2018级土木高数II期中考试试卷青海大学含答案

第第5页共5页2018级土木《高等数学AII》期中考试试卷班级 学号 姓名注：所有题目答案均写在答题纸上！！！一、选择和填空题（共10题，每题4分，共40分） xy1.函数f(x,y)x2y2

x2y20

在O(0,0)处【 】. 0 x2y20A.极限存在 B.连续 C.偏导数存在 D.可微设(cxaz,cybz)0,具连续偏导数，则azbz【 】.x yA.a B.b C.c D.a+b+czexysinxy2zzx,y在点

梯度为【 】.A.(2,1) B.(1,2) C.(2,0) D.(0,2)Dyx,y0,x所围成的闭区域，则D

sinxdxdy【 】.xA.1 B.2 C.3 D.45.设f(x,y)(y)yxycos(xy),则f(0,)=【 】x6．已知函数𝒇(𝒙,𝒚)在点(𝟎,𝟎)连续，且𝒍𝒊𝒎𝒇(𝒙,𝒚)

=𝟏，则𝒇(𝟎,𝟎)【 】.𝒙→𝟎𝒚→𝟎

𝒙𝟐𝒚𝟐A.不是极值 B.是极小值 C.是极大值 D.无法判断是否为极值7.设I (x34xy3)dx(6x1y25y4)dy与路径L无关，则【 】.LA.0 B.1 C.2 D.3二次积分11e【 】.0y 1 1 1 A. (1e1) B. (1e) C. (e11) D. (e1)2 2 2 21 1 1 曲面zex1y(y1)arctanx上点(0,1,e)处的法线方程为【 】.A.exeyz0 B. exe(y1)(ze)0x0

y1

ze

x0

y1

ze1 1 e e e 110.设L:x2y21，则 (x2y2x)ds【 】.Lzx二、完成下列各题（共5题，每题6zx设zln(1arctanx(y1), 计算 .(0,1)设zfxxy),f

2z.xy设Ω是由曲面x2z0,z1所围区域，计算 z2dV.zx2y2,z0,|x||y|1所围曲顶柱体的体积.

(xy)dx(xy)dyL x2+y2

L:x2+y2a2，逆时针方向.三、完成下列各题（共3题，每题10分，共30分）利用点到平面的距离公式，求旋转抛物面𝒛=𝒙𝟐+𝒚𝟐𝒙+𝒚−𝟐𝒛=.设a,b为实数，函数z2ax2by2在点(3,4)处的方向导数中，沿方向l3i4j的方向导10.求a,b；z2ax2by2(z0)的面积.用高斯公式计算曲面积分 x2dydz(y2z)dzdxzdxdy, 其中:z 1x2y2,取上侧.2018级土木《高等数学(A)II》期中试卷解答一、选择和填空题（共10题，每题4分，共40分） xy3.函数f(x,y)x2y2

x2y20

在O(0,0)处【C 】. 0 x2y20A.极限存在 B.连续 C.偏导数存在 D.可微设(cxaz,cybz)0,具连续偏导数，则azbz【C 】.x yA.a B.b C.c D.a+b+c由zexysinxy2确定的zz(x,y)在点(0,1)处梯度为【C .A.(2,1) B.(1,2) C.(2,0) D.(0,2)Dyx,y0,x所围成的闭区域，则D

sinxdxdy【B 】.xA.1 B.2 C.3 D.45.设f(x,y)(y)yxycos(xy),则f(0,)=【 0 】x6．已知函数𝒇(𝒙,𝒚)在点(𝟎,𝟎)连续，且𝒍𝒊𝒎𝒇(𝒙,𝒚)

=𝟏，则𝒇(𝟎,𝟎)【 B 】.𝒙→𝟎𝒚→𝟎

𝒙𝟐𝒚𝟐A.不是极值 B.是极小值 C.是极大值 D.无法判断是否为极值.7.设I (x34xy3)dx(6x1y25y4)dy与路径L无关，则【D 】.LA.0 B.1 C.2 D.3二次积分11e【 A 】.0y 1 1 1 A. (1e1) B. (1e) C. (e11) D. (e1)2 2 2 21 1 1 曲面zex1y(y1)arctanx上点(0,1,e)处的法线方程为【D 】.A.exeyz0 B. exe(y1)(ze)0x0

y1

ze

x0

y1

ze1 1 e e e 110.设L:x2y21，则 (x2y2x)ds【 2π 】.L二、完成下列各题（共5题，每题6分，共30分）1.设zln(1arctanx(y1), 计算

.zzx解zy1

ln(1ex),

z ex , zxx 1ezx(0,1)

ex1ex1ex

1.26.设zfxxy),f

2zxy.z

ffy,

2z

fxfx.yf1xfxyff.x 1 2

xy 12 22

2

22 27. 设Ωx2z0,z1所围区域，计算z2dV.（2015）解：z2dV1z2dzd1z22dz. （先面后线）0 0 3 或z2dVd

1z2dz

1d

.（先线后面）1xy 01 Dz

3 xy 3 3Dzzx2y2,z0,|x||y|1所围曲顶柱体的体积.解：由对称性V4x2y2)dxdy8x2dxdy81dx1xx2dy20 0 3D D1 123或三重积分Vdvdxdyx2y230 D

(xy)dx(xy)dyL x2+y2

L:x2+y2a2，逆时针方向.原式

(xy)dx(xy)dy1

(xy)dx(xy)dyL a2 a2 L 1 (11)d2（先化简，再用格林公式）a2D三、完成下列各题（共3题，每题10分，共30分）1.利用点到平面的距离公式，求旋转抛物面𝒛=𝒙𝟐+𝒚𝟐与平面𝒙+𝒚−𝟐𝒛=𝟐之间的最短距离.解：设𝑷(𝒙,𝒚,𝒛)为抛物面𝒛=𝒙𝟐+𝒚𝟐上任一点，则𝒅=(𝒙+𝒚−𝟐𝒛−𝟐)𝟐+𝝀(𝒛−𝒙𝟐−𝒚𝟐)

𝟏√𝟔

|𝒙+𝒚−𝟐𝒛−𝟐|，令𝐋(𝒙,𝒚,𝒛)=𝑭𝒙′=𝟐(𝒙+𝒚−𝟐𝒛−𝟐)−𝟐𝝀𝒙=𝟎𝑭𝒙𝑭𝒚′=𝟐(𝒙+𝒚−𝟐𝒛−𝟐)−𝟐𝝀𝒚=𝟎𝑭𝒚

𝑭，(𝟏𝟏𝟏)𝑭𝒛′=𝟐(𝒙+𝒚−𝟐𝒛−𝟐)(−𝟐)+𝝀=𝟎𝒛

𝟒𝟒𝟖{𝒛=𝒙𝟐+𝒚𝟐根据题意知最小值一定存在，且有唯一驻点，故𝒅=

𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟕√𝟔|𝟒+𝟒−𝟒−𝟐|=

𝟒√𝟔4.设a,b 为实数函数z2ax2by2在点(3,4)处的方向导数中沿方向l3i4j的方向导数最大，最大值为10.求a,b；z2ax2by2(z0)的面积.解：(1)在点(3,4)grad

(3,4)

(6a,8bgrad

(3,4)

10由题知3

6a,4

8b，故a1,b1. 5 10 5 10 (2)由(1)知z2x2y2(z0)，得x2y22，令D (x,y)x2y22S1z

zx

dxdy14x24y2dxdyyD D2d2

14r2rdr.0 0 33.用高斯公式计算曲面积分 x2dydz(y2z)dz