|,。闯…4尸=心2，L-U,不是定值，7]2=a,V=Ll^'|,不是定值，看3=/什8=(“q6严,是定值，14x13 13兀=4%h=(4/式，不是定值・故选：C.6.在各项都为正数的数列｛《,｝中，首项q=2,5.为数列｛q｝的前〃项和，且(S“—52)2一4«3=0(〃22),则$=()A.1022 B.1024 C.2046 D.2048【答案】C【分析】当〃22时，q=S“一S"t,故可以得到(4+2an_t)(an-2az)=0,因为a“+2al>。，进而得到4-2al=。，所以｛《,｝是等比数列，进而求出九=2046【解析】由(S,-Siy-4a3=0(n>2),得a：-4“,,/=。，得(4+2an_,)(a„-2a„_,)=0,又数列｛4｝各项均为正数，且4=2,0a„+2an.l>0,团外一241T=0,即2~=2an-\TOC\o"1-5"\h\z团数列｛4,｝是首项4=2,公比q=2的等比数列，其前〃项和s=2(J2")=2"+-2,得儿=2046," 1-2故选：C.5 +17,已知数列｛4｝的前〃项和为S“，若S”=2a”-l,则谭一=( )〃2022TOC\o"1-5"\h\z1 1A.2 B. 1 C. - D.-4 J【答案】B【分析】由S“=2见-1,根据。“与S„的关系，得出也｝是首项为1,公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式,即可求解.【解析】由数列｛《,｝的前〃项和S“= -1,当”=1时,可得q=51=2q,所以q=l；当"22时，an=Sn-Sn_i=2an-1-（2«„_1-1）,所以a“=2%,所以也“｝是首项为1,公比为2的等比数列，所以5的=与学=22必-1，«2022=22021,所以乎口=1.故选：B..在等比数列｛凡｝中，生+6=2（0,+%）,则数列｛4｝的公比4=（ ）A.2 B.1 C.-1或1 D.-1或2【答案】D【分析】用4,q表示出已知等式后可得结论.【解析】由题意知q（g+42）-2q（l+g）=0,所以（1+/（4-2）=0,所以9=一1或4=2.故选：D.二、多选题.（多选题）已知等比数列｛4｝的前〃项和是S“，则下列说法一定成立的是（ ）A.若例>°，则%小>0 B,若4>°，则。2O2O>0C.若%>0，贝”的>0 D.若4>°，贝！【答案】ABC【分析】根据等比数列通项式，前〃项和5“代入即可得出答案.【解析】设数列｛叫的公比为9,当4>0,则々。21=%/"8>0,A正确；当包>°，则“2020=%/6>°，8正确.又当g"时，S惭产）,i-q当q<1时，l-q>0,1-q202'>0,：.S202l>0,当0<q<［时，\-q>0,\-q2mx>0,.'.S202l>0,当g>l时,1-9<O,1-92021<0,.-.SM21>0当g=l时，SM21=2021a,>0,故C正确，。不正确.故选:ABC.（多选题）若数列｛而｝是等比数列，则下面四个数列中也是等比数列的有（ ）A.｛ca/c为常数） B.｛a„+an+i｝C.｛On'On+i） D.｛a；｝【答案】CD【分析】A.由c=0判断；B.q=-1时判断；CD.由等比数列的定义判断.【解析】当c=0时，｛c%｝不是等比数列，故A错误；当数列｛〃｝的公比q=-1时，。”+。1:+1=0, 不是等比数列,故B错误；由等比数列的定义，选项CD中的数列是等比数列，故CD正确.故选：CD.设数列｛q｝是各项均为正数的等比数列，T”是血｝的前"项之积，4=27,03Aq二,则当7.最大时，”的值为（ ）

A.4B.5A.4B.5C.6D.7【答案】AB【分析】设等比数列｛4｝的公比为q,求出q的值，进而可求得数列｛《,｝的通项公式，解不等式421,求出”的取值范围，即可得解.【解析】设等比数列｛4｝的公比为4,则为•%•%=《=5，可得％=g，"唔=毋9所以，…尸=274「=3”令a.=35-"21,解得〃45,故当r.最大时，〃=4或5.故选：AB.第H卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题.在等比数列｛叫中，4=1,%=8%,s”是数列小｝的前"项和，若1=63,则仁【答案】6【分析】由4=1,“5=8/，解得q=2求解.【解析】在等比数列｛4｝中，设公比为q,因为4=1,%=8a2,所以夕■*=8g,q#0,解得g=2,所以S*=｝-g=63,解得k=6,故答案为：6.在正项等比数列｛4｝中，若3%、24成等差数列，则如产丝=.2 02023-02022【答案】I【分析】设正项等比数列｛4｝的公比为q,则4>。，根据已知条件求出q的值，再结合等比数列的基本性质可求得结果.【解析】设正项等比数列｛4｝的公比为q,则4>。，因为、；%、2生成等差数列，则。3=3%+2%,即=34+2死，可得42-24-3=0, >0,解得夕=3,e.. °2021一。2020_ 42021一。2020因此，二~二~ ~~\-Q.。2023一02022 4\fl2O21-^2020/ "故答案为：.已知正项数列｛4｝的前〃项和为5.，若q,数列｛4｝的通项公式为.【答案】。“=(；广2【分析】h当〃=1时，求得4=万>0,再由S“=-a“+8,得到5”|=-a,1+仇"22),相减可得2。,-。1=0,结合等比数列的通项公式，求得6,进而求得数列的通项公式.【解析】由题意，正项数列｝满足。"+S„=b,a2a4=J,4h当九=1时，可得4+£=q+4=6,则q=—>0,由S〃=-an+b,则S〃_[=-an_x+Z;(h>2,/zgN*),两式相减可得24-。=0,所以‘£=；(〃N2,〃eN+),an-i2即数列｛“"｝为公比为g的等比数列，所以4所以。必=卬白=9解得。=4,4 16 4164所以4=2=2,所以数列｛”“｝的通项公式为4=qg"T=2x(gyi=(；)"-2.故答案为：q=g)”2.四、解答题.已知S.为数列｛4｝的前"项和，4=2,7s“+2=%,b“= ，为数列出｝的前〃项2g2an，1O&2an+\和.(1)求数列｛4｝的通项公式；(2)若帆＞20227；对所有〃wN,恒成立，求满足条件〃，的最小整数值.【答案】a„=23-2674【分析】(1)利用递推公式，结合前〃项和与第〃项的关系、等比数列的定义进行求解即可；(2)根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行求解即可.由题意7s“+2=a”+|,当"22时，7S“_1+2=a.，两式相减得：7a”=a“*、-a”,即：%=阿(〃22),所以〃22时，｛4"｝为等比数列又因为〃=1时，a2=7S|+2=7x2+2=16,所以"=8,ai所以，对所有〃eN*,｛4｝是以2为首项，8为公比的等比数列，所以4=2*8小=23"-2；,11由题知："=log?a,,1鸣*―1呜237•log223"“1-3U