北师版九年级数学下册《解直角三角形》课件(2022年新版)-2

1.掌握解直角三角形的概念；〔重点〕2.掌握解直角三角形的依据并能熟练解题.(重点、难点)学习目标1.掌握解直角三角形的概念；〔重点〕学习目标ACBcba(1)三边之间的关系:a2+b2=_____；(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.在Rt△ABC中，共有六个元素〔三条边，三个角〕，其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？c290°导入新课复习引入ACBcba(1)三边之间的关系:a2+b2=_____；讲授新课已知两边解直角三角形一问题1如果Rt△ABC中两边的长，你能求出这个三角形其他的元素吗？讲授新课已知两边解直角三角形一问题1如果Rt△ABC中两边例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且,求这个直角三角形的其他元素.解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2,ABC典例精析在Rt△ABC中，例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C在如图的Rt△ABC中，根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC62.4练一练在如图的Rt△ABC中，根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能已知一边及一锐角解直角三角形二问题2如果Rt△ABC中一边和一锐角，你能求出这个三角形其他的元素吗？已知一边及一锐角解直角三角形二问题2如果Rt△ABC中一边例2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B＝25°,求这个直角三角形的其他元素(边长精确到1〕.ABCb30ca25°解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，∴∠A=65°.例2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠

在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC675°〕练一练在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素〔其中至少有一个是边〕，这个三角形就可以确定下来，这样就可以由的两个元素求出其余的三个元素．ABabcC由直角三角形中的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．归纳总结事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知构造直角三角形解决问题三例3

如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.DABC解：过点A作AD⊥BC于D.在△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°=.在△ABD中，∠B=30°，∴BD=∴BC=CD+BD=+构造直角三角形解决问题三例3如图，在△ABC中，∠B=30练一练如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB＝，那么菱形的周长是〔〕A．10B．20C．40D．28C练一练如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，那么BC的长是〔〕

D当堂练习2.在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，那么cosB的值是_________.1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，D3.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为（）A．3B．3.75C．4.8D．5B3.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cos4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据以下条件解直角三角形；〔1〕a=30,b=20;解：根据勾股定理得ABCb=20a=30c4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据以下条件解直角三角形

(2)∠B＝72°，c=14.ABCbac=14解：(2)∠B＝72°，c=14.ABCbac=14解：5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分线，解这个直角三角形.DABC6解：∵AD平分∠BAC，5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠B6.

如图，在Rt△ABC

中，∠C=90°，cosA=，

BC=5，试求AB的长.解：ACB设∴AB的长为6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=7.如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角〔梯子与地面的夹角〕不能大于60°，否那么就有危险，那么梯子的长至少为多少米?解：如下图，依题意可知，当∠B=600时，答：梯子的长至少4.62米.CAB7.如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角〔梯图②当△ABC为锐角三角形时，如图②，BC=BD+CD=12+5=17.图①解：∵cos∠B=，∴∠B=45°，当△ABC为钝角三角形时，如图①，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5∴BC=BD-CD=12-5=7；∴BC的长为7或17.当三角形的形状不确定时，一定要注意分类讨论.8.在△ABC中，AB=，AC=13，cos∠B=，求

BC的长.图②当△ABC为锐角三角形时，如图②，图①解：∵cos∠B=1.复习并稳固圆中的根本概念.2.理解并掌握三点确定圆的条件并会应用.(重点)3.理解并掌握三角形的外接圆及外心的概念.〔难点〕学习目标1.复习并稳固圆中的根本概念.学习目标导入新课情境引入假设旋转木马真如短片所说，是中国创造的，你能将旋转木马破碎的圆形底座复原，以帮助考古学家画进行深入的研究吗？要确定一个圆必须满足几个条件?想一想导入新课情境引入假设旋转木马真如短片所说，是中国创造的，你能问题1构成圆的根本要素有那些?导入新课复习与思考or两个条件:圆心半径那么我们又该如何画圆呢?问题1构成圆的根本要素有那些?导入新课复习与思考or问题2

过一点可以作几条直线？问题3

过几点可以确定一条直线？那么过几点可以确定一个圆呢？问题2过一点可以作几条直线？问题3过几点可以确定一条直问题1如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？

合作探究·····以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.A探索确定圆的条件一讲授新课问题1如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？合作探回忆线段垂直平分线的尺规作图的方法1．分别以点A和B为圆心，以大于二分之一AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；2.作直线MN.NMAB回忆线段垂直平分线的尺规作图的方法1．分别以点A和B为圆心，问题2如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？

····AB作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;可作无数个圆.问题2如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少····AB问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ABCDEGF●o经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ABCDEGABC问题4过同一直线上三点能不能作圆?不能.ABC问题4过同一直线上三点能不能作圆?不能.有且只有位置关系ABCDEGF●o归纳总结

不在同一直线上的三个点确定一个圆.有且只有位置关系ABCDEGF●o归纳总结不在同一直例1小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如下图，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是〔〕典例精析A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块B例1小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如下图，为试一试：△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.ABCO三角形的外接圆及外心二试一试：△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.1.外接圆三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作这个三角形的外接圆.这个三角形叫作这个圆的内接三角形.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.2.三角形的外心：定义：●OABC三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.作图：三角形三条边的垂直平分线的交点.性质：概念学习1.外接圆三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.2.三角判一判：以下说法是否正确(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆()(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形()(3)经过三点一定可以确定一个圆()(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等()√××√判一判：√××√分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并表达各三角形与它的外心的位置关系.ABC●OABCCAB┐●O●O画一画分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外锐角三角形的外心位于三角形内；直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心位于三角形外.要点归纳锐角三角形的外心位于三角形内；要点归纳例：如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，假设△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．(1)求∠DAO的度数；(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠DOA＝90°，∴∠DAO＝30°；典例精析例：如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．(2)∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.在Rt△AOD中，OA＝OD·tan∠ADO＝

，AD＝2OD＝6，∴点A的坐标是(，0)．∵∠AOD＝90°，∴AD是圆的直径，∴△AOB外接圆的面积是9π.方法总结：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径(或半径)长度．(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．(2)∵点D的坐标1.判断：〔1〕经过三点一定可以作圆〔〕〔2〕三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点〔〕〔3〕三角形的外心到三边的距离相等〔〕〔4〕等腰三角形的外心一定在这个三角形内〔〕√×××当堂练习2.三角形的外心具有的性质是〔〕A.到三边的距离相等.B.到三个顶点的距离相等.C.外心在三角形的外.D.外心在三角形内.B1.判断：√×××当堂练习2.三角形的外心具有的性质是〔3.如图，是一块圆形镜片破碎后的局部残片，试找出它的圆心.ABCO方法:1.在圆弧上任取三点A、B、C.2.作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心.3.以点O为圆心，OC长为半径作圆,⊙O即为所求.3.如图，是一块圆形镜片破碎后的局部残片，试找出它的圆心.A4.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是〔〕A．点P B．点Q C．点R D．点MB4.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，5.如图，△ABC内接于⊙O，假设∠OAB＝20°，那么∠C的度数是________．70°5.如图，△ABC内接于⊙O，假设∠OAB＝20°，那么∠C6.如图，在△ABC中，点O在边AB上，且点O为△ABC的外心，求∠ACB的度数．解：∵点O为△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC.∵∠OAC＋∠OCA＋∠OCB＋∠OBC＝180°，∴∠OCA＋∠OCB＝90°，即∠ACB＝90°.6.如图，在△ABC中，点O在边AB上，且点O为△ABC的外7.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是_________，半径是______．〔5，2〕7.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标1.掌握解直角三角形的概念；〔重点〕2.掌握解直角三角形的依据并能熟练解题.(重点、难点)学习目标1.掌握解直角三角形的概念；〔重点〕学习目标ACBcba(1)三边之间的关系:a2+b2=_____；(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.在Rt△ABC中，共有六个元素〔三条边，三个角〕，其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？c290°导入新课复习引入ACBcba(1)三边之间的关系:a2+b2=_____；讲授新课已知两边解直角三角形一问题1如果Rt△ABC中两边的长，你能求出这个三角形其他的元素吗？讲授新课已知两边解直角三角形一问题1如果Rt△ABC中两边例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且,求这个直角三角形的其他元素.解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2,ABC典例精析在Rt△ABC中，例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C在如图的Rt△ABC中，根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC62.4练一练在如图的Rt△ABC中，根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能已知一边及一锐角解直角三角形二问题2如果Rt△ABC中一边和一锐角，你能求出这个三角形其他的元素吗？已知一边及一锐角解直角三角形二问题2如果Rt△ABC中一边例2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B＝25°,求这个直角三角形的其他元素(边长精确到1〕.ABCb30ca25°解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，∴∠A=65°.例2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠

在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC675°〕练一练在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素〔其中至少有一个是边〕，这个三角形就可以确定下来，这样就可以由的两个元素求出其余的三个元素．ABabcC由直角三角形中的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．归纳总结事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知构造直角三角形解决问题三例3

如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.DABC解：过点A作AD⊥BC于D.在△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°=.在△ABD中，∠B=30°，∴BD=∴BC=CD+BD=+构造直角三角形解决问题三例3如图，在△ABC中，∠B=30练一练如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB＝，那么菱形的周长是〔〕A．10B．20C．40D．28C练一练如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，那么BC的长是〔〕

D当堂练习2.在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，那么cosB的值是_________.1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，D3.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为（）A．3B．3.75C．4.8D．5B3.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cos4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据以下条件解直角三角形；〔1〕a=30,b=20;解：根据勾股定理得ABCb=20a=30c4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据以下条件解直角三角形

(2)∠B＝72°，c=14.ABCbac=14解：(2)∠B＝72°，c=14.ABCbac=14解：5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分线，解这个直角三角形.DABC6解：∵AD平分∠BAC，5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠B6.

如图，在Rt△ABC

中，∠C=90°，cosA=，

BC=5，试求AB的长.解：ACB设∴AB的长为6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=7.如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角〔梯子与地面的夹角〕不能大于60°，否那么就有危险，那么梯子的长至少为多少米?解：如下图，依题意可知，当∠B=600时，答：梯子的长至少4.62米.CAB7.如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角〔梯图②当△ABC为锐角三角形时，如图②，BC=BD+CD=12+5=17.图①解：∵cos∠B=，∴∠B=45°，当△ABC为钝角三角形时，如图①，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5∴BC=BD-CD=12-5=7；∴BC的长为7或17.当三角形的形状不确定时，一定要注意分类讨论.8.在△ABC中，AB=，AC=13，cos∠B=，求

BC的长.图②当△ABC为锐角三角形时，如图②，图①解：∵cos∠B=1.复习并稳固圆中的根本概念.2.理解并掌握三点确定圆的条件并会应用.(重点)3.理解并掌握三角形的外接圆及外心的概念.〔难点〕学习目标1.复习并稳固圆中的根本概念.学习目标导入新课情境引入假设旋转木马真如短片所说，是中国创造的，你能将旋转木马破碎的圆形底座复原，以帮助考古学家画进行深入的研究吗？要确定一个圆必须满足几个条件?想一想导入新课情境引入假设旋转木马真如短片所说，是中国创造的，你能问题1构成圆的根本要素有那些?导入新课复习与思考or两个条件:圆心半径那么我们又该如何画圆呢?问题1构成圆的根本要素有那些?导入新课复习与思考or问题2

过一点可以作几条直线？问题3

过几点可以确定一条直线？那么过几点可以确定一个圆呢？问题2过一点可以作几条直线？问题3过几点可以确定一条直问题1如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？

合作探究·····以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；可作无数个圆.A探索确定圆的条件一讲授新课问题1如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？合作探回忆线段垂直平分线的尺规作图的方法1．分别以点A和B为圆心，以大于二分之一AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；2.作直线MN.NMAB回忆线段垂直平分线的尺规作图的方法1．分别以点A和B为圆心，问题2如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？

····AB作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;可作无数个圆.问题2如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少····AB问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ABCDEGF●o经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ABCDEGABC问题4过同一直线上三点能不能作圆?不能.ABC问题4过同一直线上三点能不能作圆?不能.有且只有位置关系ABCDEGF●o归纳总结

不在同一直线上的三个点确定一个圆.有且只有位置关系ABCDEGF●o归纳总结不在同一直例1小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如下图，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是〔〕典例精析A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块B例1小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如下图，为试一试：△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.ABCO三角形的外接圆及外心二试一试：△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.1.外接圆三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作这个三角形的外接圆.这个三角形叫作这个圆的内接三角形.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.2.三角形的外心：定义：●OABC三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.作图：三角形三条边的垂直平分线的交点.性质：概念学习1.外接圆三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.2.三角判一判：以下说法是否正确(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆()(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形()(3)经过三点一定可以确定一个圆()(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等()√××√判一判：√××√分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并表达各三角形与它的外心的位置关系.ABC●OABCCAB┐●O●O画一画分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外锐角三角形的外心位于三角形内；直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心位于三角形外.要点归纳锐角三角形的外心位于三角形内；要点归纳例：如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，假设△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)．(1)求∠DAO的度数；(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠DOA＝90°，∴∠DAO＝30°；典例精析例：如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO