线性代数几何代数历年试题

PAGE85-《几何与代数》、《线性代数》教学大纲与历年试题南京东南大学数学系2007年９月

目录几何与代数教学大纲…………1线性代数教学大纲……………8几何与代数教学大纲（64学时）……………1301-02学年第二学期几何与代数期终考试试卷……………2102-03学年第二学期几何与代数期终考试试卷……………2503-04学年第二学期几何与代数期终考试试卷……………3004-05学年第二学期几何与代数期终考试试卷……………3405-06学年第二学期几何与代数期终考试试卷……………3906-07学年第二学期几何与代数期终考试试卷……………4301-02学年第三学期线性代数期终考试试卷………………4703-04学年第三学期线性代数期终考试试卷………………5204-05学年第三学期线性代数期终考试试卷………………5605-06学年第三学期线性代数期终考试试卷………………6106-07学年第三学期线性代数期终考试试卷………………6505-06学年第二学期几何与代数补考试卷…6905-06学年第二学期线性代数补考试卷……7307-08学年第一学期线性代数转系考试试卷………………77《几何与代数》教学大纲48学时本课程是本科阶段几何及离散量数学最重要的课程。本课程的目的是使学生熟悉线性代数与空间解析的基本概念，掌握用坐标及向量的方法讨论几何图形的方法，熟悉空间中简单的几何图形的方程及其特点，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其空间想象能力、抽象思维和逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础，并为后继课程的学习做好准备。教学内容和基本要求向量代数平面与直线理解几何向量的概念及其加法、数乘运算，熟悉运算规律，了解两个向量共线和三个向量共面的充分必要条件；理解空间直角坐标系的概念，了解仿射坐标系的概念，掌握向量的坐标表示；理解向量的数量积、向量积和混合积的概念，理解它们的几何意义，了解相关的运算性质，掌握利用坐标进行计算的方法；理解平面的法向量的概念，熟练掌握平面的方程的确定方法，熟悉特殊位置的平面方程的形式；理解直线的方向向量的概念，熟练掌握直线的对称方程、一般方程及参数方程的确定方法；了解直线、平面间的夹角的定义，了解点与直线、平面间的距离的定义，并掌握相关的计算；了解平面束的概念，并会用平面束处理相关几何问题。矩阵和行列式理解矩阵和维向量的概念；理解矩阵和向量的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；知道全排列及其的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；了解阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的阶行列式；掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算；理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法；了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。矩阵的初等变换与Gauss消元法理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系，掌握求解线性方程组的Gauss消元法；理解向量组的线性组合和线性表示的概念及相关的性质，掌握相关计算；理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法；理解向量组的极大线性无关组和秩的概念，理解向量组的秩的性质，熟练掌握向量组的秩的计算，并会求向量组的极大线性无关组；理解矩阵的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握矩阵的秩的计算；理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法；理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系；了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解；知道矩阵的分块初等变换，并会利用这一方法解决简单的矩阵问题。向量空间知道向量空间、子空间的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间；知道向量空间的基及维数的概念，会求由一向量组生成的子空间及一齐次线性方程组的解空间的基及它们的维数；知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵；理解向量的内积、长度及正交性的概念，了解向量内积的基本性质；理解向量空间的标准正交基的概念，熟练掌握Schimidt正交化方法；理解正交矩阵的概念，了解正交矩阵的性质。相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量理解矩阵的特征值、特征向量的概念，熟练掌握矩阵的特征多项式、特征值、特征向量的求法；熟练掌握特征多项式、特征值、特征向量的性质；了解矩阵的迹的概念，了解矩阵的迹、行列式与其特征值间的关系；理解矩阵的相似性概念，理解两矩阵相似的必要条件；熟练掌握矩阵相似于对角阵的充要条件，并熟练掌握相应的对角阵及相似变换矩阵的求法；熟练掌握实对称矩阵的性质，熟练掌握求正交矩阵将实对称矩阵化成对角阵的方法。二次型与二次曲面理解二次型及二次型的矩阵的概念，熟练掌握二次型的矩阵的求法；理解可逆线性变换及二次型的标准形的概念，了解二次型的规范形的概念；理解矩阵间的合同关系的概念；理解二次型在正交变换下的标准形与二次型的矩阵的特征值的关系，熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，掌握用可逆线性变换化二次型为标准形的方法；理解惯性定理的结论及其几何含义，掌握判断实对称矩阵合同的方法；理解正定性的概念，熟练掌握判断二次型、实对称矩阵是否正定的方法；熟悉一般曲面的概念，熟悉球面、柱面、旋转面、锥面等重要曲面的几何特征以及它们的方程的特点；知道二次曲线的参数方程；熟悉二次曲面的标准方程，以及它们的几何特征；掌握二次曲面的交线以及这些交线在坐标平面上的投影曲线的方程的求法；掌握一些简单的几何图形的草图的作法。注：对于概念与结论分知道、了解、理解三个层次，对方法分会、掌握、熟练掌握三个层次。《线性代数》教学大纲32学时本课程是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，也是本科阶段关于离散量数学的最重要的课程。本课程的目的是使学生熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其抽象思维、逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。教学内容和基本要求行列式理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；了解阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的阶行列式；掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算；理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。矩阵理解矩阵的概念；理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。矩阵的初等变换与Gauss消元法理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系，理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系；了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解；理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系；熟练掌握用矩阵的秩判断线性方程组的相容性及讨论解的情况的方法。向量组的线性相关性理解向量的概念，理解线性组合和线性表示的概念；理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法；理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质；理解向量组的最大线性无关组的概念，理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的最大线性无关组；理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法；知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间及一齐次线性方程组的解空间的基及它们的维数；知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。相似矩阵和二次型理解向量的内积、长度及正交性的概念，了解向量内积的基本性质；理解向量空间的标准正交基的概念，熟练掌握Schimidt正交化方法；理解正交矩阵的概念，了解正交矩阵的性质；理解矩阵的特征值、特征向量的概念，熟练掌握矩阵的特征多项式、特征值、特征向量的求法，理解特征多项式、特征值、特征向量的性质；理解矩阵的相似性概念，理解两矩阵相似的必要条件；熟练掌握矩阵相似于对角阵的充要条件，并熟练掌握相应的对角阵及相似变换矩阵的求法；熟练掌握实对称矩阵的性质，熟练掌握求正交矩阵将实对称矩阵化成对角阵的方法；理解二次型及二次型的矩阵的概念，熟练掌握二次型的矩阵的求法；理解可逆线性变换及二次型的标准形的概念，了解二次型的规范形的概念；理解矩阵间的合同关系的概念；理解二次型在正交变换下的标准形与二次型的矩阵的特征值的关系，熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，掌握用可逆线性变换化二次型为标准形的方法；理解惯性定理的结论，掌握判断实对称矩阵合同的方法；理解正定性的概念，熟练掌握判断二次型、实对称矩阵是否正定的方法。注：对于概念与结论分知道、了解、理解三个层次，对方法分会、掌握、熟练掌握三个层次。几何与代数教学大纲（总学分：4；总上课学时：64；上机时数：0）课程的性质与目的本课程是工科电类专业学生本科阶段关于几何及离散量数学重要的数学基础课程。本课程的目的是使学生熟悉空间解析几何与线性代数基本概念，掌握用坐标及向量的方法讨论几何图形的方法，熟悉空间中简单的几何图形的方程及其特点，掌握线性代数的基本理论和基本方法，熟悉矩阵运算的基本规律和基本技巧，熟悉矩阵在等价关系、相似关系、合同关系下的标准形，提高其空间想象能力、抽象思维和逻辑思维的能力，为后继课程的学习做好准备，并为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。课程内容的教学要求1．向量代数平面与直线理解几何向量的概念及其加法、数乘运算，熟悉运算规律，了解两个向量共线和三个向量共面的充分必要条件；理解空间直角坐标系的概念，理解仿射坐标系的概念，掌握向量的坐标表示；理解向量的数量积、向量积和混合积的概念，理解它们的几何意义，了解相关的运算性质，掌握利用坐标进行计算的方法；理解平面的法向量概念，熟练掌握平面的方程的确定方法，熟悉特殊位置的平面方程的形式；理解直线的方向向量的概念，熟练掌握直线的对称方程、一般方程及参数方程的确定方法；了解直线、平面间的夹角的定义，了解点与直线、平面间的距离的定义，并掌握相关的计算；了解平面束的概念，并会用平面束处理相关几何问题。2．矩阵和行列式理解矩阵和维向量的概念；理解矩阵和向量的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关运算性质，熟练掌握上述运算；理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；了解阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的阶行列式；掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；掌握利用行列式的性质计算行列式的方法；理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；理解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法；掌握分块矩阵的运算规则，掌握典型的分块方法。3．矩阵的初等变换与Gauss消元法理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系，掌握求解线性方程组的Gauss消元法；理解向量组的线性组合和线性表示的概念及相关的性质，掌握相关计算；理解向量组的线性相关、线性无关的概念及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法；理解向量组的极大线性无关组和秩的概念，理解向量组的秩的性质，熟练掌握向量组的秩的计算，并会求向量组的极大线性无关组；理解矩阵的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握矩阵的秩的计算；理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法；理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；了解矩阵的等价标准形的概念，并会用矩阵的等价标准形讨论矩阵的性质；理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系；了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法；掌握求简单的矩阵方程的解的方法；了解矩阵的分块初等变换，会利用这一方法解决典型的矩阵问题。4．向量空间理解向量空间、子空间的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，理解向量空间的基及维数的概念，会求由一向量组生成的子空间及一齐次线性方程组的解空间的基及它们的维数；知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵；理解向量的内积、长度及正交性的概念，了解向量内积的基本性质；理解向量空间的标准正交基的概念，熟练掌握Schimidt正交化方法；理解正交矩阵的概念，了解正交矩阵的性质。5．相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量理解矩阵的特征值、特征向量的概念，熟练掌握特征多项式、特征值、特征向量的求法；熟练掌握矩阵的特征多项式、特征值、特征向量的性质；理解矩阵的迹的概念，理解矩阵的迹、行列式与其特征值间的关系；理解矩阵的相似性概念，理解两矩阵相似的必要条件；理解Hamilton-Cayley定理及其意义，会利用Hamilton-Cayley定理讨论矩阵的性质，做一些重要的计算；理解矩阵的最小多项式的概念，理解矩阵的最小多项式与特征多项式的关系；理解矩阵的Jordan标准形的概念，知道Jordan标准形的存在性定理，掌握Jordan标准形的唯一性定理；熟练掌握矩阵的Jordan标准形，会计算相应的相似变换矩阵；掌握利用矩阵的Jordan标准形讨论矩阵性质的方法；熟练掌握矩阵相似于对角阵的各种充要条件，并熟练掌握相应的对角阵及相似变换矩阵的求法；熟练掌握实对称矩阵的性质，熟练掌握求正交矩阵将实对称矩阵化成对角阵的方法。6．二次型与二次曲面理解二次型及二次型的矩阵的概念，熟练掌握二次型的矩阵的求法；理解可逆线性变换及二次型的标准形的概念，了解二次型的规范形的概念；理解矩阵间的合同关系的概念；理解二次型在正交变换下的标准形与二次型的矩阵的特征值的关系，熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，掌握用可逆线性变换化二次型为标准形的方法；理解惯性定理的结论及其几何含义，掌握判断实对称矩阵合同的方法；理解正定性的概念，熟练掌握判断二次型、实对称矩阵是否正定的方法；熟悉一般曲面的概念，熟悉球面、柱面、旋转面、锥面等重要曲面的几何特征以及它们的方程的特点；知道二次曲线的参数方程；熟悉二次曲面的标准方程及其图形特征；掌握二次曲面的交线以及这些交线在坐标平面上的投影曲线的方程的求法；掌握一些简单的几何图形的草图的作法。能力培养要求逻辑思维能力的培养：主要根据线性代数理论特有的逻辑体系，尤其是通过向量组的线性相关性、矩阵的等价、相似、相合关系等内容的教学，培养学生的逻辑思维能力。抽象思维能力的培养：在要求学生理解线性代数特有的思维方式的同时，让学生体会如何从具体的实际问题以及直观的几何问题抽象、概括、提炼出代数问题，进而寻求适用于解决更一般问题的代数方法。代数运算能力：着重培养学生的矩阵运算能力。空间想象能力的培养：利用几何空间中向量之间的线性关系以及一些典型的几何图形的特点，结合线性代数的方法，注重对学生空间想象能力的培养，使学生具备初步的根据解析表达式想象并作出简单空间图形的能力。叙述表达能力的培养：注重培养学生用代数的语言表达自己的思想、描述具体的数学问题的能力，并特别要注意表达方式的条理性、逻辑性和准确性。自我学习能力的培养：利用相关内容的教学，让学生体会代数的思维特点，体会代数的思维方式，增强自我学习的能力。实践创新能力的培养：培养学生用代数方法思考、解决实际问题的能力。注：对于概念与结论分知道、了解、理解三个层次，对方法分会、掌握、熟练掌握三个层次。

01-02学年第二学期几何与代数期终考试试卷一（30%）填空题：设，，则；=；；设矩阵，，则行列式；若向量组线性无关，则当参数时，也线性无关；矩阵的伴随矩阵=；设矩阵及均可逆，则，且；与向量，均正交的单位向量为；四点共面的充要条件为；设实二次型，则当满足条件时，是椭球面；当满足条件时，是柱面。二（8%）记为由曲线绕轴旋转所产生的旋转曲面,为以与平面的交线为准线，母线平行于-轴的柱面。试给出曲面，并画出所截有界部分在平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点）。三（8%）求经过直线且与平面垂直的平面方程.四（12%）求矩阵方程的解，其中，.五（12%）设线性方程组问：当参数满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？当方程组有无穷多解时，求出其通解。六（12%）设矩阵，已知。求参数的值；求一问：是否存在秩大于2的矩阵使得？为什么？七（12%）设实对称矩阵求参数；求一正交阵八（6%）已知阶方阵相似于对角阵，并且，的特征向量均是矩阵的特征向量。证明：。

02-03学年第二学期几何与代数期终考试试卷填空题、单选题（每小题３分，共３６分）1．；2．；3．若是正交矩阵，则行列式；4．空间四点，，，共面的充要条件是；5．点到直线的距离为；6．若４阶方阵的秩为２，则伴随矩阵的秩为；7．若可逆矩阵使，，则方阵的特征多项式为；8．若３阶方阵使都不可逆，则与对角阵相似（其中，是３阶单位阵）；9．若与对角阵相合，则；10．设，其中列向量线性无关，，则齐次线性方程组的一个基础解系是；11．设都是３阶方阵，，，则（）（Ａ）5；（Ｂ）4；（Ｃ）3；（Ｄ）212．设阶矩阵满足，则以下结论中未必成立的是（）（Ａ）可逆，且；（Ｂ）或；（Ｃ）若2不是的特征值，则；（Ｄ）或。计算题（每小题8分，共24分）13．14．求直线在平面上的垂直投影直线方程．15．设，其中，，求．计算题、解答题（三小题共３２分）16．设向量组是生成的空间．已知，．求；求的一个基，并求在此基下的坐标；求的一个标准正交基．17．用正交变换化简二次曲面方程求出正交变换和标准形）并指出曲面类型．18．设为由平面中的直线，直线及抛物线围成的平面区域．将绕轴旋转一周得旋转体．（１）画出平面区域的图形；（２）分别写出围成的两块曲面的方程；（３）求的交线在平面上的投影曲线的方程；（４）画出和，的图形．证明题、解答题（每小题４分，共８分）19．设是线性方程组的一个解，，是导出组的基础解系．证明：线性无关．20．设是３维非零实列向量，．又．（１）求的秩；（２）求的全部特征值；（３）问是否与对角阵相似？（４）求．

0３-0４学年第二学期几何与代数期终考试试卷（24%）填空题1．若向量，，共面，则参数满足.2．过点且包含轴的平面方程为.3．已知矩阵满足，则的逆矩阵=.4．设矩阵，，则行列式.5．设向量组，则当时，线性相关.6．向量空间中向量在的基，下的坐标为.7．满足下述三个条件的一个向量组为，这三个条件是：①它是线性无关的；②其中的每个向量均与向量正交；③凡与正交的向量均可由它们线性表示.8．已知矩阵，若对任意2维列向量有，则满足条件.（12%）假设矩阵满足，其中.求.（15%）设向量，，，.问：当参数满足什么条件时1．能用唯一线性表示？2．不能用线性表示？3．能用线性表示，但表示法不唯一？求这时用线性表示的一般表达式.（8%）设实二次型问：实数满足什么条件时，方程表示直角坐标系中的椭球面？（12%）设3阶方阵的特征值为，，，矩阵。求参数的值，使得矩阵不可逆；问：矩阵是否相似于对角阵？请说明你的理由.（12%）已知二次曲面的方程为：，的方程为：。问：，分别是哪种类型的二次曲面？求与的交线在平面上的投影曲线方程；画出由及所围成的立体的草图.（10%）假设实对称矩阵的秩为2，并且，其中，。求的所有特征值及相应的特征向量；并求矩阵及.（7%）证明题：设是齐次线性方程组的线性无关的解向量，不是其解向量。证明：也线性无关.设是阶正定矩阵，证明：.

04-05学年第二学期几何与代数期终考试试卷(24%)填空题以，，为顶点的三角形的面积为；设3阶矩阵，。若的行列式，则的行列式；若向量，，共面，则参数；若为阶方阵，则方阵的逆矩阵；已知向量是矩阵的特征向量，则参数，相应的特征值等于；假设矩阵，则在实矩阵中，与相抵的有；与相似的有；与相合的有．（8%）计算行列式．（10%）假设，，求矩阵方程的解．（14%）假设矩阵，，．已知齐次线性方程组的基础解系中有两个线性无关的解向量．试确定这时参数的值，并求这时的一个基础解系．若在非齐次线性方程组的解集中，存在两个线性无关的解向量，但不存在更多的线性无关的解向量，试确定这时参数及的值，并求的通解．（10%）已知直线过点，与平面平行，且与直线相交。求直线的方向向量，并写出直线的方程．（10%）假设二次曲面的方程为：；平面的方程为：．与的交线向平面作投影所得的投影曲线的方程为；该投影曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程为；在坐标系中画出投影曲线的草图（请给坐标轴标上名称）；在坐标系中画出与所围成的立体的草图（请给坐标轴标上名称）．（14%）设二次型试就参数不同的取值范围，讨论二次曲面的类型；假设．若经正交变换，可以化成标准形，求参数及一个合适的正交矩阵．（10%）证明题假设维向量，。若线性无关，证明：线性无关，并且，行列式。假设都是阶实对称矩阵，并且，的特征值均大于，的特征值均大于，证明：的特征值均大于。

05-06学年第二学期几何与代数期终考试试卷(24%)填空题直角坐标系中向量与的向量积为；过点且与直线垂直的平面的方程为；设，，，则=；若矩阵的秩为,是线性方程组的解向量,并且,,则线性方程组的通解是；设是维列向量，则阶方阵的行列式的值为；设是矩阵，若矩阵均不可逆，则行列式；若3是矩阵的特征值,,是的伴随矩阵，则矩阵的一特征值为；若表示一单叶双曲面，则满足条件。二（12%）设，，，求以及矩阵，使。式中的均指相应的零矩阵。三（10%）设向量组线性无关,问:参数满足什么条件时,向量组，，也线性无关？四（14%）已知空间直角坐标系中三平面的方程分别为：,,问：当取何值时这三个平面交于一点？交于一直线？没有公共交点？当它们交于一直线时，求直线的方程。五（12%）已知矩阵有一个二重特征值。试求参数的值，并讨论矩阵是否相似于对角阵。如果相似于对角阵，求可逆矩阵，使得是对角阵。六（10%）假设是实对称矩阵。证明：分块矩阵是正定矩阵的充分必要条件是都是正定矩阵。七（8%）由与平面及点等距离运动的动点所生成的曲面记为，将平面上曲线以轴为旋转轴所生成的旋转曲面记为。则：1.的方程是：；的方程是：；与的交线在平面上的投影曲线方程是：；在坐标系中画出由这两个曲面所围成的有限立体的简图．八（10%）证明题：若实矩阵的行列式，证明：必定相似于对角阵．假设实对称矩阵的特征值为，是的属于特征值单位特征向量，矩阵．证明：的特征值为．06-07第二学期几何代数期终考试试卷(30%)填空题（表示单位矩阵）向量共面时参数的值为，此时，与这三个向量都正交的一个单位向量是；向量组的秩等于，这个向量组的一极大线性无关组是；假设矩阵，若是的特征值，则参数的值为；二次型的正、负惯性指数分别为，下列图形中，能表示二次曲面的图形的标号为：（A），（B），（C），（D）；由曲线绕轴旋转所产生的旋转曲面方程为；若向量组与向量组等价，则参数必定满足条件；若与相似，则。（10%）已知向量组线性无关，问：当参数取何值时，向量组也线性无关？（15%）假设是参数，空间直角坐标系中平面的方程分别如下：，，问：当取何值时,这三个平面的公共点构成一直线？当它们的公共点构成一直线时，求直线的方向向量，并给出该直线的对称方程。（15%）设，，并且，求及。（15%）已知二次型。写出二次型的矩阵；求一个正交变换，把化为标准形,并给出该标准形；假设，求的值．（15%）证明题：已知矩阵，其中，。证明：不与任何对角阵相似．假设矩阵的秩等于，并且非齐次线性方程组（）有解。证明：有并且只有个线性无关的解向量．若都是可逆的实对称矩阵，且都是正定矩阵，证明：也是正定矩阵．01-02学年第三学期线性代数期终考试试卷一（33%）填空题（表示单位矩阵，表示零矩阵，指矩阵的转置矩阵）：设，，则；；设矩阵，，则行列式；若向量组，则当参数时，线性相关；矩阵的伴随矩阵=；设矩阵及均可逆，，则；分块矩阵的逆矩阵为；设矩阵。若齐次线性方程组的解空间是2维的，则齐次线性方程组的解空间是维的；与向量，均正交的一个单位向量为；已知矩阵，，则当数满足条件时，是正定的；若n阶实对称矩阵满足，且有两个不同的特征值,则当参数满足条件时，矩阵是正定的；二（12%）求矩阵方程的解，其中，。三（12%）设3阶方阵有特征值，是其相应于特征值的特征向量，是其相应于特征值的特征向量。求。若3阶实对称矩阵的特征值也是，证明：与必定相似。四（12%）设线性方程组问：当参数满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？当方程组有无穷多解时，求出其通解（写成向量形式）。五（12%）矩阵。求一问：是否存在秩大于2的矩阵使得？为什么？六（12%）设实对称矩阵求参数；求一正交矩阵七（7%）证明题：设是矩阵的两个互异的特征值，是的属于的线性无关的特征向量，是的属于的特征向量。证明：线性无关。已知阶方阵相似于对角阵，并且，矩阵的特征向量均是矩阵的特征向量（注：，的特征值未必相同）。证明．

03-04学年第三学期线性代数期终考试试卷（24%）填空题：假设矩阵，则。假设向量组A：，则当参数满足条件时，向量组A的秩为1；时A的秩为2；时A的秩为3。若向量是矩阵的特征向量，则。设矩阵，，且，则参数满足条件。若矩阵与对角阵相似，则满足条件。若是正交矩阵，则满足条件。若对满足条件的实对称矩阵，都是正定矩阵，则实数必定满足条件。（8%）求矩阵的行列式的值。（15%）已知矩阵，向量。若是线性方程组的解，试求的值，并求这时的通解；若有无穷多组解，但不是的解，求的值。（15%）解矩阵方程。其中，。（15%）设二次型写出二次型的矩阵；求一正交变换将化成标准形，并写出相应的标准形。（12%）设3阶矩阵的特征值是（二重）和，且，是的相应于特征值2的特征向量，是的相应于特征值是4的特征向量。求矩阵及。（5%）已知矩阵，。问：当参数满足什么条件时，矩阵方程有解，但无解？（6%）证明题：已知向量组可以由线性表示。若向量组的秩为2，证明：线性无关。设2阶方阵，且，。若不全为零，证明：不与任何对角阵相似。

04-05学年第三学期线性代数期终考试试卷（27%）填空题若矩阵,，且，则的值分别为；设对任意列向量，，则矩阵；设３阶方阵，若的行列式，则矩阵的行列式；设为阶可逆方阵，阶矩阵的逆矩阵为；齐次线性方程组的一个基础解系为；若二次型是正定的，则参数的取值范围是；若矩阵是正交矩阵,则参数的值分别为；假设３阶矩阵的特征值为。则行列式的值为；若实二次型的矩阵分别为，则的正惯性指数相同，负惯性指数也相同的充分必要条件是参数满足。二（14%）假设阶矩阵满足。证明矩阵及均可逆，并分别求及；证明：若，矩阵肯定不可逆。三（14%）假设矩阵，。已知线性方程组有无穷多组解。试求参数的值，并求方程组的通解（要求用的一特解及相应的齐次线性方程组的基础解系表示）。四（15%）已知矩阵相似于对角阵。求的值，并求的特征值及相应的特征向量；求一可逆矩阵，使得为对角阵，并写出相应的对角阵；问：是否存在正交矩阵，使得为对角阵？试说明你的理由。五（12%）已知矩阵，矩阵，求矩阵，使得。六（12%）假设3维向量；。已知向量组与向量组等价。求的秩及其一个最大线性无关组，并求参数的值；令矩阵，求满足的矩阵。七（6%）假设阶矩阵满足。证明：关于矩阵的秩有等式，并且相似于对角阵；若，试求行列式的值。05-06第三学期线性代数期终考试试卷（30%）填空题（表示相应的单位矩阵）设3阶矩阵的行列式,矩阵，则矩阵的行列式；若矩阵满足，则的逆矩阵；若向量组的秩为2，则参数满足条件；假设3阶矩阵的特征值为，矩阵，其中，是的伴随矩阵，则的行列式；若矩阵与矩阵相似，则；设是3阶实对称矩阵的相应于某个非零二重特征值的特征向量。若不可逆，则的另一个特征值为，相应的一个特征向量为；已知3元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2,并且，是的3个解向量,其中,则的通解是；若4阶方阵的秩都等于1，则矩阵的行列式；若矩阵与矩阵合同，则参数满足条件。（10%）计算下述行列式的值：（15%）设线性方程组。问：当参数取何值时,线性方程组有唯一解？当参数取何值时，线性方程组有无穷多组解？当线性方程组有无穷多组解时，求出其通解。（12%）假设矩阵，，矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求。（10%）已知向量组线性无关，问：参数满足什么条件时，向量组线性相关？（15%）已知二次型写出二次型的矩阵；②求一正交变换，将变成其标准形（并写出的相应的标准形）；③求当时的最大值。（8%）证明题：设向量组中，线性相关，线性无关，证明：能由线性表示。设是阶正定矩阵,证明：矩阵也是正定矩阵。06-07第三学期线性代数期终考试试卷(18%)填空题（表示单位矩阵）假设，则；矩阵的逆矩阵；若矩阵的行列式等于，矩阵，则矩阵的行列式；齐次线性方程组的一个基础解系是；向量组，的一个极大线性无关组是；若矩阵合同，则参数满足条件。（12%）选择题假设是同阶方阵，数，则正确的命题是（）（A）；（B）；（C）；（D）。假设矩阵，则不与相似的矩阵为（）（A）；（B）；（C）；（D）假设都是非零矩阵且，则正确的命题是（）（A）的行向量组线性相关；（B）的行向量组线性相关；（C）的行向量组都线性相关；（D）的列向量组都线性相关。（16%）设线性方程组参数取何值时，线性方程组有唯一解？取何值时，方程组没有解？当取何值时，方程组有无穷多组解？当方程组有无穷多组解时，求其通解。（16%）设，，并且，求及。（14%）已知向量是矩阵的一个特征向量。求参数的值，并求的相应于特征向量的特征值；问：矩阵是否相似于对角阵？说明你的理由。（14%）已知矩阵。求一正交矩阵使得为对角阵；（10%）假设维实行向量，，矩阵。证明：是对称矩阵当且仅当线性相关；当线性相关时，求实数的取值范围，使得是正定矩阵。05-06学年第二学期几何与代数补考试卷一(30%)填空题设3阶矩阵，。若的行列式，则的行列式；直角坐标系中经过点，并且与直线垂直的平面的方程为；坐标系中点，，共线的充分必要条件是参数满足条件；假设，则=；=；若为阶方阵，则方阵的逆矩阵；已知矩阵，若不可逆，则参数满足条件，这时，的秩为；假设阶方阵满足，但，则可以肯定，的一个特征值等于；假设矩阵相似于对角阵，并且2是的一个二重特征值，则参数的值分别等于。二（12%）假设，。求矩阵方程的解。三（14%）假设矩阵，。问：当参数取什么值时，线性方程组有唯一解、有无穷多组解、无解？当线性方程组有无穷多组解时，求出其通解。四