高考数学平面解析几何大题专题训练70题含参考答案

高考数学平面解析几何大题专题训练70题含答案学校:姓名：班级：考号：一、解答题.已知点P是椭圆E:—+y2=l上的任意一点,Fl,F2是它的两个焦点,0为坐标原点，动点4Q满足的=即+匾.⑴求动点Q的轨迹方程；⑵若已知点A(0,-2),过点A作直线I与椭圆E相交于B,C两点，求aOBC面积的最大值..已知椭圆《+Z=l(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过左焦点Fl(-2,0)作x轴的垂线a'b"交椭圆于P,Q两点,PF2与v轴交于,A,B是椭圆上位于PQ两侧的动点.⑴求椭圆的离心率e和标准方程；⑵当NAPQ=NBPQ时，直线AB的斜率kAB是否为定值?若是,求出该定值;若不是，请说明理由..如图所示,A,B分别是椭圆C:5+%=l(a>b>0)的左右顶点,F为其右焦点,2是|AF|与aIFB|的等差中项是|AF|与|FB|的等比中项.点P是椭圆C上异于A,B的任一动点，过点A作直线l±x轴.以线段AF为直径的圆交直线AP于点A,M,连接FM交直线I于点Q.⑴求椭圆C的方程；(2)试问在x轴上是否存在一个定点N,使得直线PQ必过该定点N?若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由.斗至当4,已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为专，且一个焦点坐标为(6Q).(1)求椭圆M的方程；(2)设直线I与椭圆M相交于两点,以线段OAQB为邻边作平行四边形OAPB,其中点P在椭圆M上Q为坐标原点，求点。到直线I的距离的最小值..已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为也，过左焦点尸且垂直于x轴2的直线交椭圆C于P,。两点，且|PQ\=2&(1)求C的方程;(II)若圆x2+K=4上一点处的切线/交椭圆c于两不同点M,N,求弦长的最大值..已知椭圆G：—+,=l(a>b>0)的左右顶点是双曲线G：丁-必=1的顶点，且椭圆G的上顶点到双曲线G的渐近线的距离为巫.2(1)求椭圆G的方程；(2)若直线/与G相交于知|,〃2两点，与G相交于。，。2两点，且函项=-5,求Iaaa/zI的取值范围..如图，设点A和8为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点，已知OALOB,OMLAB.求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线..已知椭圆「：.+q=15>/)>())的一个顶点为Z(2,0),且焦距为2,直线/交椭圆ab-「于£、尸两点(点E、F与点A不重合)，且满足/E_L4尸.(1)求椭圆的标准方程；(2)。为坐标原点，若点产满足2万=诙+砺，求直线X尸的斜率的取值范围..已知G，鸟是椭圆\+，=1的左、右焦点，。为坐标原点，点尸-I，孝)在椭圆上，线段尸鸟与丁轴的交点m满足丽+物=o.(I)求椭圆的标准方程；(II)圆。是以耳居为直径的圆，一直线/：y=H+m与圆。相切，并与椭圆交于不同2 3的两点A、B,当OA,0B=A，且满足彳444了时，求aOZB的面积S的取值范围..如图，在平面直角坐标系xOy中，圆。：/+丁=4与x轴的正半轴交于点a,以点A为圆心的圆A：(x-2)2+/=/(r>0)与圆。交于8,。两点.(1)当厂=加时，求的长；(2)当—变化时，求存•衣的最小值；

（3）过点尸（6,0）的直线/与圆A切于点O,与圆O分别交于点E,F,若点E是。尸的中点，试求直线/的方程.2 22 2.已知椭圆C:=+==l（a>b>0）的两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为2面,a"b~顶角为120。的等腰三角形.（1）求椭圆C的方程;（2）（2）设A、B、尸是椭圆上三动点，且丽=症@+,线段Z8的中点为。,£>[o,|k求卬。|的取值范围..已知椭圆（7:m+耳=1（。>6>0）的长轴长为4,直线N=x被椭圆C截得的线段长ab为晅5（1）求椭圆C的标准方程;（2）过椭圆C的右顶点作互相垂直的两条直线44分别交椭圆C于〃，N两点（点M,N不同于椭圆C的右顶点），证明：直线MN过定点4,0）..A/I8C中，。是8c的中点，忸。|=3五，其周长为6+3正，若点7在线段力。上,且[47|=2四.（1）建立合适的平面直角坐标系，求点7的轨迹E的方程；（2）若M,N是射线OC上不同的两点，|0"卜|。％|=1,过点M的直线与E交于RQ,直线。N与E交于另一点R,证明：40总是等腰三角形..如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.(I)设AB中点为M,证明：PM垂直于y轴；(H)若P是半椭圆x2+2=l(x<0)上的动点，求4PAB面积的取值范围.4.已知焦点在y轴上的椭圆C:二+《=l(a>6>0),短轴的一个端点与两个焦点构abz成等腰直角三角形，且椭圆过点M(虫,1).(1)求椭圆C的标准方程：(2)设48依次为椭圆的上下顶点，动点。满足四•京=0,且直线。4与椭圆另一个不同于A的交点为尸.求证：存:+存•迎为定值，并求出这个定值..已知抛物线C：/=2px(0>O)的焦点为尸，直线2x+y-6=0交抛物线C于48两点、,M是线段的中点，过M作》轴的垂线交抛物线C于点、N.\AF\-\BF\(1)若直线/自过焦点厂，求L他值;(2)是否存在实数乙使a/8N是以N为直角顶点的直角三角形?若存在，求出P的值，若不存在，说明理由..已知椭圆C：4+£=l(a>b>0)的一个焦点与抛物线£:工=走炉的焦点相同，且过点P(G,g).(1)求椭圆C的标准方程；(2)不过原点的直线/与椭圆C交于M,N两点，已知。直线/,ON的斜率勺,七%2成等比数列，记以OMQN为直径的圆的面积分别为SrS2,试探完工+号的值是否为定值,若是，求出此值；若不是，说明理由..如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C：与+4=1(。》>0)经过点(1，abe),其中e为椭圆的离心率.Fi、乃是椭圆的两焦点，M为椭圆短轴端点且为等腰直角三角形.(1)求椭圆C的方程；(2)设不经过原点的直线/与椭圆C相交于4、B两点,第一象限内的点尸(1,⑼在椭圆上，直线OP平分线段求：当△以8的面积取得最大值时直线/的方程..已知椭圆。:[+，=1(°>6>0)的左右焦点分别为片,入，抛物线_/=4x与椭圆C有相同的焦点，且椭圆C过点(/)求椭圆C的标准方程；(0)若椭圆C的右顶点为A,直线/交椭圆C于瓦尸两点(瓦尸与A点不重合)，且满足NELHF,若点P为E尸中点，求直线4P斜率的最大值..已知椭圆C：4+4=1S>b>0)的左顶点为M，上顶点为N,直线ab2x+y-6jJ=0与直线MM垂直，垂足为8点，且点N是线段的中点.(I)求椭圆C的方程；(II)如图，若直线/：V=h+m与椭圆C交于E,尸两点，点G在椭圆C上，且四边形OEGF为平行四边形，求证：四边形OEGF的面积S为定值..己知动圆A/过定点尸(0,S)(加>0),且与定直线4：y=-加相切，动圆圆心M的轨迹方程为C,直线过点尸交曲线C于48两点.

(1)若，2交(1)若，2交X轴于点s,求SPSPSB的取值范围;(2)若4的倾斜角为30°,在4上是否存在点E使A48E为正三角形？若能，求点E的坐标；若不能，说明理由..已知椭圆C的对称中心为原点。，焦点在x轴上，左，右焦点分别为B，/2，上顶点和右顶点分别为8,出线段48的中点为D,且kook*B= ，A4OB的面积为2vL(1)求椭圆C的方程;(2)过B的直线/与椭圆C相交于M,N两点，若的面积为与，求以尸2为圆心且与直线/相切的圆的方程.2 223.如图，椭圆C：「+2=1(。>6>0)的右焦点为尸，右顶点、上顶点分别为点48,a~h~已知椭圆C的焦距为2,且(2)若过点尸(0,-2)的直线/交椭圆C于M,N两点，当AA/ON面积取得最大时，求直线/的方程.24.如图，椭圆24.如图，椭圆G： +a~h1八。)的左右焦点分别为片A离心率为日，过7抛物线G：r=4如焦点厂的直线交抛物线于M,N两点，当|敏卜(时，M点在x轴上的射影为耳，连接NO,MO)并延长分别交G于48两点，连接彳8,AOMN与XOAB的面积分别记为凡加，S皿b，设；1=2(1)求椭圆£和抛物线的方程；(2)求彳的取值范围..已知:抛物线焦点为尸，以尸为圆心的圆厂过原点。，过产引斜率为人的直线与抛物线机和圆尸从上至下顺次交于A、8、C、D,若丽•丽=4.(1)求抛物线方程.(2)当为《何值时,4108、\BOC、ACO。的面积成等差数列；(3)设M为抛物线上任一点，过M点作抛物线的准线的垂线，垂足为H.在圆尸上是否存在点N,使的最大值，若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由..已知椭圆C3+，=l(a>6>0)的一个焦点为尸(3,0),其左顶点/在圆O:x2+y2=121..(1)求椭圆C的方程；(2)直线/：x=my+3(mw0)交椭圆C于M,N两点，设点N关于x轴的对称点为N、(点M与点A/不重合)，证明：直线MM过x轴上的一定点，并求出定点坐标..如图所示，将一块直角三角形木板48。置于平面直角坐标系中，已知AB=OB=\,ABLOB,点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点尸的任一直线将三角形木板锯成aNMV.设直线的斜率为〃.▲V(I)求点M,N的坐标及直线的斜率％的范围；(II)令A/MN的面积为S,试求出S的取值范围；(III)令(H)中S的取值范围为集合0,若§2>加(1-2S)对Sen恒成立，求W的取值范围.

28.已知椭圆CJ=1(a>6>0)的焦距为2B，设右焦点为尸，过原点28.已知椭圆CJ与椭圆C交于48两点，线段/尸的中点为M,线段8尸的中点为N,且丽•丽=L4(1)求弦Z8的长;(2)当直线/的斜率4=1.且直线，〃/时，，交椭圆于尸，2,若点A在第一象限，求证：直线4R彳。与x轴围成一个等腰三角形..如图，过点£(1,0)的直线与圆Oj-V=4相交于48两点，过点C(2,0)且与48垂直的直线与圆O的另一交点为。.B(1)当点8坐标为(0,-2)时，求直线CO的方程；(2)求四边形NCBO面积S的最大值..在平面直角坐标系xQy中，椭圆E：捺+/=1(。>6>0)的离心率为立，焦距为2.(1)求椭圆E的方程；(H)如图，动直线/：y=£x-正交椭圆E于48两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为且％肉=立，M是线段OC延长线上一点，且|MC|:|/8|=2:3,的半径为|MC|,OS,OT是。M的两条切线，切点分别为S,7.求NSO7的最大值，并求取得最大值时直线/的斜率.

31.如图，已知抛物线x?=y.点,抛物线上的点P(x,y)(-；〈x<|过点B作直线AP的垂线，垂足为Q(I)求直线AP斜率的取值范围;(II)求归却尸。1的最大值v.2v2v.2v232.已知椭圆Cj+方=1(。>6>0)的左、右焦点分别为6(-1,0),苞(1,0),点/(正，3)在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在斜率为2的直线/,使得当直线/与椭圆C有两个不同交点时，能在直线y=g上找到一点P,在椭圆C上找到一点。，满足丽=而？若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由..如图，已知椭圆的离心率为巫，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点斗名为顶2点的三角形的周长为4(忘+1),一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设尸为该双曲线上异于顶点的任一点，直线尸耳和珠与椭圆的交点分别为48和C,。，其中4c在x轴的同一侧.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)是否存在题设中的点P,使得画+|西=1而・丽？若存在，求出点尸的坐标;若不存在，请说明理由..已知抛物线E：V=4x的焦点为尸，圆C：*2+/-2如+02-4=0.直线/与抛物线E交于点A、8两点，与圆C切于点P.（1）当切点P的坐标为（g，5）时，求直线/及圆C的方程；（2）当。=2时，证明：|五川+|尸8|-|48|是定值，并求出该定值..设点尸（0,；）,动圆A经过点尸且和直线夕=-；相切，记动圆的圆心A的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C上一点尸的横坐标为过户的直线交C于另一点。，交x轴于点用，过点。作尸。的垂线交C于另一点N.若是C的切线，求，的最小值..如图所示，椭圆E的中心为坐标原点，焦点6,❷在x轴上，且6在抛物线V=4x的准线上，点P是椭圆E上的一个动点，△行；鸟面积的最大值为6.（1）求椭圆E的方程；（II）过焦点耳,g作两条平行直线分别交椭圆E于48,C,。四个点.①试判断四边形/SCO能否是菱形，并说明理由：②求四边形面积的最大值.ny37.在平面直角坐标系xoy中，点T（-8,0）,点R,Q分别在x和V轴上，行.曲=0,点P是线段RQ的中点，点P的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）直线L与圆（x+厅+/=i相切，直线L与曲线E交于M,N,线段MN中点为A,曲线E上存在点C满足历=2而（义＞0）,求力的取值范围.38.在平面直角坐标系X。内，动点M（x,y）与两定点（-2,0）,（2,0）连线的斜率之积为4'（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）设点4（再,乂），8仁/2）是轨迹C上相异的两点.（I）过点A,8分别作抛物线/=4后的切线（，4,4与6两条切线相交于点证明：殖.丽=0；(II)若直线0/与直线08的斜率之积为证明：为定值，并求出这个定值..己知点尸(1,0),直线= 直线/'垂直/于点P,线段尸尸的垂直平分线交/'于点。.(1)求点。的轨迹C的方程；(2)已知点”(1,2),过尸且与x轴不垂直的直线交C于48两点，直线44,8”分别交/于点M,N,求证：以MN为直径的圆必过定点..已知椭圆C：W+《=l(a>b>0),O是坐标原点，月，玛分别为其左右焦点，a'b阳段=20,〃是椭圆上一点，/月必；的最大值为:乃(1)求椭圆C的方程；(2)若直线/与椭圆C交于尸,。两点，且OP_L。。(i)求证：阿+函为定值；(ii)求△OP。面积的取值范围..己知。G:(x+l)2+/=1,0G +/=厂2(r>0),0cl内切OC?于点4尸是两圆公切线/上异于A的一点，直线P。切OG于点。，PR切于煎R,且。,R均不与A重合，直线G0GR相交于点M.(1)求M的轨迹C的方程；(2)若直线MG与x轴不垂直，它与C的另一个交点为N, 是点M关于x轴的对称点，求证：直线MW'过定点..已知椭圆E：H=*>勾的离心率e邛，右焦点尸(c,0),过点心,0)的直线交椭圆E于尸,0两点.(1)求椭圆E的方程：(2)若点P关于x轴的对称点为M,求证:三点共线；(3)当AFP。面积最大时，求直线尸。的方程..已知动圆M过定点T(2,0),且在V轴上截得的弦尸。长为4.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；

⑵设点48是轨迹C上的两点，刀.方=T且尸(1，。)，记$=53%+5如，求S的最小值..已知椭圆C：+'=l(a>6>0)经过点(2,旬且离心率等于孝，点4,8分别为椭圆C的左右顶点，点尸在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)“，N是椭圆c上非顶点的两点，满足OMIMP,ONIIBP,求证：三角形MON的面积是定值.45.已知椭圆C:[+，=l(a>6>0)经过点(2,夜)且离心率等于弓,点4,8分别为椭圆C的左右顶点，点尸在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)“，N是椭圆c上非顶点的两点，满足OMIMP,ONIIBP,求证：三角形MON的面积是定值..在平面直角坐标系xQy中，椭圆C；』+t=13>6>0)的离心率是巫，且直线a2b2 2/.：±+[=1被椭圆C截得的弦长为正.(I)求椭圆C的标准方程：(II)若直线4与圆。：/+/-6x-4y+zn=0相切：(i)求圆。的标准方程；(ii)若直线4过定点(3,0),与椭圆C交于不同的两点E、F,与圆。交于不同的两点"、N,求|£尸|」MN|的取值范围..如图，直线0408方程分别为V=x和、=一^^,过点以2,0)作直线”分别交0408于48两点，当”的中点C恰好落在与直线2x+y+m=0,(me&)垂直且过原右顶点，直线/与椭圆相交于不同于点A的两个点尸区，凶),0(X2,%).点的直线上时，求直线48的方程点的直线上时，求直线48的方程.离心率为丑，点A为椭圆C的

2(I)求椭圆C的标准方程；(II)当"•而=0时，求△。尸。面积的最大值；(III)若直线/的斜率为2,求证：AOP。的外接圆恒过一个异于点A的定点..已知圆。:/+/=2,直线/过点且OA/_L/,P(x。,%)是直线/上的动点，线段与圆。的交点为点N,V是N关于x轴的对称点.(1)求直线/的方程；(2)若在圆。上存在点。，使得NOP0=3O。，求与的取值范围：(3)已知48是圆O上不同的两点，旦AANN，=NBNN，,试证明直线48的斜率为定值..已知椭圆。:三+方=1(。>6>0)过点且离心率为手.(I)求椭圆C的标准方程；(H)若点彳(4乂)，8仁,必)是椭圆C上的两点，且x产与，点尸(L0)，证明：NAB不可能为等边三角形..己知椭圆C：\+.=1(°>6>0)的离心率为日，A(a,0),8(0,6),0(0,0),△0/8的面积为1.(1)求椭圆C的方程：(2)斜率为2的直线与椭圆交于P、。两点OP_L。。，求直线/的方程；(3)在x上是否存在一点E使得过E的任一直线与椭圆若有两个交点M、N则都有+为定值？若存在，求出点E的坐标及相应的定值•.己知椭圆C：W+£=l(a>b>0)的长轴长为4,离心率为也.a2bz 2(1)求椭圆C的方程；(2)P为椭圆t+贯=1上任意一点，过点尸的直线y=Ax+m交椭圆C于48两点，2射线P。交椭圆C于点Q(O为坐标原点).①是否存在常数使得鼠^2=25^。恒成立？若存在，求出入的值，否则，请说明理由；②求A48。面积的最大值，并写出取最大值时左与根的等量关系式..已知/(一2,0),8(2,0),动点、P满足kp“・kpB=t,其中勺”左心分别表示直线尸4尸8的斜率，，为常数，当f=_l时，点P的轨迹为G；当时，点尸的轨迹为(1)求G的方程；(2)过点网-百,0)的直线与曲线C，g顺次交于四点且4，AeG，P2,P}eC2,是否存在这样的直线/,使得山川,㈤川，区周成等差数列？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由..已知椭圆C|：4+，=l(a>b>0)离心率为半，焦距为2&，抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点F是椭圆G的顶点.(I)求G与c2的标准方程；(H)设过点F的直线/交C2于尸,。两点，若G的右顶点A在以尸。为直径的圆内，求直线/的斜率的取值范围..设椭圆+<]=1的焦点在x轴上.a\-a(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程；(2)设",用分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线6P交V轴于点。，并且耳尸，耳。.证明：当。变化时，点尸在定直线x+y=l上..已知椭圆C：与+彳=J(a>B>0)的离心率为注，椭圆C和抛物线了2=工交于M.N两点，且直线MN恰好通过椭圆。的右焦点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过椭圆C右焦点的直线I和椭圆。交于45两点，点产在椭圆上，且近=痂,其中O为坐标原点，求直线I的斜率..已知动圆尸与圆月：(x+3)2+/=81,圆巴：(x-3):+/=1都相内切，即圆心尸的轨迹为曲线C；设。为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点用作。。的平行线交曲线C于M,N两个不同的点.(1)求曲线C的方程；(2)试探究|MN|和|0。『的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由..已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为返，椭圆C的长轴长为4.12 2 9b a 4(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线1：产kx+如与椭圆C交于A,B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点0?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由..已知椭圆C的两个焦点坐标分别是耳(-行,0)、人(道,0),并且经过点P(行,(1)求椭圆C的方程；(2)若直线/与圆O:》2+/=1相切，并与椭圆C交于不同的两点A、5.当忘.丽=2，1 2且满足时，求面积S的取值范围..已知。为坐标原点，抛物线C：F=nx(”>0)在第一象限内的点P(2,f)到焦点的距离为g,曲线C在点P处的切线交x轴于点。，直线4经过点。且垂直于x轴.(I)求线段。。的长；(II)设不经过点尸和。的动直线4：x=my+b交曲线C于点A和8,交乙于点E,若直线尸/，心,总的斜率依次成等差数列，试问：4是否过定点？请说明理由..如图，已知椭圆C：5+'=l(a>b>0)经过点”,日),且离心率等于日,点45分别为椭圆C的左、右顶点，”,N是椭圆C上不同于顶点的两点，且AOA/N的面积等于也.2

(1)求椭圆(1)求椭圆C的方程;(2)过点A作/P〃。历交椭圆C于点P,求证：BP//ON.62.已知动点尸到点彳(-2,0)与点8(2,0)的斜率之积为点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线(1)求曲线C的方程;(2)若点。为曲线C上的一点，直线4。,8。与直线乂=4分别交于〃、N两点，求线段MTV长度的最小值.63.已知椭圆63.已知椭圆c：W+£a2h2=l(a>b>0)的离心率为右焦点工到直线x+y+5=O的距(1)求椭圆C的方程；(2)若直线/经过椭圆C的右焦点鸟，且与抛物线/=4x交于4,4两点，与椭圆C交于耳，员两点，当以用层为直径的圆过椭圆C的左焦点耳时，求以44为直径的圆的标准方程.64.已知耳,工分别为椭圆£+^=l(a>6>0)的左、右焦点,8为椭圆的上顶点，△年与ab为正三角形，且P为椭圆上一点，4(0,20)为椭圆外一点,|尸4卜|尸尸」的最小值为-1,过点用且垂直于x轴的直线交为椭圆于C,£>两点，直线/：y=mx+”与/+/=3相切并且交椭圆于M,N(M,N在直线CO的两侧)两点.(1)求椭圆的方程；(2)当四边形CMCN的面积最大时，求直线/的方程.

65.已知椭圆G：W+《=l(a>b>0)的离心率为巫，短半轴长为1.

ab- 2(1)求椭圆G的方程；(2)设椭圆G的短轴端点分别为48,点尸是椭圆G上异于点48的一动点，直线PA,PB分别与直线x=4于M,N两点，以线段MN为直径作圆C.①当点p在夕轴左侧时，求圆c半径的最小值；②问：是否存在一个圆心在x轴上的定圆与圆c相切？若存在，指出该定圆的圆心和半径，并证明你的结论：若不存在，说明理由.TOC\o"1-5"\h\z*2V2 3.已知椭圆C:三+乌=l(a>b>0)的右焦点为尸(1,0),且点P。,：)在椭圆上.ab 2(1)求椭圆C的标准方程；cx2I-1 4(2)过椭圆C-//5一上异于其顶点的任意一点。做圆。“2+/=；的两条切b— 33线，切点分别为M,N(M,N不在坐标轴上)，若直线在x轴，V轴上的截距分别为m,〃，证明:二_:+4为定值.3mn.已知椭圆C:J+，=im>6>0)的左、右焦点分别为用巴，离心率为经过点用且倾斜角为45,的直线/交椭圆于48两点.(1)若的周长为16,求直线/的方程;(2)若|力用(2)若|力用=与，求椭圆C的方程.(1)求椭圆方程;b>0),椭圆的长轴长为8,离心率为当(2)椭圆内接四边形Z8CO的对角线交于原点，且(而+而)•(友-就)=0,求四边形ABCD周长的最大值与最小值.69.如图，椭圆C:二+耳=1(°>6>0)左、右焦点分别为片,鸟，上顶点4x轴负半tTb"轴上有点B,满足函=E及，且AB1AF2,若过4B、月三点的圆与直线X-岛-3=0相切.(I)求椭圆C的方程：(H)若尸，。为椭圆上的点，且直线垂直于x轴，直线/：x=4与x轴交于点N,直线尸居与QN交于点M,求APMN的面积的最大值.70.在直角坐标系x0y上取两个定点4(-2,0),4(2,0),再取两个动点乂(0,m),华(0,〃)，且mn=3.(1)求直线4N与交点的轨迹m的方程；(2)已知点｛1")«>0)是轨迹M上的定点，E,F是轨迹M上的两个动点，如果直线AE的斜率心后与直线AF的斜率心/满足限+kAF=0,试探究直线EF的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.参考答案:【解析】【分析】(1)根据椭圆方程，写出两个焦点坐标；设出动点Q,根据向量的坐标运算，求出P与Q的关系，再根据P在椭圆上，进而求得动点Q的轨迹方程.(2)首先根据题意可知直线的斜率必定存在，又因为过点A,可利用点斜式设出直线方程.联立椭圆，设出B(xi,yi),C(X2,y2)的坐标；利用判别式大于0,可求得k的取值范围：利用韦达定理表示出三角形OBC的面积，进而结合基本不等式可求得最后面积的最大值.【详解】(1)'*"a2=4,b2=1，:.c=>/a2-b2=Q-.,.F,(-V3,0),F2(73,0).设Q(x,y),P(xo,yo),•.•动点Q满足的=即+恒，.jx="V3-x0+\/3-x0,"Iy=-yo-y。，解得2 2 2 2 2又(xo,yo)在上+y2=l上，代入椭圆方程可得上+==1,.•.动点Q的轨迹方程为上+上=1.4 164 16 4(2)由题意可知:直线1的斜率存在,设直线1的方程为y=kx-2,B(xi,yi),C(X2,y2).y=kx-2,联立<x2) 整理得(l+4k2)x2.16kx+12=0.—+y'=i,I43由△>(),解得k2>[.. 16k 12・凶+*2=时凶*2=万充.SAoBC=SAoaC-SAoaB=—|OA|-(|X2|-|X1|)=|X2-X1|=7(XI+X2)2-4x|X2_I256k2 48_4,41?-3^(l+4k2)2l+4k2 l+4k2'令J4k2-3=t>0,化为4k2=t2+3.

4t4V4**•SAobc=t2+4t+92卜*=1,当且仅当t=2时取等号，此时k=土立.2••(S△OBC)max=1.【点睛】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质，直线与椭圆相交的综合问题、弦长公式及韦达定理的综合应用、基本不等式的用法等，对计算、化简能力要求高，属于难题.(1)—+^-=1；(2)见解析1612【解析】【分析】(1)代入Fi(1)代入Fi的横坐标即可表示出P点坐标为利用E点坐标以及OE为的中位线得到a与b的关系：再结合椭圆中a、b、c的关系即可解得a、b,进而求得椭圆的离心率与标准方程.(2)设A(xi,y)B(X2,y2),由(1)可求得P点坐标.设出直线AP的方程，则直线BP的方程也可以表示出来了.联立椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理与斜率的表达式即可求得斜率的定值.【详解】⑴把⑴把x=-2代入椭圆方程得* 解得『，取「卜!由题可得OE为APg的中位线，由现0,1可得9=3,即b2=3a,又a2=b2+4,联立解得a=4,b2=12,c21 y v2.•.e=±=[=；,椭圆的标准方程为上+乙=1.a42 1612(2)当NAPQ=NBPQ时，直线AB的斜率kAB为定值-g.证明:由⑴得P(-2,3),设A(xi,yi),B(X2,y2).不妨设直线PA的方程为产k(x+2)+3,则直线PB的方程为y=-k(x+2)+3.

“=L(x+2)+3,联立x2y2“=L(x+2)+3,联立x2y2,一+—=1,I1612整理得(3+4k2*+(16k2+24k)x+16k2+48k-l2=0,-2xi=16k2+48k-123+4k2解得X|=-8k?-24k+63+4k2-12k2+12k+9

3+41?同理得X2=-8k?+24k+63+4k2-12k2-12k+93+4k2,,kAB-X2-x, 48k一5'为正值.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系、韦达定理和斜率的表示方法，对计算能力和分析解决问题的能力要求很高，属于难题.2 2(1)土+匕=1；(2)见解析4 3【解析】【分析】(1)根据题意，用a、c表示出|AF|、|FB,再根据等差中项与等比中项定义求出a、b、c,进而求得椭圆方程.(2)假设存在这样的定点.设出动点P,由P再椭圆上，用xo表示yo,再表示出FM的方程,联立FM与直线/,得交点Q,进而求得过定点的坐标.【详解】(I)由题意得|AF|=a+c,|FB|=a-c,(q+c)+(q・c)=2,°(a+c)-(a-c)=(>/3)2,解得解得a=2,c=l,Ab2=4-l=3.(2)假设在x轴上存在一个定点N(n,0),使得直线PQ必过定点N(n,0).设动点P(xo,yo),由于P点异于A,B,故yo#),由点P在椭圆上,故有三+3=1,...疗=华2 ①又由⑴知A(-2,0),F(l,0),直线AP的斜率kAP=-%.又点M是以线段AF为直径的圆与直线AP的交点,APLFM.1x0+2kAp-kMF=-l=>kMF=-；-=- .kApy«xn+2.二直线FM的方程y=- (x-1).y。x0+2y=-——,联立fmj的方程; y0x=-2,得交点Q(2监士々］.Iy«J3(X(,+2)/.P,Q两点连线的斜率kpo=°-y„=y^-3(x0+2), ②Xo+2 y0(x0+2)将①式代入②式，并整理得kpQ=N：o+2),”0又P,N两点连线的斜率kpN="L.x0・n若直线QP必过定点N(n,0卜则必有kpQ=kpN恒成立，即(, ~整理得4yj=・3(xo+2)(xo・n), ③将①式代入③式，得4x3(4>；)=3(xo+2)(x0-n),解得n=2,故直线PQ过定点(2,0).4【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线过定点问题的解决思路和方法，要注意椭圆的图形与性质的综合，属于难题.(1)—+^-=1；(2)—4 2 2【解析】【分析】(1)设椭圆的标准方程，已知离心率e=£=等，一个焦点(c,0)=(&,0),结合a2=b2+c2,

求得a,b,c的值，即可得椭圆方程;（2）分类讨论，当直线1的斜率存在时，得0至的最小值为交，当直线1的斜率不存在2时，得最小值为1,综合考虑，可知点。至心的最小值是e.2【详解】⑴由题意可设椭圆的标准方程为⑴由题意可设椭圆的标准方程为。卷泌＞。）,二fc亚= a2'<c=R解得a=2,b=0,a2=b2+c2,••椭圆M的方程为,+春二1.Iy=Ax4-w,当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y=kx+”联立］x；+2y2=4化为Q+2k2)x2+4k3x+232-4=(9,A=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-4)>0,化为2+4k2设A(xZ,gl),B(x2,g2),P(xO,g(2).TOC\o"1-5"\h\z-4km .. 、2m・xo=xl+x2=-~~tt~2看。=gl+g2=k(xl+x2)+2w\二 21।/K 1।/K••点P在椭圆M上，呼+*Z(1+2k2)2+([+2k2)2=1,化简得2m2=l+2k2■，满足△>().又点O到直线I的距离d=m_ +研一际720+k-)V22当且仅当k=0时取等号.当直线I无斜率时，由对称性可知:点P一定在x轴上,从而点P的坐标为（±2,0）,直线I的方程为x=±1,二点O到直线I的距离为1.••点O到直线I的距离的最小值为—.2【点睛】圆锥曲线中的最值或范围问题求解方法有几何法和代数法两类，其中常用的代数法有：①二

次函数求最值法，②三角函数有界性，③基本不等式法，④判别式法，⑤导数判断函数单调性，求最值或范围.（1）—+—=1；（2）2-72.8 4【解析】【分析】（I）根据通径和离心率及椭圆中a、氏c的关系，可求得椭圆的标准方程.（U）讨论当斜率是否存在.当斜率不存在时，易得切线方程和切点坐标，进而得到的值.当斜率存在时，设出直线方程，根据直线与圆相切，得到*=4（1+公）；联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式表示出=圆方程，利用韦达定理和弦长公式表示出=再用换元法及函数单调性判断|MN|的最值.【详解】（I）由已知，设椭圆C的方程为'+《=1（。>6>0）,ab-因为四=2a,不妨设点尸（-C,何，代入椭圆方程得，4+4-=1-又因为e=£=XZ,所以彳+77=1，b=c,所以/>2=4,a2=2b1=8,a2 2b-所以C的方程为片+片=1.8 4（II）依题意，圆上的切点不能为（0,±2）,①当直线/的斜率不存在时，其方程为x=2,此时M,N两点的坐标为仅，土近），所以\MN\=2y{2.②当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为卜=履+加，由直线/与圆相切，得T=』=2,即川V1+A-2即川=40+公），设加（士,必）”（》2，%），y=kx+m ,联立!x2y2得，（2^2+l）x2+4kmx+2m2-8=0,xt+x2=—百七=―-联立I84所以\MN\=J1+J1*?一再|=Jl+yx,+x2）'-4xtx2

=Vi+74km2k2+1J-8后+64尸+324^2\k\>J\+k2k2+\2r+1=Vi+74km2k2+1J-8后+64尸+324^2\k\>J\+k2k2+\2r+1所以|MN『=32公（1+公）令f=2r+1,则f>l,r==,

2综合①②知，弦长|〃M的最大值为2拒.【点睛】本题考查了圆锥曲线方程的求法，直线与圆锥曲线位置关系的综合应用，计算量大，而且需要结合各种数学方法，综合性强，属于难题.X2；-(I)y+/=l；(2)(0,V10]【解析】【分析】(1)由双曲线的顶点可得/=3,求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得6=1,即可得到椭圆方程(2)设直线/的方程为V=b+联立双曲线方程，消去V,运用韦达定理和判别式大于0,结合向量的数量积的坐标表示，求得h机的关系式，再由直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求【详解】(1)由题意可知：a2=3,又椭圆G的上顶点为(0/)，双曲线G的渐近线为：y=±-^x。=0，由点到直线的距离公式有：虫=卜俐=6=1，2 2所以椭圆的方程为片+/=1.3(2)易知直线/的斜率存在，设直线/的方程为＞-区+机，代入二-/=],消去y并整理3得:

0-3^2)x2-6kmx-3m2-3=0,要与G相交于两点，则应有:n>01-3r*0m2n>01-3r*0m2+l>3k236^2/n2-4(l-3^2)(-3w2-3)设0G，凹），。2区必），则有：Xt+X2=6km匚/’-3/n2-3又OQi-OQz=阳》2+乂/=x/z+(何则有：Xt+X2=6km匚/’-3/n2-3又OQi-OQz=阳》2+乂/=x/z+(何+m)(去2+m）=（1+—居》2+痴（X[+、2）+m又：西•西=-5,所以有：—^-[(1+A2)(-3w2-3)+6k2m2+m

1-3K(1-3^)]=-5,=>m2=l-9^2>0,②代入3_+/=1,消去丁并整理得：(l+3F)x2+6hwx+3加2-3=0,要有两交点,则A=36Am2-4(l+3Jt2)(3m2-3)>0=3公+1由①②③有:设以仿,必）、也小,居）.士 -6km有：…3331+3公将苏=1-9断代入有：ImM2|=Jl+42•=|%也=>M%I=左2（1+公） （\14442/、 /(14-/) "t/\ \~t所以/'(/)>0在内恒成立，故函数/(，)在内单调递增，故/(，)6(。卷=M%|w(0,啊.【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查了渐近线方程的运用，同时考查了直线和椭圆及双曲线方程的联立，运用韦达定理和弦长公式，考查了化简整理的运算能力，有一定的难度.M的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.【解析】【分析】设出点的坐标，根据给出的两个垂直关系，得到各个坐标间的关系，最后消掉参数得到轨迹方程，并去掉不符合的点.【详解】如图，点A,B如图，点A,B在抛物线丁=4川上，设4OAQB的斜率分别为koA，k()B-所以4PkOAkOBkOAkOB=^-=->* ①yAyB依点A在48上，得直线AB方程⑵+丹)3»)=4P(X-卷I*……②由OM得直线OM方程y=乃+%i. (3)-4夕设点A/(“),则xj满足②、③两式，将②式两边同时乘-F，并利用③式整理得4。+必一(/+/)=0.……④4P ' 7由③、④两式得一:"％_12+/)=0.4P' /由①式知，"％=-16p2,x2+j2-4px=0.因为A,B是原点以外的两点，所以xxO.所以M的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.【点睛】本题考查了曲线轨迹方程的求法，通过迭代法、设而不求，得到各个坐标间的相互关系，最后消去参数得到轨迹方程.注意最后要把不符合要求的点坐标舍弃，属于难题.x2y2FV14714-.⑴一+-=1(2)4 3 56 56【解析】【分析】(1)已知条件有a=2,2c=2,从而易得椭圆标准方程；(2)分类若直线/斜率不存在，则可求得P点坐标，得斜率；若线/斜率存在，设厂(*2，%)，直线/：y=kx+t(t^-2k),代入椭圆方程应用韦达定理得占+》2，中2,由4E_LZ/得左/关系，再由已知用为应表示出尸点坐标，计算3户，并代入士+乙,看》2及刚才的关系式，可把的「表示为发的函数，从而可得其取值范围.【详解】(1)依题意，a=2,2c=2,贝!!c=l,解得从=3,所以椭圆「的标准方程为片+?=1.4 3[y=-x+2(2)当直线/垂直于X轴时，由s消去y整理得7/-16x+4=0,[3x+4yz=12解得”,或2,此时尸库°),直线z尸的斜率为o；当直线/不垂直于x轴时，设E(x”yJ,F(x2,y2),直线/：y=kx+t(t^-2k),

3二12，消去V整理得(3+4公)Y+8板+4f2-12=0,依题意A=64左)2-4(3+4左2)(4”-12)>0,即4k2-t2+3>0(*),8kt3+8kt3+4k24『-12-3+4公又AELAF,所以AEAF=(xt-2)(x2-2)+yly2=(x)-2)(x2-2)+(^+/)(Ax,+/)=7r+4：：16旬=0,所以7产+4公+16公=0,即("+2人)(，+2无)=0,解得，=-9满足(*),所以2配加而=(…，…)十舟，舟》故!焉，高)k k _18-+7弘+小k故直线虫的斜率的”~^—=-鬲F~3^~2当左<0时，8^+y<-4V14,此时-巫4%<0：k 56AP当后>0时，8A+y>4V14,此时0<左4巫；k 律56综上，直线4综上，直线4尸的斜率的取值范围为V14V14~5b,~56【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题，在直线与椭圆相交时，常用“设而不求”思想.即设出参数表示出直线方程，设出交点坐标区,乂),(七,力)，由直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后再由韦达定理得占+%,x%,然后把题中的其他条件与要求的量用坐标为,三表示，交代入士+》2,再》2,从而可化简变形求解..(I)—+y2=l；(II)2- 4 3【解析】【详解】试题分析：(I)先利用平面向量共线得到M是线段尸鸟的中点，再利用三角形的中位线和待定系数法进行求解；(II)先利用直线与圆相切得到加2=公+1,再联立直线和椭圆的方程，得到关于x的一元二次方程，再利用平面向量的数量积和判别式为正、三角形的面积公式得到有关表达式，再利用函数的单调性进行求解.试题解析：（I）因为PM+6"=0，所以〃是线段尸E的中点，所以OW是△式得到有关表达式，再利用函数的单调性进行求解.试题解析：（I）因为PM+6"=0，所以〃是线段尸E的中点，所以OW是△尸百鸟的中11।—+ =I位线，又OMLF\F,,所以助_LE6，所以c=l,又因为｛/2b2a2=b2+c2c=1OM±FtF2,:.PF｝1P%;.R-Hy=1,a2=b2+c2解得°2=2,〃=1了2=1,所以椭圆的标准方程为£+/=l.2\m\（ID因为直线/：y=H+m与。O相切，所以7士二1即m2=k2+\x_2T联立｛5+， 得(1+2公卜?+4版x+2/-2=0.y=kx-\-m设/(X],%),8(々，%)因为直线/与椭圆交于不同的两点A、B,4八 4km所以A>0,Xj+x2=--—-2,x\'x2Ji-y2=陶+m\(kx2+m)=m2_2m2-2―I+2公2k2方・砺=占.毛+*・必=土4=4,又因为所以上£4、""12\+2k2 3 4 3\+2k24解得尹y/\+k2卜「X2I：4+k24优+公）+13设“=/+/,则W4"42，S=2w4w+l单调递增,U所以S弓卜S4s⑵，即10.(1)10.(1)币(2)-2(3)x±3y-6=0【解析】【详解】分析：（1）根据半径，得到圆A的标准方程；因为B、C是两个圆的交点，联立两个圆可得到两个交点坐标，利用两点间距离公式即可求得BC的长.（2）根据圆A关于x轴对称，可设B（x。,%）、C5,-%），代入到圆O中，用为表示天；根据向量数量积的坐标运算，得到方•女=2（x0-1）2-2,根据与的取值范围即可得到丽.AS的最小值.（3）取EF的中点G,连结OG、AD、OF,可知A4O尸与AOGP相似，根据中点性质和勾股定理，在R/AOFG和HfAADP中，联立方程求得r的值；设出直线方程，根据点到直线距离公式即可求出直线方程.详解：（1）当r=6时，由［二）二=2得，唱3 bc=^（2）由对称性，设B（x。,%）、C5，-%）,则与2+%2=4所以方.充=（与_2）2_%2=(x0-2)2-(4-x02]=2(x0-l)'-2因为-2<x（,<2,所以当与=1时，衣的最小值为-2(3)取EF的中点G,连结OG、AD、OF,则AD〃OGADAPPD4 3则 =—=—=一,从而OG=一1,不妨记DE=2EG=2G/7=21,PD=6/OGOPPG6 2在Rt\OFG中OF?=OG2+FG2即21=怎)+1?①在/?/AADP中AP2=AD2+DP2即^二“+e/^②由①②解得r=2叵5由题直线工的斜率不为0,可设直线E的方程为：X=叩+6,由点A到直线/的距离等于12—wx0-6|2J10则।I"=二^，所以m=±3,从而直线/的方程为x±3y-6=0V1+/M2 5点睛：本题考查了直线与圆、圆与圆之间的位置关系，根据向量的数量积求最值问题，结合点到直线距离求直线方程，综合性强，属于难题.11.（1）C:—+^-=1（2）|O0|e工不82 11L2J【解析】【详解】分析：（1）两个焦点与短轴的•个顶点构成底边为2后，顶角为120。的等腰三角形.说明c=®再由直角三角形得6=应，从而可得“值，得标准方程；（2）关键是把|。。|表示为一个变量的函数，当直线48斜率不存在时，可直接求出|。。|的长，当直线Z8斜率存在时，设其方程为y=h+m,与椭圆方程联立方程组，变形后由判别式写出一个不等关系，并设4区,必）,8（々,/），由韦达定理得出%+*2，占七，由OP^-L=OA+^=OB表示出尸点坐标代入椭圆方程得中2+4“%=0,代入刚才的%+工26占得左,m的关系式：m2-4k2-]=0,它满足判别式＞0,计算中点。的坐标，再计算线段长最终表示为"的函数，从而中求得取值范围.详解：（1）由题意，e=a,6=c-tan30"=，；•/=6。+c?=8,二椭圆C:寸+^=18 2（2）设4（xqJ,B（x2,y2）,Q（x0,y0）,由8端。"高OB=7To（V+3%"3力x：+4疗=8I.＜ x；+4y；=8 ,得：xix2+4yiy2=0i f4 ）—（x1+3x2）-+—（^,+3^）-=8当N8的斜率不存在时，x2=x,,y2=-yt由须工2+4%了2=》；-44=0,占2+4%2=8,得±=±2,，。（±2,0）,|£）0|=-|当Z8的斜率存在时，设48号=履+机得：（]+4公卜2+8上机丫+4加2_8=0,A=16（8/+2-力2）＞o[x+y8km 4nr-8*+"-由'中2=f^f

由P点在椭圆上得看丫2+4乂%=0得：m2_442_]=o,此时△>（）总成立-X,+x,4km又、。===一询嵯：+4二+2=_3仕+[+7,3止+⑶

m"mm4 2J.•.-14,41且_1力0, 47且"mm 4 4综上：-<\DQ\<41点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系问题，考查“设而不求”的思想方法，考查范围问题，解析几何中范围问题一般要把目标表示出一个参数的函数，这里关键是参数的选择要恰当.第（2）题中可用下列方法建立函数：设48中点。（%,%）,则与=五产，%=叼々.242_xf+x1+2x.x24（呼+货+2M％）••X。+4%==X；+4y：+x；+4y；+2（X|X2+4必必）=（4则 =J4cos冶+「则 =J4cos冶+「in6-3sin20-3sin6+一4呜)+7\DQ\e；巾v.2 612.(1)—+v2=l；(2)(-,0)4 5【解析】【详解】樗，哈分析：（1）由椭圆的对称性知P,。两点关于原点对称，不妨设P在第一象限，由弦长可得樗，哈代入1+4=1,再结合2a=4可解得6；a2b2（2）只要设出直线方程：4：x=my+2,/2：x=-'y+2,把x=〃y+2代入椭圆方程可解得mM点坐标，同理可解得N点坐标，由两点求出直线MN的方程（注意分类讨论MN与x垂直和不垂直两种情形），通过直线方程可观察出直线所过定点.

详解：（1）根据题意，设直线y=x与题意交于产,。两点.不妨设p点在第一象限，又尸。长为迎，5••.P殍当）.，+;=［,可得力+心沁,又2。=4,・・・。=21=1,故题意。的标准方程为二+/=],4，(2)显然直线4,4的斜率存在且不为0,设4：x=my+2,/2：x=-'y+2,m-2m2+8-4m加2+4'm-2m2+8-4m加2+4'm2+4X2, ^(m2+4]y2+4my=0,；.M同理可得N-2+8m24m4m2+14m2+同理可得N当加0±1时，5m 4m当加0±1时，5m 4m而习,所以直线MN的方程为尹亦5m

4(〃/-1)x-—2〃厂+8

zn2+45m—6m5m（ 6\整理得尸而刁x+碓GrpR'R'所以直线当;„=±1时，直线MN的方程为x=《，直线也过点（合o）所以直线必V过定点占0）.点睛：在圆锥曲线中证明直线过定点，主要采用“设而不求法”，通常求出直线与圆锥曲线的交点坐标（本题是通过设出直线方程，由直线方程与椭圆方程联立求得交点M,N坐标），然后求出直线方程，观察直线方程可证此直线过定点.2y2（1）"+1=18*°）（2）见解析2【解析】【详解】分析：（1）以BC所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用椭圆的定义，求得点T的轨迹E的方程；（2）设直线QM的方程，与椭圆方程联立，消去y,得（加2+1_2mxi）工2_2加（］_玉2）工+（2s［一演2_〃/苟2）=0,利用韦达定理，证明轴，即

可证得结论.详解：（1）以8c所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则\AB\+\AC\=f»\BC\,所以点A的轨迹是以8,C为焦点的椭圆.所以所以2a=6,2c=3^2,所以〃=3,c=所以〃=3,c= ,2所以/=a2-c2=-,2X2/._1/n\所以点A的轨迹方程为互+百"一’人2设T（xj）,点T在线段4。上，且|47|=2|7。|,片片_1所以力（3x,3y）,代入瓦+f=L整理可得点T的轨迹E的方程是“2O=（2）证明：设〃（见0）（掰＞0）,由QM・|ON|=1得"（，0）尸（孙必）,0（X2，%），火（0%）.由题意，直线OM不与坐标轴平行，即“=」一，直线0M的方程为y=-L（x-〃?）.与X]-zw x,-/n椭圆方程联立，消去得27nxJ%2_2m（]_菁2）工+（2加须—xj_加2玉2）=02inx]-X12-m2x12

m2+1-2mx]2mx.-x,-m^x.同理工丙=——；:1——~=XlX2，nT+\-2mx]所以々=Xj,或再=0.当玉=0时当玉=0时,2mm2+1-=x2,PR1x轴,所以4WPH是等腰三角形.点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及到的知识点有利用椭圆的定义求椭圆的方程，直线与椭圆相交问题，在解题的过程中，需要联立方程组，要熟练掌握韦达定理，注意题中的隐含条件，注意三角形为等腰三角形的等价条件是什么，从而证得结果.（I）证明见解析；（U）6近,竺胆.【解析】【分析】分析：（I）设248的纵坐标为比，%,为，根据中点坐标公式得以,尸8的中点坐标，代入抛物线方程，可得乂+%=2%,即得结论；（II）由（I）可得A2I8面积为；|尸必回-必利用根与系数的关系可表示|pm|，|m-闾为外的函数，根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面积取值范围.【详解】详解：（1）设，伍,又），必2,必），8（（门,力）.因为尸｛,尸8的中点在抛物线上，所以必，为为方程（号―母，即V-2>v+8xo-y；=O的两个不同的实数根.所以必+%=2%.因此，PM垂直于V轴.（II）由⑴可知上弋=2%；所以“|=：（y；+y；）-Xo=]y：-3x0,o 4因此，NAB的面积S— |=孚（呼-4d.因为x：+%"=l（x（）<0）,所以y；-4x（）=-4x；-4xo+4e[4,5].因此，△P43面积的取值范围是6贬,空胆.点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系,分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.2（1）二+x'l:（2）22【解析】【详解】分析：（1）由短轴的一个端点与两个焦点构成等腰直角三角形，可得a=J5b=J5cn椭圆的方程为塌+1=1,将代入解出a=£b=l,从而可得结果；（2）设为y=kx+近*丰0）,代入上+/=1=（2+公）》2+班去=0,求出P、0的坐标，利用平面向量数量积的坐标表示，消去参数即可的结果.详解：（1）°=">=J5cn椭圆的方程为。+*=1,将M1）代入解出a=>/?,b=1,所以椭圆的标准方程为t^+x2=1.2（2）证明：由已知得力（0,五），8（0,-屈），@-存=0=>0在直线y=->/Lt,若。斜率不存在，则而?+而•迎=万匹=而、2;（ii）若。斜率存在，设04为了=去+*0）,代入--I-x2=l=（2+k2）x?+2-j2kx=0=x3=0,x'=—2^"上2+k2,,后242-42k2yP=kxP+>j2= -2+k22k2+4c= -=2.2+k1点睛：本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.（1）3；（2）答案见解析.【解析】【详解】（1）如图,由题意，易得直线2x+y-6=0与x轴的交点即为抛物线的焦点尸（3,0）,所以P=6,所以抛物线方程为/=i2x,其准线方程为x=-3.设必）,8（七,必）,将y=-2x+6代入方程/=i2x,消去歹,整理得x2-9x+9=0,所以X1+X2=9,占》2=9.由抛物线定义得|4尸I=&+1=x,+3,同理忸同=X2+3,所以|/尸卜|8尸I=占》2+3（占+工2）+9=45.由弦长公式得,|/a=|工刊+忸尸|=（芭+々）+6=15,

所以（2）假设存在符合题意的实数P,设力（士,必）,8（吃,%）,将y=-2x+6代入方程/=2px中,可得2》2-(p+12)x+18=0,则X]+x2=y+6,x,x2=9.设N（x。,%）,因为MN"轴，得4=加=匕产=-（占+々）+6=-金2所以与奇小即,由题意知而2所以与奇小即,由题意知而.丽=0,即|占且弘=-2X1+6,y2=-2x2+6,化简得5再、2-[12+|/j|(x(+X2)+g/+6p+36=0,\ 8y 6424代入得19p2+432p-576=0,且P>0,解得p=历.24故存在实数P=A满足题意.i*2 54(1)椭圆C的方程为,+/=1乂2)定值为彳.【解析】再结合椭圆过点尸（行,gj,【详解】分析：第一问由题意可得/一从=3,从而求得两焦点的坐标,利用椭圆的定义求得2。=4,。=2,从而求得8=1,再结合椭圆过点尸（行,gj,方程是N=h+M,代入椭圆方程，消去V,根据%”上,质恰好成等比数列，求出发的值，进而表示出|OM「+|ON『，即可得出结论.详解：（1）依题意得椭圆的右焦点为尸（百,0）,则左焦点为尸'卜石,。）1 72a=\PF\+\PF'\=-+-=4,^a=2,c=y/3,b=\二椭圆C的方程为二+/=14-（2）设直线/的方程为y=丘+加（川/0）,M（X|,必）,"优,力）

由《y=kx+mx2=1得(x由《y=kx+mx2=1得(x+4%2)/+8Ztwx+4(加21)=0,-Skm4zw-1..…=寸'中2="^而由题设知，公=*=密=回+叫回+响.+■♦+%）+，.".km(x]+x2)+m2=0,/.~8^m-+w2=0.m^O,：.k2=-.1+4公 4则Si+S2=((|OM|2+|OnX(x；+y；+x；+4)=?□：+>%*+1-号3乃64k2m2 8(w2-l)记(1+叱)2-1+43乃64k2m2 8(w2-l)记(1+叱)2-1+4〃n+—2=^-\^nr—4（m2—1）1+—=—16L、 〃245万故E+52为定值，该定值为点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，在解题的过程中，注意对抛物线的焦点坐标要明确求出，再者注意应用椭圆的定义求得长轴长2a的值，进一步求出椭圆的方程，在第二问，就是比较常规的直线与椭圆方程联立，韦达定理，之后转化，即可求得结果.TOC\o"1-5"\h\z.Q厂J.2 1 “、 ^2 5/2（1）—+y=1.（2）y= x .2' 2 2【解析】【详解】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质及点在椭圆上，结合性质/=从+©2，列出关于。、b、c的方程组，求出a、b、c,即可得结果；（2）设出直线方程y=b+f,直线方程与椭圆方程联立消去y可得（1+2公）/+46+2/-2,根据韦达定理、弦长公式以及三角形面积公式可得=」J（近一丫（4-2”）,换元后，利用导数求出三角形面积最大时的人的取值即可得到直线方程.试题解析：（I）：•椭圆W+£=l经过（1,e）,0产二1，1,解之得〃=1,又二椭圆方程为』+/=1.又尸2为等腰直角三角形,故椭圆方程为微+V=L(2)由(1)可知椭圆的方程为巴■+/=1,2故尸(1,垂)，由题意，当直线/垂直于X轴时显然不合题意.设不经过原点的直线/的方程y=Ax+f(#0)交椭圆C于/(x/,yi),Bg,y:))消去y消去y得(1+2的/+43+2»—2=0,△=(4砌2-4(1+22一(2--2)=164一8产+8>0,4U ,2r・・X/+x2=一 ♦，yi+V2=k(xi+Xj)+2/= —,l+2i? 计砂直线O尸方程为、=①且O尸平分线段Z8,2^3=垂/二解得左=-垂.1+M?21+* 2又；点、P到直线/的距离d=Bj 3=hJ14J?*播F1一谢设加)=(田一伏4-2好=-2/，+蝴5/3-8电£+8,由直线/与椭圆C相交于/、8两点可得一晅</<田.求导可得/=一坦时大。在(一\fi，\fi)上有最大值圆，此时8孙8取得最大值,此时直线/此时直线/的方程y=一电也22【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程£+5=1(°>%>0)或a~b~③找关系：根据已知条件，建立关于。、b、c的方程组；④得方程:解方程组，将解代入所设方程，即为所求.(I)片+己=1；(H)巫.4 3 56【解析】【详解】试题分析:(I)写出抛物线焦点坐标，得椭圆中”】，把点。,|)的坐标代入椭圆方程得点+^=1与a?_从=］联立可解得凡b,得椭圆方程;(II)设EQe，拄)，/(",九•),设直线方程为y=Nx-2),与椭圆方程联立消元后应用教研室可得4,Ve，用-?代k可得F点坐标,计算中点P坐标,计算AP的斜率为t= 二2,k 42+4+6H1 5分子分母同时除以产，并换元s=；-%,得”不工由基本不等式可得最大值.k 4s+14试题解析：(I)因为抛物线/=4x的焦点为他0)，抛物线与椭圆C有相同的焦点

所以c-l，又椭圆所以c-l，又椭圆C过点(1»方)，所以解得『=4b2=3则椭圆的标准方程为±+±=1；43(H)设及一,yj尸Gf，")直线4E的方程为y=it(x-2)，代入椭圆方程，可得B+M1p-lGfx+lSP-lZuO由2+勺■由2+勺■3^^*可得孙8k2-63+辕?'%=垢-2)=哉则直线4尸的斜率为则直线4尸的斜率为£=4F+4+6*2当*・0时，£・0；当2・0时，f3由尸为E尸的中点,由于只要将上式的*换为一L,可得x.uS-6*?kF再令S=1，可得f=-= ，当2・0时，£・0;k 4s2+141 1痴当”。时，5尸4诉=*，JS当且仅当&=W时，取得最大值;s综上可得直线AP的斜率的最大值为名.56(I)—+^=1；(II)373123【解析】

【详解】试题分析：（1）根据题意可得N（0,6）故斜率为2,由直线2x+y-6石=0与直a线MN垂直，可得a=2b,因为点N是线段MB的中点，.•.点8的坐标是8（a,26）,代入直线得2。+26=3&，连立方程即可得6=6,a=26；（2）二•四边形OEG厂为平行四边形，...砺=应+而，设£（片,必），尸仁,%），G（xo^o）->-OG=OE+OF=（占+々,凶+%），得2二J将G点坐标代入椭圆C方程得病=；0+4公），TOC\o"1-5"\h\z\14-4k1+4k） 4' 'l/nl点O到直线E尸的距离为d=7一,利用弦长公式得EF,则平行四边形OEGF的面积为y/\+k2S=/怪尸|=|利％-X2I=|同［（网+xj2-4j0 ⑵,=4同屈=4万工=361+4父 1+4/解析：（1）由题意知，椭圆C的左顶点M（-a,0）,上顶点N（0,b）,直线的斜率“=，=”得Q=26,因为点N是线段的中点，二点B的坐标是8（a,2b）,由点8在直线2x+y-6G=0上，/.2a+2b=3y[2.且。=26,二椭圆C的方程为上+广=1.123（2）设£（再,必），F（x2,y2）,G（x0,y0）,将歹=履+加代入卷+将歹=履+加代入卷+乙=1消去y并整理得（1+4k2）x2+8hnx+4m2-]2=o,则占+匕=-帝记，x,-x2必+^2=%（占+&）+2m=4m2-12-1+4公27/11+4A-:四边形OEGF为平行四边形，二砺=历+砺=（为+丫2，M+为），得gH，品），将G点坐标代入椭圆。方程得/=*+叱），,\m\点O到直线EF的距离为d=/:,J1+公・・・平行四边形OEG产的面积为S=小区尸|=时区=帆J（X|+xj-4X1%=4网，；-：；⑵=4时屈=46$=3"1+4公 1+4公故平行四边形OEGF的面积S为定值3G.（1）（2,+8）（2）直线1上不存在点E,使得4ABE是正三角形.【解析】【详解】试题分析：（1）由题意可知曲线C是抛物线，可得抛物线方程，把直线方程代入抛物线方程得x的一元二次方程，同时设设/（4乂）、BCx2,y2）,利用韦达定理得占+々,中2,用坐标表示出SP\SPmm-+777-=-+—，利用基本不等式并转化为4弓，代入韦达定理的结论可得.SA|S8y,y2（2）假设存在点4（%,-加），使4ABE为正三角形，则|BE|=|AB|且|AE|=|AB|,由抛物线定义知|明若小，这样把|BE|=j和|AE|=4加用坐标表示，两式相减就可解得切，从而得E点坐标，但检验发现此时|/同封4回，故刚才的解不正确，即不存在E点满足题意.试题解析：（1）依题意，曲线C是以点P为焦点，直线4为准线的抛物线，所以曲线C的方程为f=4叩设4方程为^=去+“代入V=4叩由消去y得/一4〃而-4m2=0设力（马,必）、B（x29y2）,则玉+々=4射,中2=-4/所以77+,的取值范围是（2，田）⑵由（1）知6方程为y=理■x+m代入x?=4/ny由消去V得x2-^^/nx-4"/=0&=-2^■加,》2=2yfim,彳-2^加彳），8（2如加,3加）16 （一■^加一毛）,+（g+M）:|/目=必+必+2/%=_/n,即|< 3 $（2V3w-j^）2-F（3w4-w）:=相减解得x0=Mw.9若9加，加），则|/同一石，机目力目（不符，舍）因此，直线/上不存在点E,使得4ABE是正三角形.（2A5、解法二：设AB的中点为G,则G、3 3,由EGJ.N8,联立EG方程y3加=6卜3%）与4：V=m方程求得£■[9n由|以7|=乎|力8|得m=0,矛盾因此，直线/上不存在点E,使得4ABE是正三角形.点睛：本题第（2）小题解法中，假设存在E点满足题意,抛物线定义知|第=白，可由其中一个如|BE|=|AB|=?「=（yw）：=（y»i）:\?,一〃？/则有|BE|=|AB|且|AE|=|AB|,而由明，解得天,只要代入|AE|,就可假设存在点E（x0,-/n）,使4ABE为正三角形，则|BE|=|AB|且|AE|=|AB|,知此解不满足题意，但这样解计算复杂，不易求解,减求得机，可使求解过程简单易得，只是要检验，题时注意此种解法.2 222.（1）y+^-=1；（2）（x-2）2+/=8.,而把|BE|=]加且|AE|=h〃7同时表示相即代入|AE|看是否有四弋加即得.解【解析】【详解】试题分析：(1)求椭圆方程关键是求方程4+4=1中的6,题中有两个已知条件，由

a"b"X(a,O),8(0,b)用数学式子翻译出来联立方程组可解得；(2)先考虑当直线/垂直于x轴时是否满足题意，如满足，求出相应圆方程，如不满足，则舍去，当直线/斜率存在时，可设方程为y=〃(x+2),代入椭圆方程，由椭圆中的弦长公式求出弦长再由点到