大一上学期微积分课件

第三节高阶导数引例，函数二阶导数三阶导数一般地，函数的导数仍是的函数，称的导数为函数的二阶导数记作：或即1第三节高阶导数引例，函数二阶导数三阶导数一般地，函数二阶导数的导数，叫做三阶导数，记作：或三阶导数的导数，叫做四阶导数，记作：或阶导数的导数，叫做阶导数，记作：或函数有阶导数，也说函数为阶可导。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。2二阶导数的导数，叫做三阶导数，记作：或三阶导数的导数，叫做四例1.求解3例1.求解3例2.求解特别地,4例2.求解特别地,4例3.求解5例3.求解5求例4.解即类似6求例4.解即类似6求

例5.解即7求例5.解即7法则若函数都在处阶可导,则上式称为莱布尼茨(Leibniz)公式其中,8法则若函数都在处阶可导,则上式称为莱布尼茨(Leibniz)求例5.解设则由莱布尼茨公式得,9求例5.解设则由莱布尼茨公式得,9例6.

求解.方程两边对x求导上式两边再对x求导（隐函数的高阶导数）10例6.求解.方程两边对x求导上式两边再对x求导例7.若存在,求解11例7.若存在,求解11第四节函数的微分微分的定义微分的几何意义基本初等函数的微分公式与微分法则微分在近似计算中的应用12第四节函数的微分微分的定义12一、微分的定义引例.一块正方形金属薄片受温度的影响,其边长由变到问此薄片的面积改变了多少?面积的改变量：当很小时,可以忽略不记,因此,微分13一、微分的定义引例.一块正方形金属薄片受温度的影响,其边长定义设函数在点某邻域内有定义,给改变量仍在该邻域内,若函数相应的改变量可表示为其中A是与无关的常数,是比高阶的无穷小.则称函数在点处可微,并称的线性主部为函数在点处的微分,即记作14定义设函数在点某邻域内有定义,给改变量仍在该邻域内,若函数相问题1).函数应具备什么条件,其改变量才可表示为的形式?2).式中的A

究竟等于什么?定理函数在点处可微的充分必要条件是函数在点处可导.证(必要性)设函数在点处可微,则有(A与无关),所以函数在点处可导.且且15问题1).函数应具备什么条件,其改变量才可表示为的形式?2)(充分性)设函数在点处可导,即与无关,是较高阶的无穷小.所以函数在点处可微.由定理可知,若在点处可微,则在的条件下,或且16(充分性)设函数在点处可导,即与无关,是较高阶的无穷小.所以函数在任意点处的微分,称为函数的微分,记作,或即则“微商”例1.求函数当时的微分.解由17函数在任意点处的微分,称为函数的微分,记作,或即则“微商”二、微分的几何意义xy0PQTN函数在点处的微分,是曲线在该点处的切线上点的纵坐标相应的改变量.18二、微分的几何意义xy0PQTN函数在点处的微分,是曲线在该三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则根据可得基本初等函数的微分公式：19三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则根据可得基本初等函数2020微分法则：设都可微，则复合函数的微分法则：设而所以说明：无论u是自变量，还是中间变量都具有上述微分形式，这一性质称为微分形式的不变性.21微分法则：设都可微，则复合函数的微分法则：设而所以说明：无例1.求另解解利用微分法则求函数的微分，方法有二：利用法则及微分形式的不变性利用微分定义22例1.求另解解利用微分法则求函数的微分，方法有二：利用法则及例2.求解利用微分法则另解23例2.求解利用微分法则另解23例3.求解利用微分法则另解24例3.求解利用微分法则另解24例4.求解另解利用微分形式的不变性,令再解25例4.求解另解利用微分形式的不变性,令再解25例5.求解另解26例5.求解另解26例6.求解另解27例6.求解另解27例7.解28例7.解28例8求另解.解练习:两边同时求微分（隐函数的微分）29例8求另解.解练习:两边同时求微分（隐函数的微分）29(2)(1)四、微分在近似计算中的应用由微分定义知,当时,因此,当很小时,有近似公式:即(3)在(3)式中令当很小时,(4)30(2)(1)四、微分在近似计算中的应用由微分定义知,当时,因例1.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,估计一下每只球需用铜多少克?(铜的密度是解只须求出镀层的体积.它等于两个球体体积之差.镀每只球需用的铜约为:31例1.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的例2.计算的近似值.解:设则由32例2.计算的近似值.解:设则由32类似可证,当很小时,有近似公式:用弧度作单位)用弧度作单位)33类似可证,当很小时,有近似公式:用弧度作单位)用弧度作单位)第五节边际分析与弹性分析定义一、导数的经济学意义---边际函数设函数可导，导函数称为边际函数。称为在x=x0点的边际函数值。1、边际成本：成本函数C(x)

的导函数2、边际收益：收益函数R(x)

的导函数3、边际利润：利润函数L(x)

的导函数34第五节边际分析与弹性分析定义一、导数的经济学意义---1、边际成本：成本函数C(x)

的导函数2、边际收益：收益函数R(x)

的导函数3、边际利润：利润函数L(x)

的导函数上述三类边际函数的经济学意义？当产量为x0时，产量每增加1个单位，成本增加单位.

当产量为x0时，产量每增加1个单位，收益增加单位.

当产量为x0时，产量每增加1个单位，利润增加单位.

当x=x0时，自变量x每增加1个单位，会引起因变量y近似增加单位.

351、边际成本：成本函数C(x)的导函数2、边际收益：收益1、平均成本：2、平均收益：3、平均利润：表示产量从0到为x0时的平均成本表示产量从0到为x0时的平均收益表示产量从0到为x0时的平均利润361、平均成本：2、平均收益：3、平均利润：表示产量从0到为x例1：已知某产品的销价为P(x)=200,总成本函数（1）总利润函数L(x)（2）边际利润（3）产量为1000，3000单位时的边际利润，并解释经济意义.解：（1）37例1：已知某产品的销价为P(x)=200,总成本函数定义二、函数的弹性设函数可导，则称说明：为f(x)的弹性函数。记为：2、弹性与量纲无关1、弹性的含义函数在点的相对改变量自变量在点的相对改变量当自变量在点产生1%的改变时,会引起函数产生改变.38定义二、函数的弹性设函数1、需求（价格）弹性：2、供给（价格）弹性：需求函数供给函数经济学上主要弹性有：3......391、需求（价格）弹性：2、供给（价格）弹性：需求函数供给函数解：（1）例2：已知需求函数（1）需求价格弹性函数（2）在x=2单位处的弹性，并说明其经济学意义。（2）

经济学意义：当价格在x=2单位处，价格再上涨1%时，需求量从f(2)=22单位处减少了%，负号说明改变的方向相反。40解：（1）例2：已知需求函数（1）需求价格弹性函数（2）解：（1）例3：已知需求函数（1）需求价格弹性函数;当P=4时的弹性,并说明经济学意义;（2）收益价格弹性函数，并且当P=4，6时,若价格上张1%,其总收益是增加还是减少?它将变化百分之几?(2)求收益R对价格P的弹性当价格P=4处再上涨1%时，需求量从Q(4)处减少了%.价格P=4，再上涨1%,收益增加0.36%价格P=6，再上涨1%,收益减少1.4%41解：（1）例3：已知需求函数（1）需求价格弹性函数;当P=53页9.设函数讨论函数在处连续性和可导性.解.得从而函数在处连续但不可导.4253页9.设函数讨论函数在处连续性和可导性.解.得从而函数例1.设函数当取何值时,在处连续且可导.解.由所以,当时,函数在处连续且可导.43例1.设函数当取何值时,在处连续且可导.解.由所以,当时,60页8.设求解：先计算极限61页9（3）.设解两边取对数，得两边对求导,得4460页8.设求解：先计算极限61页9（3）.设解两64页4.若解先求4564页4.若解先求4564页6.

求解.方程两边对x求导（1）式两边再对x求导4664页6.求解.方程两边对x求导（1）式两边再对x第三节高阶导数引例，函数二阶导数三阶导数一般地，函数的导数仍是的函数，称的导数为函数的二阶导数记作：或即47第三节高阶导数引例，函数二阶导数三阶导数一般地，函数二阶导数的导数，叫做三阶导数，记作：或三阶导数的导数，叫做四阶导数，记作：或阶导数的导数，叫做阶导数，记作：或函数有阶导数，也说函数为阶可导。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。48二阶导数的导数，叫做三阶导数，记作：或三阶导数的导数，叫做四例1.求解49例1.求解3例2.求解特别地,50例2.求解特别地,4例3.求解51例3.求解5求例4.解即类似52求例4.解即类似6求

例5.解即53求例5.解即7法则若函数都在处阶可导,则上式称为莱布尼茨(Leibniz)公式其中,54法则若函数都在处阶可导,则上式称为莱布尼茨(Leibniz)求例5.解设则由莱布尼茨公式得,55求例5.解设则由莱布尼茨公式得,9例6.

求解.方程两边对x求导上式两边再对x求导（隐函数的高阶导数）56例6.求解.方程两边对x求导上式两边再对x求导例7.若存在,求解57例7.若存在,求解11第四节函数的微分微分的定义微分的几何意义基本初等函数的微分公式与微分法则微分在近似计算中的应用58第四节函数的微分微分的定义12一、微分的定义引例.一块正方形金属薄片受温度的影响,其边长由变到问此薄片的面积改变了多少?面积的改变量：当很小时,可以忽略不记,因此,微分59一、微分的定义引例.一块正方形金属薄片受温度的影响,其边长定义设函数在点某邻域内有定义,给改变量仍在该邻域内,若函数相应的改变量可表示为其中A是与无关的常数,是比高阶的无穷小.则称函数在点处可微,并称的线性主部为函数在点处的微分,即记作60定义设函数在点某邻域内有定义,给改变量仍在该邻域内,若函数相问题1).函数应具备什么条件,其改变量才可表示为的形式?2).式中的A

究竟等于什么?定理函数在点处可微的充分必要条件是函数在点处可导.证(必要性)设函数在点处可微,则有(A与无关),所以函数在点处可导.且且61问题1).函数应具备什么条件,其改变量才可表示为的形式?2)(充分性)设函数在点处可导,即与无关,是较高阶的无穷小.所以函数在点处可微.由定理可知,若在点处可微,则在的条件下,或且62(充分性)设函数在点处可导,即与无关,是较高阶的无穷小.所以函数在任意点处的微分,称为函数的微分,记作,或即则“微商”例1.求函数当时的微分.解由63函数在任意点处的微分,称为函数的微分,记作,或即则“微商”二、微分的几何意义xy0PQTN函数在点处的微分,是曲线在该点处的切线上点的纵坐标相应的改变量.64二、微分的几何意义xy0PQTN函数在点处的微分,是曲线在该三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则根据可得基本初等函数的微分公式：65三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则根据可得基本初等函数6620微分法则：设都可微，则复合函数的微分法则：设而所以说明：无论u是自变量，还是中间变量都具有上述微分形式，这一性质称为微分形式的不变性.67微分法则：设都可微，则复合函数的微分法则：设而所以说明：无例1.求另解解利用微分法则求函数的微分，方法有二：利用法则及微分形式的不变性利用微分定义68例1.求另解解利用微分法则求函数的微分，方法有二：利用法则及例2.求解利用微分法则另解69例2.求解利用微分法则另解23例3.求解利用微分法则另解70例3.求解利用微分法则另解24例4.求解另解利用微分形式的不变性,令再解71例4.求解另解利用微分形式的不变性,令再解25例5.求解另解72例5.求解另解26例6.求解另解73例6.求解另解27例7.解74例7.解28例8求另解.解练习:两边同时求微分（隐函数的微分）75例8求另解.解练习:两边同时求微分（隐函数的微分）29(2)(1)四、微分在近似计算中的应用由微分定义知,当时,因此,当很小时,有近似公式:即(3)在(3)式中令当很小时,(4)76(2)(1)四、微分在近似计算中的应用由微分定义知,当时,因例1.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,估计一下每只球需用铜多少克?(铜的密度是解只须求出镀层的体积.它等于两个球体体积之差.镀每只球需用的铜约为:77例1.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的例2.计算的近似值.解:设则由78例2.计算的近似值.解:设则由32类似可证,当很小时,有近似公式:用弧度作单位)用弧度作单位)79类似可证,当很小时,有近似公式:用弧度作单位)用弧度作单位)第五节边际分析与弹性分析定义一、导数的经济学意义---边际函数设函数可导，导函数称为边际函数。称为在x=x0点的边际函数值。1、边际成本：成本函数C(x)

的导函数2、边际收益：收益函数R(x)

的导函数3、边际利润：利润函数L(x)

的导函数80第五节边际分析与弹性分析定义一、导数的经济学意义---1、边际成本：成本函数C(x)

的导函数2、边际收益：收益函数R(x)

的导函数3、边际利润：利润函数L(x)

的导函数上述三类边际函数的经济学意义？当产量为x0时，产量每增加1个单位，成本增加单位.

当产量为x0时，产量每增加1个单位，收益增加单位.

当产量为x0时，产量每增加1个单位，利润增加单位.

当x=x0时，自变量x每增加1个单位，会引起因变量y近似增加单位.

811、边际成本：成本函数C(x)的导函数2、边际收益：收益1、平均成本：2、平均收益：3、平均利润：表示产量从0到为x0时的平均成本表示产量从0到为x0时的平均收益表示产量从0到为x0时的平均利润821、平均成本：2、平均收益：3、平均利润：表示产量从0到为x例1：已知某产品的销价为P(x)=200,总成本函数（1）总利润函数L(x)（2）边际利润（3）产量为1000，3000单位时的边际利润，并解释经济意义.解：（1）83例1：已知某产品的销价为P(x)=200,总成本函数定义二、函数的弹性设函数可导，则称说明：为f(x)的弹性函数。记为：2、弹性与量纲无关1、弹性的含义函数在点的相对改变量自变量在点的相对改变量当自变量在点产生1%的改变时,会引起函数产生改变.84定义二、函数的弹性设函数1、需求（价格）弹性：2、供给（价格）弹性