2021～2022学年新教材高中数学第一章直线与圆测评训练【含答案】

第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020北京大兴高二期中)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案D解析设圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=m(m>0),∵圆过原点,∴(0-1)2+(0-1)2=m(m>0),解得m=2,所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.故选D.2.已知直线l过点(2,-1),且在y轴上的截距为3,则直线l的方程为()A.2x+y+3=0 B.2x+y-3=0C.x-2y-4=0D.x-D2y+6=0答案B解析由题意直线过(2,-1),(0,3),故直线的斜率k=3+10-故直线的方程为y=-2x+3,即2x+y-3=0.3.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是()A.x+y+1=0B.xB+y-1=0C.x-y+1=0D.x-y-D1=0答案C解析圆x2+2x+y2=0的圆心C为(-1,0),而待求直线与x+y=0垂直,所以待求直线的斜率为1,设待求直线的方程为y=x+b,将点C的坐标代入可得b=1,待求直线的方程为x-y+1=0.故选C.4.(2020福建莆田一中高二月考)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=0答案A解析设所求直线方程为2x+y+b=0,所以|b|5=5,所以b=±5,所以所求直线方程为2x+y+5=0或2x+y-55.已知直线l1:xcos2α+3y+2=0,若l1⊥l2,则l2倾斜角的取值范围是()A.π3,π2 B.0,πC.π3,π2 D.π答案C解析设直线l2的斜率是k,倾斜角是β.l1:xcos2α+3y+2=0的斜率k1=-cos2α3∈-3由于l1⊥l2,当cosα=0时,即k1=0时,k不存在,此时β=π2当cosα≠0时,即k1≠0时,k=-1k此时β的取值范围为π3,π综上可得,l2倾斜角的取值范围是π3,π故选C.6.若直线ax+by+2=0(a>0,b>0)截得圆(x+2)2+(y+1)2=1的弦长为2,则1a+2bA.4 B.6 C.8 D.10答案A解析由题意,圆心坐标为(-2,-1),半径为1,所以圆心到直线的距离为d=|-2所以弦长2=21-(|-2a-b+2|a2所以1a+2b=1a+2b·12(2a+b)=122+2+ba+4a当且仅当ba=4ab,即a=13,所以1a+27.过原点O作直线l:(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0的垂线,垂足为点P,则点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为()A.2+1 B.2+2C.22+1 D.22+2答案A解析(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0整理,得(2x+y-2)m+(x-y+2)n=0,由题意得2x+y-2=0,x-因为OP⊥l,所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆去掉点(0,0)后的图形,圆心为(0,1),半径为1.因为圆心(0,1)到直线x-y+3=0的距离为d=22所以点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为2+1,此时点P不是点(0,0).故选A.8.在一个平面上,机器人在以点C(3,-3)为圆心,以8为半径的圆上运动,它在运动的过程中到经过点A(-10,0)与B(0,10)的直线的最短距离为()A.82-8 B.82+8 C.82 D.122答案A解析由题意知机器人运动的轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,直线AB的方程为x-10+y10=1,则圆心C到直线AB的距离为d=|3+3+10|1+1=82>8,即直线与圆相离,故机器人与直线AB的最短距离为82二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2020江苏如皋中学高二期中)下列说法正确的是()A.若两条直线互相平行,那么它们的斜率相等B.方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)能表示平面内的任何直线C.圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(1,-2),半径为5D.若直线(2t-3)x+2y+t=0不经过第二象限,则t的取值范围是0,32答案BD解析对于A,若两条直线均平行于y轴,则两条直线斜率都不存在,A错误;对于B,若直线不平行于坐标轴,则原方程可化为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1,综上所述,方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)能表示平面内的任何直线,B正确;对于C,圆的方程可整理为(x+1)2+(y-2)2=5,则圆心为(-1,2),C错误;对于D,若直线不经过第二象限,则-2t-32≥0,-t2≤0,10.(2020山东枣庄高二月考)已知P,Q分别为圆M:(x-6)2+(y-3)2=4与圆N:(x+4)2+(y-2)2=1上的动点,A为x轴上的动点,则|AP|+|AQ|的值可能是()A.7 B.8 C.9 D.10答案CD解析圆N:(x+4)2+(y-2)2=1关于x轴对称的圆为圆N':(x+4)2+(y+2)2=1,即N'(-4,-2),又M(6,3),则|AP|+|AQ|的最小值为|MN'|-1-2=102+52-3=55-3,又55-3∈11.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4 B.6 C.32+1 D.8答案ABC解析直线y=kx-1恒过定点A(0,-1),当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),所以为(-3-0)当直线与圆有交点时,点P到直线的距离最小为0,所以点P到直线y=kx-1距离的取值范围为[0,6],故选ABC.12.已知A(1,0),B(4,0),圆C:x2+y2=4,则以下选项正确的有()A.圆C上到点B的距离为2的点有两个B.圆C上任意一点P都满足|PB|=2|PA|C.若过点A的直线被圆C所截得的弦为MN,则|MN|的最小值为23D.若点D满足过D作圆C的两条切线互相垂直,则|BD|的最小值为4-22答案BCD解析对于A,以点B为圆心,半径为2的圆与圆C:x2+y2=4外切,即圆C上到点B的距离为2的点只有一个,对于B,设P(a,b),满足a2+b2=4,|PA|=b2|PB|=b2+(a-4)2=b2对于C,过点A的直线被圆C所截得的弦为MN,则OA⊥MN时,|MN|最小,|MN|min=2OM2-OA2=222-对于D,设过点D的两条直线与圆C的切点分别为E,F,则OE⊥DE,OF⊥DF,且DE⊥DF,|OE|=|OF|=2,则四边形OEDF为正方形,即|OD|=22,设点D(x,y),则有x2+y2=8,即点D的轨迹为圆心为原点,半径为22的圆,由此当点D在x轴的正半轴时,|BD|最小,为4-22,则D正确.故选BCD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.经过点P(1,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是.

答案y=4x或x-y+3=0解析根据题意,分2种情况讨论:当直线经过原点时,则直线l的方程为y=4x;当直线不经过原点时,设直线方程为x-y=a,把点P(1,4)代入,可得1-4=a,解得a=-3,即直线的方程为x-y+3=0.综合可得,直线的方程为y=4x或x-y+3=0.14.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),且A,B,C三点共线,当k<0时,若k为直线的斜率,则过点(2,-1)的直线方程为.

答案2x+y-3=0解析由题意可得AB=(4-k,-7),BC=(6,k-5),由于AB和BC故有(4-k)(k-5)+42=0,解得k=11或k=-2.∵k<0,∴k=-2,∴过点(2,-1)的直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.15.(2020天津,12)已知直线x-3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为.

答案5解析因为圆心(0,0)到直线x-3y+8=0的距离d=81+3=由|AB|=2r2-d2可得6=2r216.已知圆O:x2+y2=1,过点P向圆O引两条切线PA,PB,切点为A,B,若点P的坐标为(2,1),则直线AB的方程为;若点P为直线x+2y-4=0上一动点,则直线AB经过定点.

答案2x+y-1=014,解析由题意,圆O:x2+y2=1的圆心坐标为O(0,0),则以O(0,0)和P(2,1)为直径的圆的圆心为1,12,半径为r=12OP可得以OP为直径的圆的方程为(x-1)2+y-122=54,即x2+y2-2x-y=0,两圆的方程相减可得2x+y-1=0,即直线AB的方程为2x+y-1=0.因为点P为直线x+2y-4=0上一动点,设P(4-2m,m),因为PA,PB是圆O的切线,所以OA⊥PA,OB⊥PB.所以AB是圆O与以PO为直径的两圆的公共弦,可得以PO为直径的圆的方程为[x-(2-m)]2+y-m22=(2-m)2+m24又由圆O的方程为x2+y2=1,两圆的方程相减,则AB的方程为2(2-m)x+my=1,即m(-2x+y)+4x-1=0,可得14,12满足上式,即AB过定点14四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)求满足下列条件的直线的方程.(1)直线过点(-1,2),且与直线x+y-2=0平行;(2)直线过(0,1)点,且与直线3x+y+1=0垂直.解(1)设所求直线的方程为x+y+m=0,∵点(-1,2)在直线上,∴-1+2+m=0,∴m=-1,故所求直线的方程为x+y-1=0.(2)∵所求直线与直线3x+y+1=0垂直,∴设所求直线的方程为x-3y+m=0.∵点(0,1)在直线x-3y+m=0上,∴0-3+m=0,解得m=3.故所求直线的方程为x-3y+3=0.18.(12分)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(0,-5),C(10,0),线段AC的垂直平分线为l.(1)求直线l的方程;(2)点P在直线l上运动,当|AP|+|BP|最小时,求点P的坐标.解(1)直线AC的斜率为kAC=4-02-10=-12,因为直线AC的中点为(6,2),所以直线l的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得点A关于直线l的对称点为点C,所以直线BC与直线l的交点P即为使|AP|+|BP|的值最小的点.由B(0,-5),C(10,0)得直线BC的方程为x10+y-5=1,即x-联立方程x-2所以点P的坐标为103,-103.19.(12分)已知直线l:ax-y-3a+1=0恒过定点P,过点P引圆C:(x-1)2+y2=4的两条切线,设切点分别为A,B.(1)求直线AB的一般式方程;(2)求四边形PACB的外接圆的标准方程.解(1)∵直线l:y-1=a(x-3),∴直线l恒过定点P(3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A(3,0).由圆的性质可知AB⊥PC,∵kPC=1-∴kAB=-2,所以直线AB的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0.(2)由题意知|PC|=(3∵PA⊥AC,PB⊥BC,所以四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆,PC的中点坐标为2,12,所以四边形PACB的外接圆为(x-2)2+y-122=54.20.(12分)已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x+m=0.(1)若圆C1与圆C2外切,求实数m的值;(2)在(1)的条件下,若直线l被圆C2截得的弦长为23,且过点(2,1),求直线l的方程.解(1)圆C1:x2+y2=1,则C1(0,0),其半径r1=1,由圆C2:x2+y2-6x+m=0,得(x-3)2+y2=9-m,由题意9-m>0,即m<9,C2(3,0),其半径r2=9-∵圆C1与圆C2外切,∴|C1C2|=r1+r2.∴3=1+9-m,解得∵m=5<9,∴m=5.(2)由(1)得m=5,圆C2的方程为(x-3)2+y2=4,则C2(3,0),r2=2,由题意可得圆心C2到直线l的距离d=1,当直线l无斜率时,直线方程为x=2,符合题意;当直线l的斜率为k时,则直线方程为y-1=k(x-2),化为一般形式为kx-y-2k+1=0,则圆心(3,0)到直线l的距离d=|3k-2k+1|k2综上,直线l方程为x=2或y=1.21.(12分)(2020湖北襄阳高二月考)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与新桥BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=43(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?解(1)如图,以OC,OA为x轴,y轴建立直角坐标系,则C(170,0),A(0,60),由题意kBC=-43,直线BC方程为y=-43(x-又kAB=-1kBC=34,故直线AB由y=-43(所以|BC|=(80-170(2)设OM=t,即M(0,t)(0≤t≤60),由(1)直线BC的一般方程为4x+3y-680=0,圆M的半径为r=|3t-由于0≤t≤60,因此r=|3t-680|5=680-3t5=136所以当OM为10m时,r取得最大值130m,此时圆形保护区的面积最大.22.(12分)(2020浙江杭州高一期末)如图,已知圆O:x2+y2=1,点P(t,4)为直线y=4上一点,过点P作圆O的切线,切点分别为M,N