华南理工大学高等数学统考试卷下期中卷答案

华南理工大学高等数学统考试卷下期中卷答案高等数学2004~2005专业班级姓名学号一(填空题(每小题3分，共15分),,,,,,,,ab1(已知向量与垂直，，则|a|,3，|b|,4(|3a,b)，(a,2b)|,,,,,,,,,,,,,,,解答:3a,b，a,2b,,6a，b,b，a,5a,b,60,,,,,,,,x,1,x，1y，2z,1,y,1，t,,2(与直线及都平行，且过原点的平面方程为:,121,z,2，t,。A，2B，C,0,解答:设平面方程为，则Ax，By，Cz,0,B，C,0,A,C,，所求平面方程为。x,y，z,0,B,,C,22,3x，2y,123(Sy,z,0,(0，3，2)处指向外侧的单位法向量为322解答:此旋转曲面方程为。在曲面上一点的法向量为，，x,y,z3x，3z，2y,12,(0，3，2),,，在法向量为，其对应单位向量为n,6x,4y,6z,,0,43,62,,10150,,且其指向外侧。(在第一象限指向上侧就是指向外侧，只需看书坐,,55,,,,10150,,标的符号)答案为。,,55,,222(1，0，,1)xyz，x，y，z,24(由方程所确定的函数z,z(x，y)在点处的dz,全微分1yzdx，xzdy，xydz，xdx，ydy，zdz,0222x，y，z1当时，我们有x,1,y,0,z,,11，，,dy，dx,dz,02dz,dx,2dy,,66cosx5(积分的值等于dydx,,x0yy,解答:改变积分顺序，6ππππx6666x,1cosxcosxdydx,dxdy,cosxdx,,,,,,62xx0000y二(选择题(每小题3分，共15分)23(0，0)f(x,y),xy1(函数在点处(B)(A)不连续;,,(B)连续，但偏导数和不存在;f(0，0)f(0，0)yx,,(C)f(0，0)f(0，0)yx(D)可微。,,f(0，0)2(设f(0，0)=1，=2，则(D)yx(0，0)(A)在点处连续;f(x，y)(B)df(x，y)|,dx，2dy;(0，0)f,l|,cos,，2cos,(C)，其中为的方向余弦;cos,，cos,(0，0)l,(0，0),1(D)在点处沿x轴负方向的方向导数为。f(x，y)2Dxy，f(x,y)dxdy3(f(x,y)f(x,y)y,0,y,x,x,1,,Df(x,y)=(C)1xy，xy(A);(B)2xy;(C);(D)xy，18x,y)f(x,y)4(若函数在点(的某邻域内有连续二阶偏导数，且满足0022f(x,y)f(x,y),[f(x,y)],0xxyyxy000000则点(是(D)x,y)00(A)必不是的极值点;(B)必是的极值点;f(x,y)f(x,y)(C)必是的极小值点;(D)可能不是的极值点。f(x,y)f(x,y)22222z,(3x，y)，x，y，z,15(设空间区域,:，则2(B)zdV,,,,,,,2121,,362424d,sin,cos,d,rdr;d,sin,cos,d,rdr;(A);(B);,,,,,,000000,,2121,,3632d,sin,cos,d,rdr;d,sin,cos,d,rdr;(C);(D)。,,,,,,000000x，y,0,,l:三((10分)求通过直线的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行,x,y，z,2,0,于直线x,y,z。(利用平面束)解答:设所求平面方程，即，，x,y，z,2，λ,x，y,0，，，，1，λx，λ,1y，z,2,0x,y,z1)若与直线平行，则11，，,1，1,0,,,,,,213x,y，z,2,0此平面方程为:222)因为另一平面与已求出平面垂直，所以13，，，，1，,,,,1，1,0,,,322另一平面方程为:4x，2y，z,2,022x,z四。(10分)设z,2y,f(,3y)f，又有连续的二阶偏导数，求。2,yy32222,,,,,,,,,,,zxxxx,,,,,,,,,,,,解答:,2,3，23,，3,3f,yyf,yf,y122,,,,,,,,,,,yyyyy,,,,,,,,,,222222,,,,,,,,,,,,,2zxxxxx,,,,,,,,,,,,,,,,4,3,，3,3，2,3f,yf,yyf,y121223,,,,,,,,,,,,yyy,yyy,,,,,,,,,,,,2422,,,,,,,,,,xxxx,,,,,,,,,,,,,,，2,3，3,3,,yf,yf,y111242,,,,,,,,,,yyyy,,,,,,,,,,222,,,,,,,,xxx,,,,,,,,,,,,，2y,f,3y,3,,，f,3y,921222,,,,,,,,yyy,,,,,,,,u,f(x，z)z,z(x，y)z,x，y,(z)五((10分)设，而是由方程所确定的隐函,fdu数，其中有连续偏导数，而有连续导数，求。解答:利用全微分的不变性,,,，，，，dufdxfdz,dzdx,zdyy,zdz,，,，，12,1z，，,，dzdxdy,,，，，，,,1,1,yzyz,,,,,ffz，，22,,,,，，dufdxdy1,,,,，，，，,,1,1,yzyz,,1xyyedxdyy,六((10Dx,1,x,2,y,2,,xD解答:方法一:2222y1，，xyxyxyxy,,,yedxdydxyedyeedx12,,,,,,,111xx，，xDx22x2，，21e1,,2242xxeedxee,,,,,,,,,,21xx2x,,，，1方法二:2212xyxyxyyedxdy,dyyedx，dyyedx11,,,,,,112yD21yyy22，，，，,e,edy，e,edy1,,12421224yy，，，，eee2yeeye,,，,,,,,,,2221，，，，12222,,({x,y,z)|x，y，z,1,0,y,ax,a,0}七((10的体积。y22D1,x,y22dv,dxdydz,21,x,ydxdy22,,,,,,,,1,,x,yxΩDD13arctana122，，222211,dθr,rdr,arctana,，，,r,arctana,,,,0033，，0方法二:利用球面坐标13arctanaπ1，，2rπ2dv,dθdrsindr,arctana,,,cosθ,arctana,,0,,,,,,,,00033，，Ω0说明:用华工版教材的同学做八题，不做九题，用同济五版教材的同学做九题，不做八题。八。(10fx,ufvdudv，1，，fx,,DD，，y,fx0,v,x,0,u,vxv，，，，fx,dvufvdu，1解答:,,002xv，，，，fx,fvdv，1,02两边关于求导得x2x,，，，，fx,fx23x6，，fx,Cex,0C,1，，因为时，f0,1，3x6，，fx,e2222,,L，，x，ydx，yxy，lnx，x，ydy((10园,L51221并取逆时针方向。，，x,，y,42222,,，，，，，，Px,y,x，y,Qx,y,yxy，lnx，x，y,Py,,22,yx，y，，,,,Q1xy2,,,,,yy，1，,y，222222,,,x,,x，x，yx，yx，y,,，，,,,,QP2222,,，，,,，，，,,，xydxyxyln，xxydydxdy,,,,,,,xy,,LD331322,x,1，，21,,222242，，ydxdy2dxydyx1dx,,,,,,,11,,,,,034,,12222，，x,1，y,4,211π42x,1，sinθ(这里令),cosθdθ,,,,23166421P(2,1,)十。(103体积最小之平面。解答:1)设平面的截距分别为:，则平面方程为a,b,cxyz，，,1abc根据已知不难得到:a,0,b,0,c,01abc此平面与坐标面围成四面体的体积为:62111abc，，,12)我们仅需计算满足条件的最小值，可用拉格朗日