《高等数学》(3年专科)(第三版)-第十章-第四节-三-重-积-分课件

*第四节三重积分一、三重积分的概念二、三重积分的累次积分法第十章

重积分*第四节三重积分一、三重积分的概念二、三重积分的累1设函数

f(x,y,z)在空间有界闭区域

上有定义，定义将域任意地分成n个子域，记为vi

(i=1，2，·

·

·，n)，且以vi

表示第i个子域的体积，在vi

上任取一点(i,i,i)，作和式如果当子域的最大直径趋于零时，该和式极限存在，则称此极限值为函数f(x,y,z)在空间闭区域上的三重积分.记作即一、三重积分的概念设函数f(x,y,z)在空间有界2其中f(x,y,z)称为被积函数，f(x,y,z)dv称为被积表达式，dv称为体积元素，称为积分域，称为三重积分号.这时，我们也称函数f(x,y,z)在

上可积.若函数f(x,y,z)在

上连续，则三重积分一定存在.如果f(x,y)=1，则其中f(x,y,z)称为被积函数，3二、三重积分的累次积分法1.在直角坐标系中的累次积分法在空间直角坐标系中，如果分别用平行于三个坐标面的平面族x=i，y=j，z=k

(i，j，k为常数)去分割空间区域，则除了靠边界上可能出现不规则的子域外，其余的子域都是长方体.取一个代表性子域其相邻三棱分别为dx,dy和dz,则的体积元素为二、三重积分的累次积分法1.在直角坐标系中的累次积分法在4定限步骤如下：(1)将空间闭区域

投影到xy平面，得到在xy平面上的一个平面闭区域D;(2)在

D上任取一点(x,y)，作平行与z轴的直线l，与边界曲面的交点的竖坐标z=z1

(x,y)和

z=z2(x,y)，显然且假定≤≤≤定限步骤如下：(1)将空间闭区域投影到xy平面，5那么在对z积分时，我们把x，y看成常数，积出后再在D上计算二重积分.三重积分也可以先积y或先积x，这时需要先把空间区域Ω

分别投影到xz平面或yz平面上得到投影区域D.那么在对z积分时，我们把x，y看成常数，积出后再在6其中是由三个坐标面与平面x+y+z=1所围成的空间区域.例

1计算三重积分

解画出积分区域及在xy平面上的投影区域D，根据定限示意图，有xDOyx+y=1xOyx+y+z=1D111z(a)(b)

7《高等数学》(3年专科)(第三版)-第十章-第四节--三-重-积-分课件8==9点M竖坐标为z，2.在柱面坐标系中的计算法给定空间一点M，从点M作xy坐标面的垂线，其垂足为P如图，设点P的极坐标为(r,

)，那么有序数组(r,,z

)称为点M的柱坐标.由图可知，柱坐标与直角坐标的关系是xyzOM(x,y,z)P(r,

)rz

10柱面坐标系中的体积元素可表示为计算三重积分的要点是：(1)画出积分域及它在xy平面上的投影区域D；(2)把三重积分的被积表达式换成如下形式(3)变量

z

的上下限定法同三重积分在空间直角坐标系中累次积分法对

z

的定限法，变量r、的上下限定法同二重积分在极坐标系中的定限法.柱面坐标系中的体积元素可表示为计算三重积分的要点是：(1)画11例2设立体

由曲面所围成，试在柱面坐标系中计算三重积分解

画出积分区域以及它在xy平面上的投影区域D，如图，按柱面坐标定限法的要求，即有y例2设立体由曲面所围成，试在柱面坐标系中计算三重12《高等数学》(3年专科)(第三版)-第十章-第四节--三-重-积-分课件133.球面坐标系中的计算法

在球面坐标系中，我们用r、、三个量构成的有序数组(r,,)确定空间的点

M(如图)，其中r是点M到原点的距离，设OM在xy平面上的投影为OP.面对z轴正方向看，x轴正向以逆时针方向转到OP的角为，为OM与

z轴正向的夹角，它们的取值范围是：≤≤≤≤≤AxzyrMPxyzO3.球面坐标系中的计算法在球面坐标系中，14我们称(r,

,)为空间点的球坐标.事实上，点M也可以看成是以原点为球心、r为半径的球面，与极角为的半平面，张角为的锥面的公共交点，所以称(r,,)为点M的球坐标.球面坐标与直角坐标的关系应是我们称(r,,)为空间点的球坐标.15在球面坐标系中，我们用一族同心的球面r=常数，一族过z轴的半平面=常数，以及一族有同一轴(即z轴)的圆锥面

=常数，去分割空间区域，分成许多子域，取这些子域中的一个有代表性的子区域dv.它是由半径为r和r+dr球面、极角为和+d的半平面、张角为和+d的圆锥面所围成.在球面坐标系中，我们用一族同心的球面r=常数，一族过16把dv近似看作是一个长方体，它的三条边长分别为所以球面坐标系中的体积元素可表示为因此，三重积分在球面坐标系中，可以表示为上式右端也可化为对r、、的三次积分.我们仅介绍下述两种特殊区域的情形.把dv近似看作是一个长方体，它的三条边长分别为所以球面坐17例3将三重积分化为球面坐标系中的累次积分，解

对球域来说，因为球心在坐标原点，所以球域内任一点的球面坐标(r,,)的变化范围为其中：≤≤≤≤≤≤≤因此例3将三重积分18例4在球坐标系中计算解：例4在球坐标系中计算解19思考题

求由球面x2+y2+z2=2Rz和顶角等于2、以z轴为轴的圆锥面所围成的立体

的体积.解

在球面坐标系下，球面x2+y2+z2=2Rz的方程可以化为顶角等于2、以z轴为轴的圆锥面的方程为思考题求由球面x2+y2+z2=2Rz20于是，积分域

可以用不等式组表示为≤≤≤≤≤≤于是，积分域可以用不等式组表示为≤≤≤≤≤≤21所以的体积为所以的体积为22*第四节三重积分一、三重积分的概念二、三重积分的累次积分法第十章

重积分*第四节三重积分一、三重积分的概念二、三重积分的累23设函数

f(x,y,z)在空间有界闭区域

上有定义，定义将域任意地分成n个子域，记为vi

(i=1，2，·

·

·，n)，且以vi

表示第i个子域的体积，在vi

上任取一点(i,i,i)，作和式如果当子域的最大直径趋于零时，该和式极限存在，则称此极限值为函数f(x,y,z)在空间闭区域上的三重积分.记作即一、三重积分的概念设函数f(x,y,z)在空间有界24其中f(x,y,z)称为被积函数，f(x,y,z)dv称为被积表达式，dv称为体积元素，称为积分域，称为三重积分号.这时，我们也称函数f(x,y,z)在

上可积.若函数f(x,y,z)在

上连续，则三重积分一定存在.如果f(x,y)=1，则其中f(x,y,z)称为被积函数，25二、三重积分的累次积分法1.在直角坐标系中的累次积分法在空间直角坐标系中，如果分别用平行于三个坐标面的平面族x=i，y=j，z=k

(i，j，k为常数)去分割空间区域，则除了靠边界上可能出现不规则的子域外，其余的子域都是长方体.取一个代表性子域其相邻三棱分别为dx,dy和dz,则的体积元素为二、三重积分的累次积分法1.在直角坐标系中的累次积分法在26定限步骤如下：(1)将空间闭区域

投影到xy平面，得到在xy平面上的一个平面闭区域D;(2)在

D上任取一点(x,y)，作平行与z轴的直线l，与边界曲面的交点的竖坐标z=z1

(x,y)和

z=z2(x,y)，显然且假定≤≤≤定限步骤如下：(1)将空间闭区域投影到xy平面，27那么在对z积分时，我们把x，y看成常数，积出后再在D上计算二重积分.三重积分也可以先积y或先积x，这时需要先把空间区域Ω

分别投影到xz平面或yz平面上得到投影区域D.那么在对z积分时，我们把x，y看成常数，积出后再在28其中是由三个坐标面与平面x+y+z=1所围成的空间区域.例

1计算三重积分

解画出积分区域及在xy平面上的投影区域D，根据定限示意图，有xDOyx+y=1xOyx+y+z=1D111z(a)(b)

29《高等数学》(3年专科)(第三版)-第十章-第四节--三-重-积-分课件30==31点M竖坐标为z，2.在柱面坐标系中的计算法给定空间一点M，从点M作xy坐标面的垂线，其垂足为P如图，设点P的极坐标为(r,

)，那么有序数组(r,,z

)称为点M的柱坐标.由图可知，柱坐标与直角坐标的关系是xyzOM(x,y,z)P(r,

)rz

32柱面坐标系中的体积元素可表示为计算三重积分的要点是：(1)画出积分域及它在xy平面上的投影区域D；(2)把三重积分的被积表达式换成如下形式(3)变量

z

的上下限定法同三重积分在空间直角坐标系中累次积分法对

z

的定限法，变量r、的上下限定法同二重积分在极坐标系中的定限法.柱面坐标系中的体积元素可表示为计算三重积分的要点是：(1)画33例2设立体

由曲面所围成，试在柱面坐标系中计算三重积分解

画出积分区域以及它在xy平面上的投影区域D，如图，按柱面坐标定限法的要求，即有y例2设立体由曲面所围成，试在柱面坐标系中计算三重34《高等数学》(3年专科)(第三版)-第十章-第四节--三-重-积-分课件353.球面坐标系中的计算法

在球面坐标系中，我们用r、、三个量构成的有序数组(r,,)确定空间的点

M(如图)，其中r是点M到原点的距离，设OM在xy平面上的投影为OP.面对z轴正方向看，x轴正向以逆时针方向转到OP的角为，为OM与

z轴正向的夹角，它们的取值范围是：≤≤≤≤≤AxzyrMPxyzO3.球面坐标系中的计算法在球面坐标系中，36我们称(r,

,)为空间点的球坐标.事实上，点M也可以看成是以原点为球心、r为半径的球面，与极角为的半平面，张角为的锥面的公共交点，所以称(r,,)为点M的球坐标.球面坐标与直角坐标的关系应是我们称(r,,)为空间点的球坐标.37在球面坐标系中，我们用一族同心的球面r=常数，一族过z轴的半平面=常数，以及一族有同一轴(即z轴)的圆锥面

=常数，去分割空间区域，分成许多子域，取这些子域中的一个有代表性的子区域dv.它是由半径为r和r+dr球面、极角为