天津大学概率论与数理统计ch课件

第二章随机变量随机变量与分布函数离散型随机变量连续型随机变量一维随机变量函数的分布第二章随机变量随机变量与分布函数一、随机变量

随机变量的特点:(1)随机变量的全部可能取值是互斥且完备的。(2)随机变量的部分可能取值描述随机事件。一、随机变量随机变量的特点:(1)随机变量的全部可能取值是互14随机变量的分类：随机变量14随机变量的分类：?请举几个实际中随机变量的例子?请举几个实际中随机变量的例子二、随机变量的分布函数1、分布函数的概念二、随机变量的分布函数1、分布函数的概念2、分布函数的性质反之，具有上述三个性质的任意实函数，必定是某个随机变量的分布函数。故该三条性质是分布函数的充分必要性质。2、分布函数的性质反之，具有上述三个性质的任意实函数，必定是X落入开区间或闭区间或左闭右开的概率求法X落入开区间或闭区间或左闭右开的概率求法天津大学概率论与数理统计ch课件

X-102P0.10.60.3X-102P0.10.60.3如何利用F(x)求出X取任一指定值a的概率P{X=a}呢如何利用F(x)求出X取任一指定值a的概率P{X=a}呢天津大学概率论与数理统计ch课件天津大学概率论与数理统计ch课件2022/12/3124设随机变量X的分布函数：计算例2解例12022/12/2824设随机变量X的分布函数：计算例2解2022/12/31252022/12/2825天津大学概率论与数理统计ch课件§2.2离散型随机变量及其概率分布定义

若随机变量X

的可能取值是有限个或可列个,则称X

为离散型随机变量描述X的概率特性常用概率分布或分布律XP或离散随机变量及分布律即§2.2§2.2离散型随机变量及其概率分布定义分布律的性质

非负性

归一性X~或分布律的性质非负性归一性X~或

F(x)是分段阶梯函数,在X

的可能取值xk处发生间断,间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度

pk.离散随机变量及分布函数其中.

F(x)是分段阶梯函数,在X的可解例1设汽车在开往甲地途中需经过4盏信号灯,每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过.出发地甲地首次停下时已通过的信号灯盏数,求X

的概率分布与p=0.4时的分布函数.令

X

表示例1

解例1设汽车在开往甲地途中需经出发地Ch2-31(1)

0–1分布是否超标等等.

常见离散r.v.的分布凡试验只有两个结果,常用0–1分布描述,如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗X=xk

01Pk

1–pp0<p<

1应用场合或Ch2-31(1)0–1分布是否超标等等.(2)二项分布n

重Bernoulli试验中,X是事件A

在n次试验中发生的次数,P(A)=p,若则称X服从参数为n,p

的二项分布，记作0–1分布是n=1的二项分布(2)二项分布n重Bernoulli试验中,X是事Ch2-33例2:

某股票市场投资者有一份现值为25的股票，若股票的每次变化以概率0.55升1,以概率0.45降1.每次变化是独立的,试求5天后她赔了的概率.Ch2-33例2:某股票市场投资者有一份现值为25的股票，34例3.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.解:(1)由题意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律为:34例3.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗Ch2-35例3:

某股票市场投资者有一份现值为25的股票，如果股票降到10或升到40，她决定抛出，若股票的每次变化以概率0.55升1,以概率0.45降1.每次变化是独立的,试求她赔了的概率.Ch2-35例3:某股票市场投资者有一份现值为25的股票，三、某射手对靶射击，单发命中概率都为0.6，现他扔一个均匀的骰子，扔出几点就对靶独立射击几发，求他恰好命中两发的概率。三、某射手对靶射击，单发命中概率都为0.6，现他扔一个均匀的(3)Poisson分布若其中是常数，则称

X服从参数为的Poisson分布.或记作(3)Poisson分布若其中是常数，则称X服从参数在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.①②③④⑤一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；⑥⑦⑧应用场合放射性物质发出的粒子数；在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市39例5.设电话总机在某段时间内接收到的呼唤次数服从参数为3的泊松分布。求：（1）恰好接收到5次呼唤的概率；（2）

接收到不超过5次呼唤的概率。

解:设X表示电话总机接收到的呼唤次数，则39例5.设电话总机在某段时间内接收到的呼唤次数服从参数为3都可以看作是源源不断出现的随机质点流,若它们满足一定的条件,则称为Poisson流,在长为

t

的时间内出现的质点数Xt~P(t)都可以看作是源源不断出现的随机例6设一只昆虫所生虫卵数为随机变量

X,例6设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互独立的.已知X~P()，且每个虫卵发育成幼虫的概率为p.求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数Y

的概率分布.例6设一只昆虫所生虫卵数为随机变例6设解昆虫X

个虫卵Y个幼虫已知由全概率公式解昆虫X个虫卵Y个幼虫已知由全概率公式故故Ch2-44都可以看作是源源不断出现的随机质点流,若它们满足一定的条件,则称为

Poisson流,在长为

t

的时间内出现的质点数Xt~P(t)Ch2-44都可以看作是源源不断出现的随机Ch2-45(4):几何分布

例3:假设你每期买一张彩票，并设中奖的概率为p,求你第一次中奖所需买的期数的分布律.(设每次是否中奖是相互独立的).Ch2-45(4):几何分布

例3:假设你每期买一张彩票，并Ch2-46每周一题5(1)自动生产线调整以后出现废品的概率为p,当生产过程中出现废品时立即重新进行调整,求在两次调整之间的合格产品数的分布.

问题Ch2-46每周一题5(1)自动生产线调整以后Ch2-47进行独立重复试验，每次成功的概率为p，令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X的分布律。

(5)帕斯卡分布Ch2-47进行独立重复试验，每次成功的概率为p，令X表示直例3一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r

次才能被摧毁.若每次击中目标的概率为p(0<p<1),且各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需轰击次数X的概率分布.解P(X=k)=P(前k–1次击中r–1次，第k

次击中目标)例3帕斯卡分布例3一门大炮对目标进行轰击,假定此目标解P(X=k)Ch2-49有N件产品，其中M件次品,N-M件正品,现从中任取n件,令X表示次品件数,求X的分布律.

(6)超几何分布Ch2-49有N件产品，其中M件次品,N-M件正品,现从中任二项分布的取值情况设.039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273•由图表可见,当时，分布取得最大值此时的称为最可能成功次数xP•0•1•2•3•4•5•6•7•8二项分布的取值情况设.039.156.273.2Ch2-51Ch2-51设.01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20••xP•••••1•3•5•7•9••••0•2•4•6•8•10•20由图表可见,当时，分布取得最大值0.22•设.01.06.14.21.22.18天津大学概率论与数理统计ch课件二项分布中最可能出现次数的定义与推导则称为最可能出现的次数二项分布中最可能出现次数的定义与推导则称为最可能出现的

当(n+1)p=整数时,在k=(n+1)p与(n+1)p–1处的概率取得最大值对固定的n、p,P(X=k)的取值呈不对称分布固定p,随着

n

的增大，其取值的分布趋于对称

当(n+1)p

整数时,在k=[(n+1)p]处的概率取得最大值当(n+1)p=整数时,在k=(例4独立射击5000次,命中率为0.001,例4解

(1)k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=5求(1)最可能命中次数及相应的概率；(2)命中次数不少于1次的概率.例4独立射击5000次,命中率为0.001,例4解(2)令X表示命中次数,则X~B(5000,0.001)

小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件.本例启示(2)令X表示命中次数,则X~B(5000,0.Ch2-58由此可见日常生活中“提高警惕,防火由于时间无限,自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的同样,人生中发生车祸、失恋、患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常现象,大可不必怨天尤人,更不要想不开而防盗”的重要性.事，不用奇怪，不用惊慌.跳楼自杀.启示Ch2-58由此可见日常生活中“提高警惕,防火由于时间无限,则对固定的

k设Possion定理Poisson定理说明若X~B(n,p),则当n

较大，p

较小,而适中,则可以用近似公式问题如何计算？

,则对固定的k设Possion定理Poisson定理说明证

记证记类似地,从装有

a

个白球，b

个红球的袋中不放回地任取n个球,其中恰有k

个白球的概率为当时，对每个n有结论超几何分布的极限分布是二项分布二项分布的极限分布是Poisson分布类似地,从装有a个白球，b个红球的袋中当时，对每个Ch2-62例：已知一本500页的书上有100个错别字，假设每个错别字等可能地分布在每一页，求指定的一页至少有两个错误的概率.Ch2-62例：已知一本500页的书上有100个错别字，假设例5

某厂产品不合格率为0.03,现将产品装箱,若要以不小于90%的概率保证每箱中至少有100个合格品,则每箱至少应装解

设每箱至少应装100+n个,每箱的不合格品个数为X,则X~B(100+n,0.03)由题意

3(100+n)0.03=3+0.03n取=3多少个产品？例5例5某厂产品不合格率为0.03,现将产品装箱,若要查Poisson分布表,=3得n+1=6,n=5故每箱至少应装105个产品,才能符合要求.应用Poisson定理查Poisson分布表,=3得n+1=6,在实际计算中,当n

20,p0.05时,可用上述公式近似计算;而当n

100,np10时,精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015

按二项分布

按Possion公式

kn=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=1在实际计算中,当n20,p0.05时,可用上在Poisson定理中，由此产生了一种离散型随机变量的概率分布—Poisson分布在Poisson定理中，由此产生了一种离散型随机变量的概率Ch2-675(2)已知运载火箭在飞行中进入其仪器舱的宇宙粒子数服从参数为2的泊松分布.而进入仪器舱的粒子随机落到仪器重要部位的概率为0.1,求落到仪器重要部位的粒子数的概率分布.第五周问题Ch2-675(2)已知运载火箭在飞行中进入其仪器舱的宇宙粒解(1)设需要配备N

个维修工人,设X

为90台设备中发生故障的台数，则X~B(90,0.01)自学（详解见教材P.61例6)设同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设备发生故障的概率都是0.01.在通常情况下，一台设备发生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台设备.问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?(2)问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？附例附例解(1)设需要配备N个维修工人,设X为90令则查附表2得N=4令则查附表2得N=4三个人共同负责90台设备发生故障不能及时维修的概率为三个人共同负责90台设备发生故障不能设30台设备中发生故障的台数为

Y~B(30,0.01)设每个人独立负责30台设备，第i个人负责的30台设备发生故障不能及时维修为事件Ai

则三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时维修为事件故

三个人共同负责90台设备比各自负责好！设30台设备中发生故障的台数为Y~B(30,0.0第二章随机变量随机变量与分布函数离散型随机变量连续型随机变量一维随机变量函数的分布第二章随机变量随机变量与分布函数一、随机变量

随机变量的特点:(1)随机变量的全部可能取值是互斥且完备的。(2)随机变量的部分可能取值描述随机事件。一、随机变量随机变量的特点:(1)随机变量的全部可能取值是互74随机变量的分类：随机变量14随机变量的分类：?请举几个实际中随机变量的例子?请举几个实际中随机变量的例子二、随机变量的分布函数1、分布函数的概念二、随机变量的分布函数1、分布函数的概念2、分布函数的性质反之，具有上述三个性质的任意实函数，必定是某个随机变量的分布函数。故该三条性质是分布函数的充分必要性质。2、分布函数的性质反之，具有上述三个性质的任意实函数，必定是X落入开区间或闭区间或左闭右开的概率求法X落入开区间或闭区间或左闭右开的概率求法天津大学概率论与数理统计ch课件

X-102P0.10.60.3X-102P0.10.60.3如何利用F(x)求出X取任一指定值a的概率P{X=a}呢如何利用F(x)求出X取任一指定值a的概率P{X=a}呢天津大学概率论与数理统计ch课件天津大学概率论与数理统计ch课件2022/12/3184设随机变量X的分布函数：计算例2解例12022/12/2824设随机变量X的分布函数：计算例2解2022/12/31852022/12/2825天津大学概率论与数理统计ch课件§2.2离散型随机变量及其概率分布定义

若随机变量X

的可能取值是有限个或可列个,则称X

为离散型随机变量描述X的概率特性常用概率分布或分布律XP或离散随机变量及分布律即§2.2§2.2离散型随机变量及其概率分布定义分布律的性质

非负性

归一性X~或分布律的性质非负性归一性X~或

F(x)是分段阶梯函数,在X

的可能取值xk处发生间断,间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度

pk.离散随机变量及分布函数其中.

F(x)是分段阶梯函数,在X的可解例1设汽车在开往甲地途中需经过4盏信号灯,每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过.出发地甲地首次停下时已通过的信号灯盏数,求X

的概率分布与p=0.4时的分布函数.令

X

表示例1

解例1设汽车在开往甲地途中需经出发地Ch2-91(1)

0–1分布是否超标等等.

常见离散r.v.的分布凡试验只有两个结果,常用0–1分布描述,如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗X=xk

01Pk

1–pp0<p<

1应用场合或Ch2-31(1)0–1分布是否超标等等.(2)二项分布n

重Bernoulli试验中,X是事件A

在n次试验中发生的次数,P(A)=p,若则称X服从参数为n,p

的二项分布，记作0–1分布是n=1的二项分布(2)二项分布n重Bernoulli试验中,X是事Ch2-93例2:

某股票市场投资者有一份现值为25的股票，若股票的每次变化以概率0.55升1,以概率0.45降1.每次变化是独立的,试求5天后她赔了的概率.Ch2-33例2:某股票市场投资者有一份现值为25的股票，94例3.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.解:(1)由题意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律为:34例3.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗Ch2-95例3:

某股票市场投资者有一份现值为25的股票，如果股票降到10或升到40，她决定抛出，若股票的每次变化以概率0.55升1,以概率0.45降1.每次变化是独立的,试求她赔了的概率.Ch2-35例3:某股票市场投资者有一份现值为25的股票，三、某射手对靶射击，单发命中概率都为0.6，现他扔一个均匀的骰子，扔出几点就对靶独立射击几发，求他恰好命中两发的概率。三、某射手对靶射击，单发命中概率都为0.6，现他扔一个均匀的(3)Poisson分布若其中是常数，则称

X服从参数为的Poisson分布.或记作(3)Poisson分布若其中是常数，则称X服从参数在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.①②③④⑤一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；⑥⑦⑧应用场合放射性物质发出的粒子数；在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市99例5.设电话总机在某段时间内接收到的呼唤次数服从参数为3的泊松分布。求：（1）恰好接收到5次呼唤的概率；（2）

接收到不超过5次呼唤的概率。

解:设X表示电话总机接收到的呼唤次数，则39例5.设电话总机在某段时间内接收到的呼唤次数服从参数为3都可以看作是源源不断出现的随机质点流,若它们满足一定的条件,则称为Poisson流,在长为

t

的时间内出现的质点数Xt~P(t)都可以看作是源源不断出现的随机例6设一只昆虫所生虫卵数为随机变量

X,例6设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互独立的.已知X~P()，且每个虫卵发育成幼虫的概率为p.求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数Y

的概率分布.例6设一只昆虫所生虫卵数为随机变例6设解昆虫X

个虫卵Y个幼虫已知由全概率公式解昆虫X个虫卵Y个幼虫已知由全概率公式故故Ch2-104都可以看作是源源不断出现的随机质点流,若它们满足一定的条件,则称为

Poisson流,在长为

t

的时间内出现的质点数Xt~P(t)Ch2-44都可以看作是源源不断出现的随机Ch2-105(4):几何分布

例3:假设你每期买一张彩票，并设中奖的概率为p,求你第一次中奖所需买的期数的分布律.(设每次是否中奖是相互独立的).Ch2-45(4):几何分布

例3:假设你每期买一张彩票，并Ch2-106每周一题5(1)自动生产线调整以后出现废品的概率为p,当生产过程中出现废品时立即重新进行调整,求在两次调整之间的合格产品数的分布.

问题Ch2-46每周一题5(1)自动生产线调整以后Ch2-107进行独立重复试验，每次成功的概率为p，令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X的分布律。

(5)帕斯卡分布Ch2-47进行独立重复试验，每次成功的概率为p，令X表示直例3一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r

次才能被摧毁.若每次击中目标的概率为p(0<p<1),且各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需轰击次数X的概率分布.解P(X=k)=P(前k–1次击中r–1次，第k

次击中目标)例3帕斯卡分布例3一门大炮对目标进行轰击,假定此目标解P(X=k)Ch2-109有N件产品，其中M件次品,N-M件正品,现从中任取n件,令X表示次品件数,求X的分布律.

(6)超几何分布Ch2-49有N件产品，其中M件次品,N-M件正品,现从中任二项分布的取值情况设.039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273•由图表可见,当时，分布取得最大值此时的称为最可能成功次数xP•0•1•2•3•4•5•6•7•8二项分布的取值情况设.039.156.273.2Ch2-111Ch2-51设.01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20••xP•••••1•3•5•7•9••••0•2•4•6•8•10•20由图表可见,当时，分布取得最大值0.22•设.01.06.14.21.22.18天津大学概率论与数理统计ch课件二项分布中最可能出现次数的定义与推导则称为最可能出现的次数二项分布中最可能出现次数的定义与推导则称为最可能出现的

当(n+1)p=整数时,在k=(n+1)p与(n+1)p–1处的概率取得最大值对固定的n、p,P(X=k)的取值呈不对称分布固定p,随着

n

的增大，其取值的分布趋于对称

当(n+1)p

整数时,在k=[(n+1)p]处的概率取得最大值当(n+1)p=整数时,在k=(例4独立射击5000次,命中率为0.001,例4解

(1)k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=5求(1)最可能命中次数及相应的概率；(2)命中次数不少于1次的概率.例4独立射击5000次,命中率为0.001,例4解(2)令X表示命中次数,则X~B(5000,0.001)

小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件.本例启示(2)令X表示命中次数,则X~B(5000,0.Ch2-118由此可见日常生活中“提高警惕,防火由于时间无限,自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的同样,人生中发生车祸、失恋、患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常现象,大可不必怨天尤人,更不要想不开而防盗”的重要性.事，不用奇怪，不用惊慌.跳楼自杀.启示Ch2-58由此可见日常生活中“提高警惕,防火由于时间无限,则对固定的

k设Possion定理Poisson定理说明若X~B(n,p),则当n

较大，p

较小,而适中,则可以用近似公式问题如何计算？

,则对固定的k设Possion定理Poisson定理说明证

记证记类似地,从装有

a

个白球，b

个红球的袋中不放回地任取n个球,其中恰有k

个白球的概率为当时，对每个n有结论超几何分布的极限分布是二项分布二项分布的极限分布是Poisson分布类似地,从装有a个白球，b个红球的袋中当时，对每个Ch2-122例：已知一本500页的书上有100个错别字，假设每个错别字等可能地分布在每一页，求指定的一页至少有两个错误的概率.Ch2-62例：已知一本500页的书上有100个错别字，假设例5

某厂产品不合格率为0.03,现将产品装箱,若要以不小于90%的概率保证每箱中至少有100个合格品,则每箱至少应装解

设每箱至少应装100+n个,每箱的不合格品个数为X,则X~B(100+n,0.03)由题意

3(100+n)0.03=3+0.03n取=3多少个产品？例5例5某厂产品不合格率为0.03,现将产品装箱,若要查Poisson分布表,=3得n+1=6,n=5故每箱至少应装105个产品,