高考数学平面解析几何大题专题训练70题含解答

高考数学平面解析几何大题专题训练70题含答案学校:姓名：班级：考号：一、解答题.已知椭圆从《+与=1(4>6>0)经过点4(0,6),右焦点到直线x=《的距离为3.ab c(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点4作两条互相垂直的直线乙，。分别交椭圆于〃，N两点，求证：直线MN恒过定点尸［，-日)..过尸(0,1)的直线/与抛物线C：》2=4y交于A,8两点，以A,8两点为切点分别作抛物线C的切线4,12,设4与右交于点。(X。,%)).(1)求比;(2)过。，尸的直线交抛物线C于"，N两点，证明：QFLAB,并求四边形ZA/8N面积的最小值..已知椭圆C：:+/=l的一个顶点为抛物线Y=8y的焦点，点。(*。,九)在椭圆C上且Xo-%hO,P关于原点。的对称点为。，过户作OP的垂线交椭圆于另一点7,连交x轴于M.(1)求椭圆C的方程；(2)求证:PM_Lx轴；(3)记APOM的面积为E，APQT的面积为S，求1t的取值范围..己知椭圆£+《=1(。>6>0)的离心率为巫，连接椭圆四个顶点得到的菱形的a2b2 2面积为4.(1)求椭圆的方程：(2)设A是椭圆的右顶点，过点A作两条互相垂直的直线,AN分别与椭圆交于〃，N两点，求证：直线过定点；(3)(只理科做)过点。(0,-1)作两条互相垂直的直线4，4，4与圆。：/+/=4交于B,C两点，4交椭圆于另一点。，求A5c。面积的最大值.2.已知点P是曲线G：工+/=1上的动点，延长PO(O是坐标原点)到。，使得尸点。的轨迹为曲线C2.（1）求曲线G的方程；（2）若点耳，工分别是曲线G的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线/与曲线交于M，N两点，求AOMN面积的最大值..在平面直角坐标系中，椭圆C：,+£=1.>/,>0）过点［&,孝），耳，行为椭圆C的左、右焦点，离心率为电，圆O的直径为耳鸟.2（1）求椭圆C及圆。的方程；（2）设直线/与圆。相切于第一象限内的点P.①若直线/与椭圆C有且只有一个公共点，求点尸的坐标；②若直线/与椭圆C交于A,8两点，且008的面积为生叵，求直线/的方程.13.已知椭圆C：m+g=l（a>6>0）的短轴长为2,离心率e=也，（1）求椭圆C方程；2（2）若直线/：、=b+用与椭圆交于不同的两点48,与圆=§相切于点”，①证明：OA工0B（其中。为坐标原点）；②设a=噌，求实数％的取值范围..8.平面直角坐标系中，以原点。为圆心，/（「>0）为半径的定圆C，与过原点且斜率为无他xO）的动直线交于P、。两点，在x轴正半轴上有一个定点R（m,O）,P、Q、R三点构成三角形，求：（1）A尸。R的面积£的表达式，并求出E的取值范围；aPOR的外接圆G的面积包的表达式，并求出S2的取值范围..椭圆C：4+4=1（a>6>0）的左、右焦点分别是6、用，离心率为:，过耳且ah 2垂直于轴的直线被椭圆C截得的线段长为3.（1）求椭圆C的方程；（2）点尸是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接「环、PF1,设/耳尸鸟的角平分线尸M交C的长轴于点M（a,O）,求机的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点尸作斜率为左的直线/,使得/与椭圆C有且只有一个公共点设直线刊入Pg的斜率分别为尢、k2,若％*0,试证明J+J为定值，并求出AA।AA这个定值..已知。为坐标原点，尸是抛物线C：x2=4y的焦点，”是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过尸，。三点的圆的圆心为。.(1)是否存在过点尸，斜率为人的直线/,使得抛物线C上存在两点关于直线/对称？若存在，求出人的范围；若不存在，说明理由；(2)是否存在点“，使得直线M0与抛物线C相切于点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由..已知椭圆C：4+4=1(a>6>0)的短轴长和焦距相等，左、右焦点分别为百、abF2,点41,日)满足：I。制+|。用=2a.己知直线,与椭圆c相交于aB两点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线/过点工，且丽=2所，求直线/的方程；(3)若直线/与曲线y=lnx相切于点T(f,lnf)(t>0),且48中点的横坐标等于|,证明：符合题意的点T有两个，并任求出其中一个的坐标..已知直线，：x=4,点/(1,0),点M(xj)是平面直角坐标系内的动点，且点M到直线4的距离是点M到点尸的距离的2倍.记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过点下的直线4与曲线C交于A、8两点，若AO4B(。是坐标系原点)的面积为］有，求直线4的方程；(3)若(2)中过点尸的直线《是倾斜角不为0的任意直线，仍记4与曲线C的交点为A、B,设点G为线段Z8的中点，直线OG与直线乙交于点O,求NOE8的大小..已知椭圆C:g+《=l(a>6>0),直线/不过原点O且不平行于坐标轴，/与C有ba两个交点A,B,线段48的中点为M.证明：(1)直线。M的斜率与/的斜率的乘积为定值(2)若/过点S，a),延长线段。“与C交于点P,当四边形04尸5为平行四边形时，则直线/的斜率勺=二也£3b.己知椭圆。：4+4=1(。>6>0)的左、右焦点分别是耳(-1,0),6(1,0),点题0,6),ab若A44人的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2.

(1)求椭圆C的方程;(2)设8为椭圆C的右顶点，设圆E：x2+y2=9,不与x轴垂直的直线/与E交于P、。两点，原点。到直线/的距离为逑，线段OP、。。分别与椭圆C交于M、N,2OT1MN,垂足为7.设而=儿的，OQ=pON.AOMN的面积为E，AOBT的面积为％①试确定义与〃的关系式；、.己知曲线C〃：x2-2nx+/=0,(n=l,2,...).从点P(-l,0)向曲线C”引斜率为kn(Jtw>0)的切线/”，切点为PnCxn,yn).16.(1)求数列｛初｝与U"｝的通项公式；16.=l(a>6>0)的离心率为过右焦点厂=l(a>6>0)的离心率为过右焦点厂(1,0)作两条互相垂直己知椭圆E:―-+a~a的直线4,右，分别交椭圆E于48和C、。四点.设18、CO的中点为A/、N.(1)求椭圆E的方程；(2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标：若否，请说明理由..已知椭圆C:5+，=l(a>6>0),尸为椭圆C的右焦点，手］为椭圆上一点,C的离心率e=^2(1)求椭圆(1)求椭圆C的标准方程;(2)斜率为斤的直线/过点尸交椭圆C于两点，线段MN的中垂线交x轴于点尸,试探究腺是否为定值,如果是,请求出该定直如果不是，请说明理由•.已知两定点/卜轲，8c，点尸是平面内的动点，且国+四+|而+词=4,记动点P的轨迹W.（1）求动点p的轨迹W的方程;（2）过点C（-1,O）作两条相垂直的直线分别交轨迹于G,〃,Af,N四点.设四边形GM/W面积为S,求的取值范围5.已知中心为原点O,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为电，且椭圆C的长轴是圆2M:x2+y2-4的一条直径.（1）求椭圆C的方程；（2）若不过原点的直线/与椭圆。交于4,8两点，与圆Af交于P、0两点，且直线OA,AB,的斜率成等比数列，求归。|的取值范围..抛物线C的方程为（a<0）,过抛物线C上一点尸（Xo，%）（x。wO）作斜率为都与的两条直线分别交抛物线C于”（再,必）、8伍,外）两点（尸、48三点互不相同）,且满足左2+2尢=。（2二。，2wT）：（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（2）当2=1时，若点P的坐标为（L-1）,求ZP/B为钝角时点A的纵坐标必的取值范围；（3）设直线N8上一点M,满足诙=/而，证明线段的中点在歹轴上：.设椭圆E：W+与=l（a>b>0）的左右焦点分别为耳，F”上顶点为A.Ub~（1）若/4_148.⑴求椭圆E的离心率；（而）设直线4耳与椭圆E的另一个交点为。，若的面积为：，求椭圆E的标准方程；（II）由椭圆E上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形，当6=1时，若以A为直角顶点的椭圆E的内接等腰直角三角形恰有3个，求实数。的取值范围..如图，圆。与直线x+J或+2=0相切于点尸，与x正半轴交于点A,与直线y=JIr在第一象限的交点为8.点C为圆O上任一点，且满足祝=》如+、丽，以x,y为坐标的动点O（xj）的轨迹记为曲线(1)求圆。的方程及曲线「的方程；(2)若两条直线4：y=丘和/2：y=-：x分别交曲线「于点£、尸和m、N,求四边形kEMFN面积的最大值，并求此时的上的值.(3)已知曲线「的轨迹为椭圆，研究曲线「的对称性，并求椭圆「的焦点坐标..如图，圆。与直线x+岛+2=0相切于点尸，与X正半轴交于点A,与直线，=技在第一象限的交点为8.点C为圆。上任一点，且满足反=x8+y丽，以为坐标的动点o(x,y)的轨迹记为曲线r.(1)求圆o的方程及曲线「的方程；(2)若两条直线=H和4：y=-gx分别交曲线「于点E、尸和M、N,求四边形kEMFN面积的最大值，并求此时的”的值.(3)根据曲线「的方程，研究曲线「的对称性，并证明曲线「为椭圆..已知椭圆C：鸟+1=1(心6>0)的两焦点之间的距离为2,两条准线间的距离为8,直线/：y=Mx-m)(mGR)与椭圆交于尸，。两点.(1)求椭圆C的方程；⑵设椭圆的左顶点为4记直线/P,4。的斜率分别为Q，依.①若m=0,求幻心的值；②若左向=一1，求实数"1的值.4.椭圆C的中心在坐标原点，焦点片，鸟在x轴上，过坐标原点的直线/交C于RQ两点，|「田+|尸闾=4, 6面积的最大值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)M是椭圆上与尸，。不重合的一点，证明：直线MRMQ的斜率之积为定值；(3)当点尸在第一象限时，PE_Lx轴，垂足为E,连接并延长交C于点G,求NQG的面积的最大值.26.设双曲线方程为X?-匕=1,过其右焦点且斜率不为零的直线4与双曲线交于4B3两点，直线的方程为x=t，A,8在直线上的射影分别为c,D.(1)当/|垂直于x轴，，=-2时，求四边形的面积；(2)t=Q,《的斜率为正实数，Z在第一象限，8在第四象限，试比较。?与1|BD\'\rA\的大小；(3)是否存在实数使得对满足题意的任意4,直线和直线8c的交点总在x轴上，若存在，求出所有的，值和此时直线ZO和8c交点的位置；若不存在，请说明理由.27.=\(a>b>0),Z(2,0)是长轴的一个端点，弦8c过椭圆的中心0,27.点C在第一象限，且%.册=0，|反-砺|=2而+而(1)求椭圆的标准方程；(2)设尸、。为椭圆上不重合的两点且异于4、B,若NPC。的平分线总是垂直于x轴,问是否存在实数使得丽=4而？若不存在，请说明理由：若存在，求2的最大值..已知椭圆C：W+Z=l(a>b>0)的短轴长为2,离心率为也ab" 2(1)求椭圆C的方程(2)若过点M(2,0)的引斜率为左的直线与椭圆C相交于两点G、〃,设尸为椭圆C上一点，且满足砺+丽为坐标原点)，当|布-所卜平时，求实数，的取值范围？2 2 n2h2.设椭圆C:=+}=l(a>6>0),定义椭圆C的“相关圆"E为:/+^2=_^.若抛ab a+b物线V=4x的焦点与椭圆C的右焦点重合，且椭圆C的短轴长与焦距相等.

（1）求椭圆C及其“相关圆出的方程；（2）过“相关圆出上任意一点尸作其切线/,若/与椭圆C交于48两点，求证:乙4。8为定值（O为坐标原点）；（3）在（2）的条件下，求ACM8面积的取值范围..已知抛物线「：『=”，P（x0,y0）为抛物线「上的点，若直线/经过点P且斜率为则称直线/为点P的“特征直线设巧、演为方程x2-ax+b=0（a,beR）的两个实根,记记r(a,6)=-\x2|,|x)|<|x21（1）求点4（2,1）的“特征直线”/的方程：（2）已知点G在抛物线「上，点G的“特征直线”与双曲线工-/=1经过二、四象限的4渐进线垂直，且与V轴的交于点，，点0（a,b）为线段G"上的点.求证："",6）=2；（3）已知C、。是抛物线「上异于原点的两个不同的点，点C、。的“特征直线''分别为4、4,直线4、4相交于点M（a，6），且与V轴分别交于点£、F.求证：点“在线段CE上的充要条件为4。力）=同（其中方为点C的横坐标）..一青蛙从点4（x。，盟）开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是y,）（iwN'）,（如图，4。0，打）的坐标以已知条件为准），S”表示青蛙从点4到点4所经过的路程.所经过的路程.（1）点4。。，加）为抛物线V=2px（p>0）准线上一点，点4，4均在该抛物线上，并且直线44经过该抛物线的焦点，证明$2=3p；（2）若点/”（、〃，乂乂^^x）要么落在^二工所表示的曲线上，要么落在歹二f所表示的曲线上，并且4（g，g）,试写出“1亚s“（不需证明）;（3）若点4（打”）要么落在y=2标t所表示的曲线上，要么落在y=2标“所表示的曲线上，并且4(0,4),求$2。”的值..己知椭圆[+[=1(a>6>0)的两个焦点分别为耳(-c,0),F2(c,0),(c>0),过a"b"点£(4,0)的直线与椭圆相交于点48两点，且耳/〃玛8,|耳才|=2|耳目C(1)若b=娓,求椭圆的方程；(2)直线的斜率；(3)设点C与点A关于坐标原点对称，直线58上有一点W0)在\AFXC的外接圆上，求上的值.m.已知抛物线G：x?=2⑷(p>0)上的点到焦点的距离最小值为1.(2)若点「(%,%)在曲线G：y=%2+1上，且在曲线G上存在三点a,8,C,使得四边形PABC为平行四边形.求平行四边形PABC的面积S的最小值..已知点尸是抛物线C：/=4x的焦点，直线/与抛物线。相切于点尸(%,%)(%>0),连接P尸交抛物线于另一点A,过点尸作/的垂线交抛物线C于另一点B.(1)若%=1,求直线/的方程；(2)求三角形尸面积S的最小值..设点A,8的坐标分别为(<4),(-8,16),直线和8M相交于点M,且和的斜率之差是1.(1)求点、M的轨迹C的方程；(2)过轨迹C上的点y0>4,作圆。：/+(^-2)2=4的两条切线，分别交x轴于点尸，G.当A0PG的面积最小时，求治的值..在以4(-2,0)为圆心，6为半径的圆A内有一点8(2,0),点尸为圆A上的任意一点,线段BP的垂直平分线/和半径AP交于点M.(1)判断点M的轨迹是什么曲线，并求其方程；(2)记点M的轨迹为曲线「，过点8的直线与曲线「交于C,。两点，求诙.历的最大值；(3)在圆产+炉=14上的任取一点。，作曲线『的两条切线，切点分别为E、F,试判断与。尸是否垂直，并给出证明过程..在平面直角坐标系中，已知椭圆E：餐+彳=1(。>6>0)的离心率为;，且椭a"b~ 2圆E的短轴的端点到焦点的距离等于2.(1)求椭圆E的标准方程：(2)已知48分别为椭圆E的左、右顶点，过x轴上一点P(异于原点)作斜率为网上0)的直线/与椭圆E相交于C,。两点，且直线/C与8。相交于点0.①若&=1,求线段C。中点横坐标的取值范围；②判断存•而是否为定值，并说明理由.38.(1)求证：椭圆上+/=1中斜率为1的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心；4(2)用作图方法找出下面给定椭圆的中心；(3)我们把由半椭圆《+《=1(x20)与半椭圆《+W=l(xW0)合成的曲线称作“果ab bc圆“，其中/=〃+c2,a>0,6>c>0.如图，设点入，耳，鸟是相应椭圆的焦点，4,4和四，4是“果圆”与X,y轴的交点.连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究：是否存在实数人,使斜率为人的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的左值，若不存在，说明理由.39.在圆x:+V=4上任取一点P,过点尸作x轴的垂线段尸。，。为垂足，当点尸在圆上运动时，点M在线段尸。上，且两=；而，点M的轨迹为曲线G.(1)求曲线G的方程;(2)过抛物线C2：炉=8x的焦点尸作直线/交抛物线于A,8两点，过尸且与直线/垂直的直线交曲线G于另一点C,求A/I8C面积的最小值，以及取得最小值时直线/的方程.40.如图，设抛物线Gx2=y与C2：V=2px(p>0)的公共点M的横坐标为(>0),过M且与£相切的直线交G于另一点A,过M且与G相切的直线交G于另一点8,记S(II)若Se：,2,求，的取值范围._4_注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切.41.已知椭圆C；4+4=5(。>6>0)的短轴长为2,且椭圆C的顶点在圆M：x2ab(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆的上焦点作相互垂直的弦力8,CD,求|/8|+|8|的最小值.42.已知椭圆「的左、右焦点分别为G(TO)、F2(1,0).经过点耳且倾斜角为0(0＜。＜")的直线/与椭圆「交于A、8两点(其中点A在x轴上方)，6的周长为8.(1)求椭圆「的标准方程；(2)如图，把平面xOv沿x轴折起来，使V轴正半轴和x轴确定的半平面，与丁负半轴和x轴所确定的半平面互相垂直.IT①若6=2,求异面直线46和8工所成角的大小；②若折叠后A/186的周长为葭，求。的大小.2.如图，在平面直角坐标系X。中，已知圆O：7+产=4,椭圆C：—+/=1,A为椭圆右顶点.过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于8,C两点,直线48与圆O的另一交点为尸，直线尸。与圆O的另一交点为。，其中。(一(，0).设直线48,4C的斜率分别为Q,k2.(1)求人血的值；⑵记直线PQ,BC的斜率分别为kPQ,kBC,是否存在常数人使得kPQKkBC?若存在，求力的值；若不存在，说明理由；(3)求证：直线4c必过点0..如图所示，椭圆M：0+方=1(公6＞0)的离心率为正，右准线方程为x=4,过点尸(0,4)作关于y轴对称的两条直线//,乙，且//与椭圆交于不同两点4B,/2与椭圆交于不同两点。，C.(2)证明：直线AC与直线8。交于点0(0,1)；(3)求线段4c长的取值范围..已知椭圆氏£+4=l(a>0,b>0)的离心率为立，Fi，乃分别为左.右焦点，A,a2b2 28分别为左.右顶点，。为上顶点，原点。到直线BO的距离为逅.设点尸在第一象限,3且尸轴，连接以交椭圆于点C,记点尸的纵坐标为r.(1)求椭圆E的方程；(2)若△XBC的面积等于四边形尸C的面积，求直线我的方程；(3)求过点8,C,尸的圆的方程(结果用，表示)..已知椭圆C*£=l(a>6>0)过点［"青，离心率为］(I)求椭圆C的方程：(H)若M,N分别是椭圆C与x轴的两个交点，过点且斜率不为0的直线/与椭圆C交于P,。两点，直线〃尸过点R(8,yJ,求证：直线N0过点火..已知抛物线C:/=4x,点尸(4,4)(1)求点尸与抛物线C的焦点厂的距离；(2)设斜率为1的直线/与抛物线C交于48两点，若ZXHB的面积为2夜，求直线/的方程：

(3)是否存在定圆M:(x-m)2+y2=4,使得过曲线C上任意一点。作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点48时，总有直线力8也与圆M相切？若存在，求出山的值,若不存在，请说明理由..已知椭圆C：£+/= 的左顶点为A,右焦点为尸，斜率为1的直线与椭圆C交于A,8两点，且08J./8,其中O为坐标原点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设过点尸且与直线平行的直线与椭圆C交于M,N两点，若点尸满足OP=3PM>且NP与椭圆C的另一个交点为。，求黑^的值.49.已知点耳、鸟是双曲线M：且右鼻•-5=1的左右焦点，其渐近线为y=±>/Jx49.已知点耳、鸟是双曲线M：且右(1)求双曲线M的方程;(2)过用的直线/与M相交于A、B两点,直线/的法向量为反=(%,-1)(%>0),且OAOB=Q<求女的值；(3)在(2)的条件下，若双曲线M在第四象限的部分存在一点C满足a+砺=m隹,求〃，的值及的面积也”.50.某沿海特区为了缓解建设用地不足的矛盾，决定进行围海造陆以增加陆地面积汝口图，两海岸线勿，08所成角为g,现欲在海岸线。/,05上分别取点P,。修建海堤，以便围成三角形陆地。尸。，已知海堤尸。长为6千米.(1)如何选择尸，。的位置，使得AOP。的面积最大；(2)若需要进一步扩大围海造陆工程，在海堤的另一侧选取点"，修建海堤M。围成四边形陆地.当海堤心与的长度之和为10千米时，求四边形河尸0。面积的最大值.2 2.设点耳，鸟分别是椭圆。：白+彳=1«>0)的左、右焦点，且椭圆C上的点到点62rt的距离的最小值为2a-2.点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量而与向量寿平行.(1)求椭圆C的方程；(2)当用•可=0时，求△耳MN的面积；(3)当|可卜|耳团=而时，求直线6N的方程..已知椭圆9+1=1的两焦点分别为6，F”P是椭圆在第一象限内的一点，并满足两•朋=1,过P作倾斜角互补的两直线尸4、尸8分别交椭圆于A、8两点.(1)求尸点坐标：(2)当直线4经过点(1,0)时，求直线Z8的方程；(3)求证直线48的斜率为定值..如图，已知椭圆+ 的左顶点为A,过右焦点厂的直线交椭圆于8,。两(2)记"8,MF,MD的斜率分别为勺，k2,k3,证明：人,k2,七成等差数列..已知椭圆鸟+营=1(。>6>0)的右焦点为尸，A为短轴的一个端点且\OA\=\OF\=>/2(其中O为坐标原点).(1)求椭圆的方程；(2)若C、D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足加。，8,连接CM,交椭圆于点尸，试问x轴上是否存在异于点C的定点。，使得以为直径的圆恒过直线。尸、M。的交点，若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理由..已知圆C：/+/=4,过坐标原点。的直线/交C于尸，。两点，点P在第一象限，PH_Lx轴，垂足为//.连结。”并延长交C于点R.(1)设。到直线。，的距离为d,求d的取值范围；(2)求好QR面积的最大值及此时直线/的方程..如图，已知过点。①-坐］的椭圆4+与=l(a>b>0)的离心率为近，左顶点、 2Jab 2和上顶点分别为4,B.(1)求椭圆的标准方程；(2)若尸为线段。。延长线上一点，直线以交椭圆于另一点E,直线尸8交椭圆于另一点①求直线R4与PB的斜率之积；②判断直线Z8与E。是否平行？并说明理由..已知抛物线E：/=2px(p>0),点0为直线x=-2p上任一点，过点。作抛物线的两条切线，切点分别为A,B,(1)证明A,Q,8三点的纵坐标成等差数列；(2)已知当点。坐标为(-2p,2)时，|“用=12,求此时抛物线E的方程；(3)是否存在点。，使得点C关于直线48的对称点。在抛物线E上，其中点C满足OC^OA+OB.若存在，求点。的坐标：若不存在，说明理由..在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点。(1,2),尸是动点，且三角形11P。。的三边所在直线的斜率满足厂+厂一=1.KOPKOQKpQ(1)求点尸的轨迹C的方程；(2)过尸作倾斜角为60。的直线L交曲线C于4,B两点,求△ZOB的面积；(3)过点。。,0)任作两条互相垂直的直线4,分别交轨迹C于点4,8和M,N,设线段的中点分别为E,F.,求证：直线EF恒过一定点.259.已知椭圆「的方程为很+?=1,圆C与x轴相切于点7(2,0),与V轴正半轴相交于A、B两点，且|/川=3,如图1.(1)求圆C的方程：(2)如图1,过点8的直线/与椭圆「相交于尸、。两点，求证：射线Z8平分NP/。；(3)如图2所示，点、M、N是椭圆「的两个顶点，且第三象限的动点R在椭圆「上，若直线与，轴交于点M一直线RV与x轴交于点N-试问：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.60.在平面直角坐标系中，已知椭圆=+与=1(a>b>0)的右顶点为(2,0),q，b离心率为立，尸是直线x=4上任一点，过点"(1,0)且与尸M垂直的直线交椭圆于2A,8两点.(1)求椭圆的方程；(2)若P点的坐标为(4,3),求弦48的长度；(3)设直线以，PM,P8的斜率分别为依，依，问：是否存在常数2，使得Q+依=独2?若存在，求出入的值；若不存在，说明理由.61.已知等轴双曲线c的两个焦点与、工在直线y=x上，线段66的中点是坐标原点,且双曲线经过点卜(1)若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线c的方程：①/-/二与；4_ _ 9②中=9；③9=1.请推理判断哪个是等轴双曲线C的方程，并求出此双曲线的实轴长；(2)现要在等轴双曲线C上选一处P建一座码头，向4(3,3)、8(9,6)两地转运货物.经测算，从P到A、从P到8修建公路的费用都是每单位长度。万元，则码头应建在何处,才能使修建两条公路的总费用最低？62.已知动圆C过定点用(2,0),并且内切于定圆月：(x+2>+V=36.(1)求动圆圆心C的轨迹方程；(2)若俨=8x上存在两个点M,N,(1)中曲线上有两个点尸，Q,并且M,N,F2三点共线，P,Q,6三点共线，PQLMN,求四边形尸M0N的面积的最小值.63.如果从北大打车到北京车站去接人，聪明的专家一定会选择走四环.虽然从城中间直穿过去看上去很诱人，但考虑到北京的道路几乎总是正南正北的方向，事实上不会真有人认为这样走能抄近路.在城市中，专家估算两点之间的距离时，不会直接去测量两点之间的直线距离，而会去考虑它们相距多少个街区.在理想模型中，假设每条道路都是水平或者竖直的，那么只要你朝着目标走(不故意绕远路)，不管你这样走，花费的路程都是一样的.出租车几何学(taxicabgeometry),所谓的“出租车几何学”是由十九世纪的另一位真专家赫尔曼-闵可夫斯基所创立的.在出租车几何学中，点还是形如(X/)的有序实数对，直线还是满足ax+6y+c=0的所有(x,y)组成的图形，角度大小的定义也和原来一样.只是直角坐标系内任意两点”(看,必)，8(x2，%)定义它们之间的一种“距离"：||［圳=卜-引+|必请解决以下问题：(1)定义："圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，求“圆周”上的所有点到点的“距离”均为r的“圆”方程，并作出大致图像；(2)在出租车几何学中，到两点A、8“距离”相等的点的轨迹称为线段48的“垂直平分线“，已知点/。,3),B(6,9),C(l,9)；①写出在线段48的“垂直平分线”的轨迹方程，并写出大致图像；②求证：A4BC三边的“垂直平分线”交于一点(该点称为A48C的“外心”)，并求出A48C的沙卜心”..已知抛物线G:/=2px(p>0),点M(2,0)在G的焦点尸的右侧，且M到G的准线的距离是M到尸距离的3倍，经过点M的直线与抛物线G交于不同的A、8两点,直线。力与直线x=-2交于点尸，经过点8且与直线。/垂直的直线/交x轴于点。.(1)求抛物线G的方程和尸的坐标；(2)判断直线与直线48的位置关系，并说明理由；（3）椭圆寸+片=1的两焦点为百、F”在椭圆片+片=1外的抛物线G上取一点E,4 3 4 3若印、期的斜率分别为勺、k2,求十的取值范围..给定椭圆C：0+《=l（a>6>0）,称圆心在原点O,半径为炉工的圆是椭圆abc的“伴椭圆”，若椭圆c的一个焦点为广（虚,0）,其短轴上一个端点到尸的距离为G.（1）求椭圆c的方程；（2）过点弓,多作椭圆C的“伴随圆"C'的动弦过点M（x,，m）、N（X”%）分别作“伴随圆”。的切线，设两切线交于点2,证明：点。的轨迹是直线，并写出该直线的方程;（3）设点P是椭圆c的“伴随圆”。上的一个动点，过点尸作椭圆c的切线4、i2,试判断直线4、4是否垂直？并说明理由..已知动圆〃过定点“（2,0）且在V轴上截得的弦长为4.（1）求动圆M的圆心M的轨迹「的方程；（2）过点A的动直线与曲线r交于民C两点，点。在曲线r上，使得A5co的重心G在x轴上，直线8。交x轴于点。，且点。在点A的右侧，记A48G的面积为E，ADG。的面积为与,求亮的最小值..已知椭圆C：捺+营=1（。>6>0）过点尸卜，斗左、右焦点分别是大，F2,过名的直线与椭圆交于M,N两点,且的周长为8b.（1）求椭圆C的方程；（2）若点。满足丽=丽+鼻河，求四边形面积的最大值..过点尸（2,-1）的直线/分别交尸;x（x20）与尸-2x（x2。）于A、B两点.（1）设A点的坐标为（2a,a）,用实数。表示8点的坐标，并求实数。的取值范围；（2）设的面积为三，求直线/的方程；（3）当归4归四最小时，求直线/的方程..已知抛物线C:/=4x的焦点为尸，/为C上异于原点的任意一点，以点尸为圆心且过点/的圆M与x轴正半轴交于点8,的延长线交C于点。，/尸的延长线交C于点£.(1)若点4的纵坐标为4,求圆M的方程；(2)若线段40的中点为G,求证：EG〃x轴；(3)A4DE的面积是否存在最小值？若存在，请求出此最小值；若不存在，请说明理由.70.已知双曲线C：1_/=1(。>0,6>0),设P是双曲线C上任意一点，。为坐标原点，尸为双曲线右焦点，4，4为双曲线的左右顶点.(1)已知：无论点P在右支的何处，总有|尸。|>|尸尸|,求2的取值范围；a(2)设过右焦点厂的直线/交双曲线于M,N两点，若存在直线/,使得AOMN为等h2边三角形，求彳的值：a'(3)若。=2,6=6,动点。在双曲线上，且与双曲线的顶点不重合，直线04和直线。4与直线八x=l分别相交于点S和T,试问：是否存在定点E,使得ESLET恒成立？若存在，请求出定点E的坐标；若不存在，试说明理由.

参考答案参考答案:(1)二+匕=1(2)见解析【解析】(1)由题可知b值，由右焦点到直线》=土的距离为3表示《-c=3,和构建C C方程组，求得“，即可求得椭圆E的标准方程；(2)设直线'的方程为'=履+1,联立直线方程与椭圆方程，即可表示点M的坐标，由人/,垂直，则将M坐标中的人换成即可表示N点坐标，再利用两点坐标分别表示勺"与kkNP,观察即可证明.【详解】2(1)由题意知，---c=3,b=也,a2=b2+c2,c解得a=2,6=6，c=l.所以椭圆的标准方程为£+E=i.(2)显然直线4，4的斜率存在•y=kx+>/3x2+873fcc=0,设直线4y=kx+>/3x2+873fcc=0,联立方程组y2，得(4公+3) + =114 3解得演解得演=一-，工2=°，4k2+3所以如=所以如=--4麻2+36由4，4垂直，可得直线4的方程为y=-：x+i.用,用,替换前式中的k,可得打8届-4限2+3括~6贝&/>=4r+3 +7-贝&/>=3®2_4x/56k_—3公+4+亍_3公-3NF~~~1~,3公+4所以&/>=底尸，故直线MN恒过定点尸卜,-*【点睛】本题考查在椭圆中的过定点问题，常联立方程表示椭圆弦的点坐标，从而证明，还考查了求椭圆的标准方程，属于难题.（I）y0=-\（2）见解析，最小值为32.【解析】（1）设直线/：y=b+l,联立直线/与抛物线方程，由韦达定理可得根与系数的关系，利用导数的几何意义表示4,4的斜率，进而表示4,4的方程，联立两直线的方程表示交点坐标，即可求得答案；（2）由两点坐标分别表示苏，刘，由万•方=0可知MNJ.718,由抛物线的焦点弦弦长公式表示|/切和因为所以由,〃=f4夕II血|表示四边形⑷l"N的面积，最后由均值不等式求得最小值.【详解】X]+%=4%x1x2=-4（1）设4（玉,乂）,8（工X]+%=4%x1x2=-4所以V二句，得》2-4履一4=0,所以y=kx+l所以立土■二»

2再々[4 ：由彳2=4'="=51，所以/]:,一必=5苟（工_再），即6：y=；X产_子，同理6：y=立土■二»

2再々[4 ：（2）因为。尸=（^^,-2）,48=（%-占,%-%），所以中•万二土五-2「-%）=生注一”二！y0,

QF1AB,即MN_L48,zv 0 4|AB|=yx+必+2=〃(X[+X2)+4=4左-+4,同理|A/N|=—+4,$..=自$..=自/即也可|=8(炉+1)T+f+T32当且仅当〃=±1时，四边形NM8N面积的最小值为32.【点睛】本题考查椭圆的焦点弦问题，还考查了借助导数的几何意义表示切线方程以及平面图形面积的最值问题，属于难题.(1)—+^-=1；(2)证明见解析；(3)I0,8 4 I【解【分析】(1)由抛物线f=8y的焦点为：(2,0),故6=2,可得椭圆C的方程;(2)由OPJ.PT,可得： 直线PT的方程^-乂,=-区。-匕)，联立直线与yo椭圆可得T点坐标，写出的方程，令y=0,可得x=x。，进而的出结论.(3)分别用坐标表示E与S?,再分析取值范围即可.【详解】TOC\o"1-5"\h\z(1)抛物线W=8y的焦点为：(2,0),故6=2,2 2椭圆C的方程为：—+^-=1；8 4(2)由OP_LP7,可得：k°p・kpT=-、,即&•勺7二-1,kpT=一~彳,Xo Vo2可得直线pr的方程：y-yo=---(x-xo),即：、=-&》+2+几，k yoy«联立直线尸7与椭圆的方程可得：(1+四口2-(容+4x，x+^-b2几2+4心8=0,yoyoy»可得X。=4x03+4xj可得X。=4x03+4xj；，可得：xT=2"+3xj/

K2+2x„2可得：，卷,/等+・以y；+K可得：可得：，卷,/等+・以y；+K可得：*2"+3xJ：yo2+2<y；+2x;故直线的方程为:打2+2x;2 S+X。)，~+Xo令y=o,可得x=x。，故河3。,0),「〃_18轴；M甲M卜2即-X0|(3)S,om=||OM||PM\=3M甲M卜2即-X0|=；kj。|+gkM|kr-兀|=卜jj故:邑kM+故:邑kM+Z,+2x.1+”2+2x/S 1故7t6(°，彳).J? Z【点睛】本题主要考查椭圆的性质及椭圆的标准方程、直线与椭圆的综合问题，综合性大，属于难题.2(1)—4-j2=1；(2)见解析；(3)S4=2百/ IIKIA【解【分析】(i)由条件可得(i)由条件可得£=巫a2,2a-2b=4,联立解出即可(2)设直线MTV：y=kx+b,机(占,必)，N(x2,y2,),联立直线与椭圆的方程消元可得-8kb力-8kb力再+"=4k2+1和=k=-；b即可4b2-4’由可得力.等r-i，从而得出』上或(3)分4斜率为0和4斜率不为0两种情况讨论，当4斜率不为0时，设4：y=kx-\,则，2：y=~x~\,然后用左分别表示出|BC|和|QQ|即可【详解】(1)由题意得6=£=立，--2a-2b=4,a2 2**a2=+/,・'・a?=4，b2-1r2・••椭圆的方程为土+jJ=l(2)由题意得/(2,0),设直线MV：y=kx+b,阳(玉，y),N(/,%，)y=kx+bx22 =(4F+1卜2+8kbx+4b2-4=0彳+J-A>04b2A>04b2-44k2+1•；AM1•；AM1AN^>k4M-kM=-[, =x]-£x2~z12r+16泌+5〃=0，:.k=Jb或上=一gb6 2当无=-焉6时,MV过定点,当先=-gb时，MTV过定点(2,0)(舍)二直线AW过定点(*0)(3)当4斜率为0时，S^CD=11SC||2D|=|x2V3x2=273①当4斜率不为0时，设乙：了=h-1化工0)14=俨+1片-2米-3=0,8L=8L=o,网=•\$.=割。•囱•\$.=割。•囱=坐］令4+—=阳，nis(4,+oo),S^CD=813.13...当m=5时，16V1313综上：11ax=2百.【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.(1)——+ =1(2)[—11—6-73,—](3)6>/3164 2【解析】【分析】(1)用动点转移法求轨迹方程，即设O(x,y), 由已知用x',y'表示另几并把(x,y)代入G方程可得C2方程；(2)设尸(2cose,sin。)，则0(-4cos6,-2sine).求出不•瓦0后可得取值范围；(3)设P(2cosO,sin。)，则Q(-4cos。,-2sin。).设经过点P的直线方程为：y-sinO=Hx-2cos。)，M(&,必)，N(x2,y2).由直线与椭圆相交弦试公式(用韦达定理求解)得弦长|AW|,求出。到直线MN的距离后可表示出AOMN的面积，注意引入三角恒等变换，设|sin6»-2%cos昨Jl+4。|sina|，可化简表达式，从而求得最值.【详解】解：(1)设0(x,y),P(x\y'),\'OQ=2Pd,：.(x,y)=-2(x',y'),可得，:，代=——yrT入⑷-+(yy=i，可得二十匕=i,4 "7 16 4164・,•曲线G的方程为片+以=1.164(2) (-5/3,0),鸟设P(2cos6,sin。)，则0(-4cos6,-2sin6).则4P.K0=(2cose+5/J,sine)(-4cos6-VJ,-2sine)=(2cose+V^)(-4cos6-G)+sine(-2sine)J1=-6cos0+—— ,•/cos[-1,1],即卷€[-11-班,-自(3)设尸(2cos6,sin。)，则0(-4cos6,-2sin6).设经过点P的直线方程为：y-sin®=Hx-2cos。)，N(x2,y2).联立y-sin6=Hx-2cos。)x2+4y2=16消去V得：(1+4;t2)x2-8)t(sin6»-2Acos+4(sin6>-2)1cos0)2-16=0,. 8%(sin6-2左cos。) 4(sin0-2^cos0)-16••X|+匕= ——； <XX,=-i - 1+4父 12 1+4公.r, ~r~ t； 4，1+-2,4+16=2-(sine-2)cos6)一••|MN|=J(1+公)[&+%)--4xr]= —— -点。到直线/的距离1=\-4kcos0+2sin0+sin^-2Z;cos0|3|sin0-2Z:cos0|\l\+k7i+7i+朱令|sind-2斤cos。、Jl+4女2|sina|•则Sa°mjv=61sina|a-sin：a,令|sina|=re[0,1],,"SXQMN=6f"-广=f(t)>则/⑴=-36/4+144/2=-36(*-2>+144,当且仅当r=1时，/(f)取得最大值6G.【点睛】本题考查向量的数乘运算及数量积，考查用动点转移法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的三角形面积.考查了三角函数的恒等变换与性质.解析几何中的设而不求思想在本题也起到了重要作用，本题对学生要求较高，对运算求解能力要求较高，属于困难题.2 —6.(1)椭圆C：L+『=1;圆Ox?+V=3(2)①(夜,1)，②y=—【解析】【分析】（1）根据椭圆所过定点及离心率，结合椭圆中a,4c的关系，即可求得椭圆的标准方程;求得圆O的圆心和半径，即可得圆。的方程.（2）①根据椭圆与圆的位置关系，可知当直线/与圆。相切于第一象限内的点P,且直线/与椭圆C有且只有一个公共点时,直线/的斜率必小于0.设出直线方程»=履+九（无<0,巾>0）,由直线与圆相切及点到直线距离公式，可得m与k的等量关系.联立直线方程与椭圆方程，由一个交点时△=0可得m与#的等量关系.建立方程组可得m与k的值，即可求得直线方程.将直线方程与圆的方程联立,即可求得切点坐标.②设Z（X[，m）,8（X2,必）,将直线方程与椭圆方程联立，可得％+七,为飞,由两个交点时A>0可求得k的取值范围.利用弦长公式以8|="i/.J（X]+X2）2-4x].X2表示出|"8|,由点到直线距离公式表示出。到直线/的距离d.结合MOB的面积为生叵即可得机与k的等量关系.解13方程求得加与k的值,即可求得直线方程.【详解】（1）椭圆C：J+/=l（a>6>0）过点（&用,离心率e=]邛A+l=1TOC\o"1-5"\h\za2 b2 2 Ar a =4所以£=W ，解方程组可得从=ia 2 ,2,22 C~=3a=b+c故椭圆C的方程为《+『=14'圆O的直径为耳人，则圆心为（0,0）,半径为r=g=c=6所以圆。的方程为x2+/=3（2）①椭圆C的方程为工+/=1,圆O的方程为》2+产=3,如下图所示：直线/与圆O相切于第一象限内的点P,且直线/与椭圆C有且只有一个公共点，所以直线/与椭圆C也相切，且切点在第一象限，切点的纵坐标小于点尸的纵坐标因而直线/的斜率小于0设直线/的方程为y=6+肛（左<0,m>0）,即去-y+m=0因为直线/与圆。相切，则圆心到直线/的距离为圆的半径,即于肾=,3,\l\+k2化简可得切2=3+3左2y=kx+m因为直线/与椭圆C也相切，则，/—+v=14-化简可得（4公+1）/+8%mx+4m2-4=0贝ijA=（8痴『-4（4k2+1）（4w2-4）=0解得加2=1+4后2所以3+3/=1+4左2解得人=-VLk=3（舍）贝ijm=3所以直线/的方程为^=-缶+3则也土；3,化简可得卜一可=0解得x=五,y=1所以切点尸的坐标为（应,1）②直线/与椭圆C交于A,8两点，设/（X1,M）,8（孙力）

y=kx-\-tn联立直线/与椭圆C,则/—+y=14-化简可得（4公+1）/+8Q〃x+4/〃2-4=047n2—44A247n2—44A2+1则X|+x2=-5—,X.x,4k2+1 12k（0,m）0由题意可知52=3+3公A=（8kmJ_4（4k2+1）（4加2_4）＞o化简解不等式可得上＜力由弦长公式可得\AB\=J1+/.］（占+乂2）2-4须524yl4k2+\-m24k24yl4k2+\-m24k2+\由点到直线距离公式可知O到直线/的距离"=lffllJl+公将川=3+3公，即m=J3+3M代入可解得k2=3即k=",无=百（舍），则巾=J3+3M=26所以直线/的方程为y=-x/L+2g【点睛】本题考查了椭圆的标准方程与圆的方程求法，直线与椭圆位置关系和直线与圆的位置关系的综合应用，弦长公式的应用及点到直线距离公式的应用，根据三角形面积公式求参数,计算量大，综合性强，属于难题.7.（1）-+y2=l（2）①证明见解析②!，22 |_2」【解析】（1）由题意可列出三个关于a,b,c的方程：26=2,£=立,。2=/+。2,解方程后即可得椭圆方a2程；（2）①根据圆心到直线的距离等于圆的半径，得左与加的等量关系，要证明O4_LO8,只需证明/•丽=0即可，从而将数量积转化为坐标运算，联立直线/与椭圆方程，利用韦达定

理消去坐标，得到关于£”的代数式，再利用前面上与〃，的等量关系即可达到目的；②直线/：、=云+"与椭圆交于不同的两点48,将代入椭圆的方程得三+犬=1亭及=1,再由圆的垂径定理可得a=黑=y：= .结合\BM\VO52-r2y/xl+yl-r2x[\VT+3Xm+乂%=0得到 久21普，由为的范围可求得实数A的取值范围.舟;【详解】解（1）12b=2：.b=l又e，=①,/=从+c2a2**-a2=2V2...椭圆C的方程为土+F=122①•・•直线/：'=履+加与f+/=5相切y=kx-^m由《消去了得（1+y=kx-^m由《消去了得（1+2公卜2+4也a+2/„2-2=0则X,+x2=-4km\+2k22m2-21+2公OAOB=》咨2+,炭2=x\xi+ +加）红？+m）3评一23评一2公—22（1+公卜〃2―21+2-1+2公OA1OB.②•.•直线/：y=6+加与椭圆交于不同的两点48,

lx11.，｛二MW 中：+必2一厂2v万+§"一丽广商-2_&+丸“_g-yV2-+3由(2)①知占七+"%=00 4-7r2X㈤=y沉=2+X㈤=y沉=2+3x；42 2+3x；又04x；42・・・/l的取值范围为12.【点睛】本题考查直线与椭圆、圆的综合应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于综合题.-\k\-mr^8.(1-\k\-mr^8.(1)¥=—j===,0<£<tnr•(2)+1 S?=m2-r21+r1+4加2广

k?)4m2.乃m2+r2V^S2>- Am【解析】【分析】(1)求得R到直线尸。的距离，由此求得三角形尸。尺的面积g的表达式，并由此求得司的取值范围.(2)设动直线的倾斜角为a,根据题意得到tana=%,sina=—.设出尸,0的坐标，利用三角形外接圆半径公式求得三角形尸。及外接圆半径的表达式，由此求得邑，并求得s2的取值范围.【详解】(1)取吗0)到直线y=b/wo)的距离为邛工，所以三角形尸。火的面积为J\+k2.所以0<S]<w37171(2)设动直线的倾斜角为a, 则tana=%,sina= ],画出图像如下图所示设P(rcosa,rsina),0(-rcosa,Tsina),而R(叫0).所以|P0|=2r,|P7?|=^(rcosa-w)2+(rsina)2，\QR\=^(rcosa+zw)2+(rsina)2.由⑴得51=-17L==Wr.sina.所以三角形尸QR的外接圆半径为1川II吃I71+k 43]【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查三角形外接圆半径以及外接圆面积的计算，属于难题.(1)—+^-=1(2) (3)见解析，定值为一0.4 3 2 2 3【解析】（1）（1）根据过£且垂直于轴的直线被椭圆C截得的线段长为3,得到2b2a根据离心率得到:1从而得到〃和人的值:（2）设户（%,九），表示出和桃的直线方程，根据题意得到尸到两直线的距离相等,得到机和吃的关系，从而得到机的范围；3x 1 1（3）直线/的方程为y-K=Hx-x。），与椭圆联立，由△=（）,得到％=-六,表示出厂+厂,1-从而得到H+H，整理化简后，得到定值.kk、kk2【详解】（1）由于-凡TOC\o"1-5"\h\zv-2v2 仔将x=-c代入椭圆方程5+2=1,得片士幺，ab， a由题意知也=3,又0=£=1,a a2所以a=2,6=>/3>所以椭圆C的方程为上+片=14 3（2）设。（/，九）（外力。）又耳（-1,0）,工（1,0）,所以直线尸£,尸鸟的方程分别为Ipf,:为x-(x()+l)y+%=0, :%x-(Xo-l)y-%=O,由题意知卜。由题意知卜。+盟|

y/y；+(/+1)由于点尸在椭圆上，所以亨+q=1,火=3（1_亨）,

因为-1<机因为-1<机<1,-2<x0<2,m+1所以^;产+2C1 ，所以加=:%.2-5与 4°因此-联立，y-y（）=^（x-x0）,（3）设「（/，九）（%,#0）,联立，y-y（）=^（x-x0）,整理得（3+4〃卜?+8伽o-心0卜+4（/-2KV0+如片-3）=0.由题意得A=0，即（4—x；）%~+2xoNo4+3-y：=0.TOC\o"1-5"\h\z又9+区=1,所以16y款2+24xoM%+9x；=O,4 33Y故左=_耳仇•11_%+1,X。7 2x。而丁+丁- + ——，占上2 % %必因此;+4为定值，这个定值为々kk、kk2 3【点睛】本题考查根据椭圆离心率求椭圆方程，点到直线的距离，角平分线的性质，直线与椭圆相切的表示，椭圆中的定值问题，考查了化归与转化的思想和计算能力，属于中档题.（1）不存在，理由见解析；（2）存在，MQ五、2）【解析】【分析】. 先假设存在，设直线/的方程为N=b+1,若A,B两点关于直线/对称，则直线48

的方程为'=-!*+加，联立直线AB与抛物线方程，求A,B两点的中点N,再将N带入k直线1中，在判断是否能求出k的范围；.将抛物线化为二次函数形：y=—,利用导数的几何意义，求得切线MQ,结4合Q点的宗坐标值，求得Q的横坐标；最后根据丽・丽=0,列出关于关于M点横坐标x的方程，并求解即可。【详解】（1）假设存在，设直线/的方程为、=丘+1,关于直线/对称的两点4区,必），8（%,%）,由题意知上x0,所以直线的方程为、=-?X+m,，_1TOC\o"1-5"\h\z联立）一一7"巴消y可得：/+3-4加=o,x2=4y, k△=*16加>0（:※）,4 4所以玉+x2=--,必+%=p+2m,22所以A,8中点N（-工，必•+〃］），由题意N在直线/上，2 2所以不■+加=-1,即川=-1一记，代入（X）式可得：-l-p->0,即公<T,无实数解，故不存在符合题意的直线.X2 1（2）点/（%,£）,又尸（0,1）,设。（七，5）,

C:x?=4y变形为y=?,所以夕'=：,

品」

因为直线为抛物线的切线，故_4~2

kmq~ -y।一3x3解得Z母5即。仔+喝,又取FM又取FM中点+：\2.o2.,由垂径定理知尸W，。，，所以两.丽=。可得：（X吟-1）.弓《）=。,解得与=2近，所以存在M（20,2）符合题意【点睛】本题探索抛物线的切线问题，着重考简单的几何性质和直线与抛物线的关系等知识（1）—+/=1（2）尸巫x-巫或产-巫x+亚（3）证明见解析；其中一个2 , 2 2 2 2的坐标为7（1,0）【解析】（1）根据题意计算得到a2=〃+c2=2〃，4+777=1'解得答案.（2）设/（七,必），8仁,力），由题意乙（1,0）,则可设直线/的方程为：7=A（x-1）,联、 4户 21c2-2立方程，根据韦达定理得到±+X2=*w，*占=土一^,代入计算得到答案.1+2k 1+2k（3）设/（孙必），8g,乂），设直线/的方程为：y=h+m，联立方程得到X3+X4।£Kt根据切线方程得到ln/+]+]-1=0,根据对应函数的单调性得到答案.【详解】（1）设椭圆C焦距为2c,因为椭圆C的短轴长和焦距相等，所以6=c,a2=b2+c2=2b2®,因为|。4|+|。匕|=2。，所以点0在椭圆C上，将]代入5+与=1得：4+二7=1②,I2Ja-b a2b由①②解得：/=2,b',所以椭圆C的方程为二+产=1,（2）设”（xqJ,8（々，为），由题意入（1，0），则可设直线/的方程为：y=A（x-l）,y=A（x—1）由心得：（1+2-）--4心+2/一2=0,又因为福=2@,所以（1-玉,-必）=2仿-1,%），再+2超=3,所以西+2马=（&+》2）+&=3,解得：x2=—2—,*=

2/+32k°-3_ 4£-9_2公-2所以**-1+2/，1+2公-0+2左2『—公)所以4右-9=(2公-2)(1+2公)，解得：％=±巫，所以直线/的方程为：^=巫》-巫或y=一反x+亚.2 2 2 2(3)设4(不，必)，8(5,乂)，由题意直线/的斜率存在，设直线/的方程为：y=kx+m,y=kx^-m由,二2_得：(1+2公卜2+必3+2加2_2=0，则工3+匕=-£^，万+y= +因为直线/与曲线y=lnx相切于点7&lnf)(/>0),所以”=V|e=；,m=\nt-l,所以毛+%=当三照=g，整理得Inf+ -1=0,3，3^/(/)=ln/+-+--l(z>0),所以/«)=1—马+1=丁+3；-2,因为8(。=『+3，-2在(0,+力)上单调递增；且g(；)=-1<°，g(l)=2>0,所以，存在a(g<a<l)使得g(a)=0.因此/。)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增；所以/(r)2/(a),又因为/⑴=0,所以/⑺N/(a),/(a)<0,——-3=女——-3=女22/-9e2+1-3?e2(2e2-9)+l03e因此/(f)除零点f=l外，在(5,a)上还有•个零点,所以，符合题意的点7有两个，其中一个的坐标为7(1,0).【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系，切线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.(1)C:土+匕=1；(2)^l2iy=-x--^,y=--x+-i(3)NDFB，.4 3 2 2 2 2 2【解析】

（1）由题意可得J可-1尸+-=g|4-x|,化简可得曲线C的方程.TOC\o"1-5"\h\z（2）讨论直线4的斜率不存在和存在两种情况.当直线4的斜率不存在时，求出的面（2 2土匕=]积，易判断是否成立.当直线4的斜率存在时，设直线4：v=Mx-i）,由方程组4 3~y=kx-k消元，韦达定理可求弦长|43|,又点O到直线4的距离"=子=，所以的面积L\AB\d=^.,可求左值，即可求直线4的方程.2 8（3）讨论直线4的斜率不存在和存在两种情况.当直线4的斜率不存在时，易求的值.当直线4的斜率存在时，设直线/2：V=%（xT）.由（2）中的结论可得点G的坐标，可写出直线OG的方程，求出点。的坐标.最后用向量的方法求ZDF8的值.【详解】（1）根据题意，可知，y]（X—\）2+_V2=—|4—X|,4 3+Jl.4 3+Jl.（2）因为直线4过焦点尸，故直线与椭圆总交于4（玉,必）、8K,外）两点.若直线。与x轴垂直，可算得|/8|=3,Saw 1石，不满足条件.于是，所求直线的斜率存在.设直线4的斜率为无，即=1联立方程组4 3-，得（3+4公卜2-8-x+4左2-12=0（此时A>0恒成立）.X1+X1+x2=y=kx—k8A-2A4k2-12-4 r3+4公点。（0,0）到4的距离为"=-4^=

化简得176k4+136/-45=0,即(4^2-l)(44AJ+45)=0解得《=土;.•••所求直线，2：y=；x-1■或y=-；x+g(或表示为一般式方程).(3)若直线右的斜率不存在，即垂直x轴,根据椭圆的对称性，知点G与点尸重合，点。(4,0),此时，有NDFB=g.若直线4的斜率存在，设，2：V=Mx-1).8k2x+X)= 7由⑵可得， 3+,：6k...g£W].{3+4k23+4k2),•,直线4的倾斜角不为零，：/h。., 3直线OG:y=——x.4k方法1：算得丽方法1：算得丽=(3,一0.又直线右方向向量为2=(1,左),—— 3且皿4=3——・Z=0.・,.FDJ_1.

krr.•./。尸8=一.(多想少算)

27T综上，不论直线4的斜率存在与否，总有/。用=1.方法2：算得丽=(3,-£|,右与4的交点为“(4*),.•・丽=(3,3吐可得向量而与丽可得向量而与丽的夹角满足cos尸。=FH-FD

\FH\\FD\TV IT即 .\FD1Z,:"DFB=-2 2jr综上，不论直线4的斜率存在与否，总有=【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的相交问题和定值问题，考查学生的运算能力，考查分类讨论和数形结合的数学思想.属于困难的题目.（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用点差法即可证明：（2）根据题意M是平行四边形对角线的交点，利用坐标关系代换，构造齐次式解人加=匹，再根据（1）的结论证得结论.【详解】（1）设Z（x”必）,8（々,必）,Mg,比）,直线不经过原点且不与坐标轴平行，所以xx*x2,yt*y2,xt+x2*0, *0,直线/的斜率上直线。”的斜率%°”=为=里且，x1—x2 X。x}+x2A,3在椭圆上，¥+4=1,二+月=1两式相减：b~a~b~a6+七『一%）+（必+叫必一为）=0,两边同时除以（再+X2）6-%）b a，俎」_+（＞+＞）"%）=0所以（必+%）（必一力）=_£1h2a2[x]4-x2）（x1-x2） ， &+工2）（占一4）b?，即喊OM=-%所以直线的斜率与/的斜率的乘积为定值-£：（2）四边形O＜P8为平行四边形时，当且仅当力8与O尸互相平分，设M（x0,盟），则尸（2%,2%）,且在椭圆上，学+母」,即/疗+从盟2=空〃 4 4由⑴得妞。“=一3，k=^^,所以几宁=_],x0b-x0b整理得：a2x02+b2y^=a2bx0+ab2y0,又因为/十+b2y= 所以a%x0+加y=空，即以。+妫=半，两边平方得：幽+by。)2=吟,a2x02+62了=勺=4(ax0+by0)2,lo 4所以3a2x02+Sabxoyo+362yo2=0两边同时除以嫣，％=及玉)3/+8abkoM+3b2k20M=。.所以l3D工包工巴,k°M3b所以人罕尚3b【点睛】此题考查直线与椭圆关系相关结论的证明，涉及点差法解决中点弦的问题，利用直线与椭圆交点坐标关系构造齐次式求解斜率，综合性强，计算量大.(1)—+^-=1；(2)®A2+a2=—；②％'历.4 3 4 49【解析】【分析】(1)利用三角形的内切圆半径公式与外接圆的半径公式，求得两个圆的半径，根据条件，列出等量关系式，求得结果；(2)①根据点到直线的距离，以及圆的半径，可知OP_LOQ,即OM_LON,利用点在圆上，利用向量的关系，得到坐标的关系，点的坐标满足圆的方程，整理得到储+储=9；②根据①中的条件，可以整理得到07=2叵，是定值，再设直线的方程为7y=kx+m(k^0),利用弦长公式求得再利用垂直关系得到之后应用面积公式得到247/=12+12公，之后利用面积公式得到5「邑=/ ,,可以发现人越小，其值越大，7yl3+4k2再将k等于零时的情况代入求得结果.【详解】(1)根据题意，设A4耳鸟的内切圆半径为"，则有;（a+〃+2c）・r=g,2c・b,因为c=l,整理得〃=々，设澳百目的外接圆的半径为R,一巴=2R a2 a2则有b，即2A=幺，所以/?=幺，b 2ha根据题意有《=竺，所以4〃=/+笳，即4（/-1）=/+。2,2b。+1整理得（。+1）（。-2）2=0,因为。＞0,所以。=2,因为c=l,所以〃=3,2 2所以椭圆C的方程为：土+匕=1.4 3（2）①根据题意，原点。到直线/的距离为逑，且|。目=|。。|=3,所以。尸_LO0,OMION,设2区,必),Q(x2,y2),M(X3,%),N(x*”)，由题意可知：X|=〃3用=售4,凹=33，%=〃乂，因为“+必2=9,所以储/2+万％2=9,所以+必2=不，同理X；+»：=~^2，TOC\o"1-5"\h\z丫2 2 Q O因为士+江=1,所以匕2=4(5-3),%=3(4-5)，4 3 a A9 9同理匕2=4(^-3),乂2=3(4--7),〃 〃因为OM_LON,所以X3X4+必居=0，所以与252=82乂2，所以16(*-3)(马-3)=9(4-94-与,01整理得储+〃2=2,471所以的关系式为万+〃2=今.4. - 、 9 Q Q②因为OA7-=七+必=4(万-3)+3(4-方)=不，A A A,OON2=x；+y；=3,所以」+」=3=Z-=匕，OM2ON29 4x912

TOC\o"1-5"\h\z又因为= ,2 2所以OT2.(om2+on2)=OM2.on2,即。72.(1^+1T)=1,OM-ON2所以O72=U,3=如江，7 72 2设直线MN的方程为歹=%+加/=0),与椭圆方程二+匕=1联立,4 3nJ^3x2+4(fcr+m)2-12=0, (3+4k2)x2+8Jfcmx+4/n2-12=0,由①“3，%)川(》4，夕4),x3+x4=- ,x3-x4= ~12,3+4左2' 3+4-由①知OA/J_ON,所以而•丽=0，即匕匕+%乂=0，所以工3、4+（去3+"7）（去4+加）=0，整理得（1+左2）工3工4一切?（工3+》4）+机2=。，即（1+公）.4川T28. ,整理得：7/=12+12公,3+4公 3+4公ImViTF.V(x3+x4)2-4x3x4=V17F-回流-4(3+4f)(4“272)r-—^Vl92k2-48w2+144―+ 3+4? ，!y=Ax+/n1 ，解得7(-品，岛)，y=一一x k2k根据题意可知：s「s?=.囱.卬=L.ViTF.如4-8?+”M2 2 2 3+4kk+1_\_/(1+公)(192k2-481+144)•m2_加'(48--12/n'+36)~2\ (3+4月2)2(42+[)2 ―V(3+4/)2(公+1),,212M+12、1444k- f—+3-7 (3+4公)212 1114416公+鼠12I16A：2+9,,212M+12、1444k- f—+3-7 (3+4公)212 19 cCJ2J1 12因为_，,无〃、9是增函数，所以‘必＜了』百~。一了t16 V16168当人=0时，直线MTV的方程为：、=双五，7止匕时与・邑=丑•酒=如史，此时达到最大值，7 7 49所以E•邑的最大值是竺臣1.49【点睛】该题考查的是有关椭圆与直线的综合题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解问题，向量之间的关系，点在曲线上的条件，直线垂直的转化，有关最值的求解，属于难题.(l)xn=—,yn="1+2”；(2)证明见解析.h+1 n+\【解析】【分析】(1)联立直线和曲线方程通过判别式求出如，即可求得切点坐标公式;(1)设直线/«：y=kn(jH-1),联立x2-2nx+y?=0,得(1+加)x2+(2加-2〃)x+kn2=0,则4=(2kn2-2m)2-4(1+kn2)kn2-0,可得可得Q-J3级…然…'246InV357 2〃+lf(x)=1+^-sinx,由0< —4 ,可得sinxX),即/(x)>0,/(x)在(0,5递增，由/(0)=_显<0,八显)=3-正的正=逅(cos生-cos立)<0,3 33333 4 3可得x<—^cosx,3ynyn【点睛】此题考查数列函数与解析几何的综合应用，涉及放缩法证明不等式，构造函数利用单调性证明不等式.(1)[+q=1：(2)直线MN经过定点，定点坐标为($o),理由见解析.【解析】(1)根据题意确定出c与e的值，利用离心率公式求出。的值，进而求出b的值，代入椭圆方程得答案；(2)由直线48与CO斜率存在，设为4,表示出48方程，设出4与8坐标，进而表示出M的坐标，联立直线48与椭圆方程，消去y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出同理表示M根据M,N的横坐标相同求出发的值，得到此时MN斜率不存在，直线恒过定点：若直线AW斜率存在，表示AW的斜率，进而表示直线A/N的方程，令y=0,求出x的值，得到直线恒过定点；显然直线48或C。斜率不存在，也成立，综上，得到直线恒过定点，求出坐标即可.【详解】(1)因为椭圆的右焦点尸(1,0),所以c=l,

C1又离心率e=—=7，所以a=2,即6=6a2故椭圆E的方程为《+乙=14 3（2）当直线48和C£）斜率存在时设直线48方程为：y=〃（x-l）,再设/（占,乂）,8缶,%）X1+工22联立方程y=A（x—1）联立方程y=A（x—1） r =1I43消去y得：（3+4公卜2-8%-+4公