岩体力学计算题

计算题四、岩石的强度特征抗拉强度。解：由公式σ=2P/πa2=2×P×103/×52×10-4=(MPa)t t tσ=×=t1σ=×=t2σ=×=t3则所求抗拉强度：σ==++/3=。t在野外用点荷载测定岩石抗拉强度，得到一组数据如下：m)【tN)P(k（试计算其抗拉强度。(K=Dσ=KI=KP/D2代入上t t s t述数据依次得：σ、、、t%求平均值有σ=。t解：PfσPfστασФτФ如上图所示：根据平衡条件有：Σx=0τ-Psinα/A-Pfcosα/A=0τ=P(sinα-fcosα)/AΣy=0σ-Pcosα-Pfsinα=0σ=P(cosα+fsinα)|式中：P为压力机的总垂直力。σ为作用在试件剪切面上的法向总压力。τ为作用在试件剪切面上的切向总剪力。f为压力机整板下面的滚珠的磨擦系数。α为剪切面与水平面所成的角度。则倾斜板法抗剪强度试验的计算公式为:σ=P(cosα+fsinα)/Aτ=P(sinα-fcosα)/A倾斜板法抗剪强度试验中，已知倾斜板的倾角α分别为30º40º、50º、和60º，5cm,据经验估计岩石的力学参数c=15kPa，φ=31º，解：已知α分别为30º、40º、50º、和60º，c=15kPa，φ=31º，f=，,τ=σtgφ+cσ=P(cosα+fsinα)/Aτ=P(sinα-fcosα)/Aff(ffff由上式，代入上述数据，计算得：P=15(kN/mm2)×25×102(mm2)/[(sin30-×cos30)-(cos30+30×sin30)tg31]; (f (cosα+f (cosα+fα cosα Psinα3040,506

cosα)—

sinα)，

sinα)tgφ0试按威克尔(Wuerker)假定，分别导出σ、σ、φ的相互关t c系。r AB1

(1)c AOr1 1\又

,AO=cscΦ×r,r=σ/2

(2)1 1 1 1 t把(2)代入(1)式化简得：tΔAOD≌ΔAOC得：2

2c cos1sin

(3)解：如图：解：如图：τDCcBr2AФσtr1o1oo2σcσ由上述ΔAOB≌ΔAOC得：1r AOrr2 1 1 2c ccsc1 cscr rcscrr2 1 1 2∵ r=σ/2 r=σ/21 t 2 cσ(cscφ-1)=σ(cscφ+1) (4)c t把(4)代入(3)得： 2c cosc 1sin

(5)由（（5）*c

cos2

c

cos2

4c2c t sin)(1sin) 1sin212c t12c t由（3）,（5）2ccosφ=σ(1+sinφ),2ccosφ=σ(1-sinφ),相等有t csinφ=(σ-σ)/(σ+σ) (7)由(5)+(3)

c t c t+σ) (8)c t由（（（8）tan

sincos

ct2c tctct2c tctc t

ctct2

(9)σ3

分别为、、和0MPa时，对应的破坏轴向压力分别是、329MPa、和161MPa，近似取包络线为直线，求岩石的c、φ值。.】1．τ18151296o o 60 9 12 15 18 21 24 27由上图可知，该岩石的c、φ值分别为：28MPa、52°。2．计算法由M-Csin

13 132cctg1 3变形2ccos1

sin)3

sin) （1）考虑Coulomb曲线为直线，则强度线应与Mohr圆中的任意两圆均相切，此时的c、φ值相等，则任一圆都满足中的应力分别为1,12,2，由（1）式得1 3 1 31sin)1sin)2sin)2sin)1 3 1 3]整理得1

2)

2

sin)

sin)sin 1 1 3 3 c 1 312)12)

2cos1 1 3 3将已知数据代入计算结果如下：σ Σ φ c1 3#329<1610计算结果分析，第一组数据与第三组数据计算结果明显低于第一组与第二组数据和第二组与第三组数据的计算结果，考虑包络线为外包，故剔除第一组数据与第三组数据计算结果，取平均后得：φ=°，c=。σ=下作三轴3试验，请估计破坏时的轴向荷载是多少解：已知如图所示：τDBr2r1. C . C EAo 40.8 164.5 σ\1ΔAOC≌ΔABC得：r1c

ACAF1即：r1c

cctanr1ccsc1因为：r=MPa，φ=°，1所以求得：c=MPa所以：AO=cctanφ=MPa1ΔABC≌ΔADE1

AC

cctanr1解得：r=MPa

r AE AOr2 3 22所以σ=+2×=MPa1在威克尔(Wuerker的多少倍解：由上述题(5)知：^2c cosc 1sin 1sinc 2c cos故 t 1sinφ

1sin(1+sin

(1-sinφ

σ/σ) c t25—30 335[40455055 }60根据此式点绘的图如下：150150100500020406080100.五、岩石的变形特征=ε-2εv a c解：如上图所示得：V=π/4V´=π(c+Δc)2(a+Δa)/4V'V(cc)2(aa)/4c2a/4v V c2a/4ac22acac2ac22acac2c2ac2a2acac2c2a其中略去了Δc、Δa的高次项，整理得：

2c

2v a c a c)εεb.求初始模量、切线模量、50%σc

a c v的割线模量和泊松比。σ(MPa)σ(MPa)163047627792154164/18837555074093014121913破坏ε(×10-6)ε(×10-6!100175240300350550破坏c) 63解：由公式：ε=ε-2εv a c得：ε=250、175、200、260、330、712、713v]则初始模量：E=σ/ε=16/188=i i i切线模量： E=(σ-σ)/(ε-ε)=(77-62)/(930-740)=t 2 1 2 1割线模量： E=σ/ε=77/930=s 50 50泊松比：μ=εc

/ε==a六、岩石的强度理论解：如图：1由图中几何关系，在ΔABO中，B是直角，A11ODc, OAcctg, OB11

, OO32 3

1 3,213OAOAOOcctg131 OB

1 1 32

sin

1A1

cctg13213

11

23ct或：1?

1sin1sin ccos1nC=12kP，φ=36ºσy=100MP，当σ=200MPa时，按莫尔–库论判据，卸载达到破坏的最大围压σ1 3是多少如果按米色士判据又是多少解：由上题Mohr判据1sin1 1sin ccos1n得：

1sin2ccos1sin3620020.012cos3651.87MPa3 1sin 1 1sin 1sin36 1sin36按米色士判据：)21 2

)2)223 3 1 y等围压时，2

，上式变为：31 3 y3 1

200100100MPat岩体内存在不同方向裂纹，已知σ=–8MPa，t当σ=–6MPa1 3个方向破坏当σ

=–8MPa时，是否破坏，沿哪个方向破坏1解：a.由于

+3σ

3=42+3×(-6)=24>0，所以其破坏准则为：1

1 3)2t1 3把σ=42MPa，σ=–6MPa，σ

取绝对值）代入上式，1 3 t t·左边42264426右边8864左边=右边，刚好达到破坏。其破坏面与最大主应力之间的夹角为：1 cos 1

426

0.6667，2(124.091

) 2(426)3b.由于σ+σ=20+3×-8)=-4<σ=-σσ=-8=σ，1 3 3 t 3 t按格里菲斯准则可判断其刚好破坏，其破坏方向为沿σ1

的方向。σσ=50MP=57ºσ1 3 t结果。解：a、用莫尔–库论判据：sin1右边

3312ct3361.20.749261.2(19.1)250ctg57左边sin570.8388等式不成立，所以岩体不破坏。b、用格里菲斯准则：|13361.2319.13.90， 1 3

153.1MPa

69.6MPa t1 3所以岩体要发生破坏。c七、岩体结构面的力学性质已知某岩石结构面壁抗压强度为确定JRC为11，(Barton)公式绘出该结构面的σ-τ曲线，并试比较该曲线与库伦强度曲线的异同。解：根据Barton公式tan(JRClgJCS，将 b JCS=70MPa代入上式得：tan(11lg7035)，将

=35，σ=10,20,…,100MPa代入计算得：σ 【10

τ(Coulomb)2030》405060&708090100{点绘出的曲线如下：80807060P50( Barton4030Coulomb剪20100020406080100120法向应力(MPa)公式和Coulomb应力时（低于JCS，Barton公式计算的剪应力高于Coulomb公式，在高正应力时，Barton公式计算的剪应力低于Coulomb八、岩体的力学性质如图a，在岩石试样中存在一结构面，试证明按莫尔–库伦强度准则导出的强度判据为：$sin(2)sin1 sin(2)sin ccossin(2)n式中C、φ为结构面参数。当单轴压缩时，β为多少值该岩石的强度最低提示：可按图关系导出。.解：解：a. 由图b，在任意ΔABO’中，13O'B132

, O'AO'OOA 1 32sin sinABO'

cctg, A, ABO'180(2)由正弦定理，

O'B

O'Asin

sin(180(2))1 3

1 cctg2 2化简即可得：1

sin(2)sinsin(2)sin

2ccossin(2)sin

证毕。b.单轴时，上式为1

2ccossin(2)sin求σ1对β！1

2ccoscos(2)20(sin(2)sin)22c0, cos0则只能cos(2)290, 452因此，当45时，岩石强度最低。240º200m面在该洞室处会否滑动(已知γ=26kN/m3，μ=，结构面C=，φ=28º).解：h26kN/m3200m5.2MPa1由上题公式： sin(2)sin1 sin(2)sin ccossin(2)sin右边得：sin(24028)sin28

0.17

26200

20.4103cos28

4.743MPasin(24028)sin28 10.17 sin(24028)sin28?计算表明，满足破坏所需要的σ1仅为，而此处的实际应力已达，故会滑动。 904050此题有错误，十、地下洞室围岩稳定性分析三、计算题考虑地应力为静水压力状态，分别计算并绘出、、、6a时的σ/σ与σ/σ随r的变化，并讨论其与σ

的误差。r 0 θ 0 0解：为静水压力状态即λ=1，洞室围岩中与洞轴垂直断面上任一点的应力由弹性理论的平面问题可得：

1a2

1a2 ,r 0 r2

0 r2将、、、、6a代入得：>r1>r1a2a3a4a5a6aσ/σ0）8/915/1624/2535/36（0%） 3/4（75%）

（89%）

（94%）

（96%）

（97%）σ/σ 2 &

17/16 26/25 37/36θ 0（200% 5/4） ）

（111%）

（106% （104% （103%） ） ）从上表可以看出应力重分布与 无关而与测点径向距离有关，当洞径一定时，σθ

随r增大而迅速减少，而σr

随r趋近于天然应力值。当r=6a时，σ、σθ r

与σ相差仅为1/360因此一般可认为应力重分布的影响范围为r=6a。5m610m，岩层密度洞壁上各点的应力值并绘成曲线(θ=0º10º、20º、…、90º)；b.当洞内有的压力时，计算洞壁和拱顶的围岩应力。解：σ=γ/σ ，σ σ/3v h v va、 洞壁上各点的应力r 2cos2cos)。 h v&

0， 0，r2cos/32coscos。0 10 20 30 40 50 60 70 — 9080θσ : 0θ洞壁上各点的应力504540353025)a20PM（15值应500 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100与水平线的夹角（度）b、当洞内有压力P时，洞室周边围岩应力重分布公式为：P2cos2cosP0r h v r 0.15MPa， cos0.15， 0r r洞壁：即 =0时， cos00.1543.77MPa，拱顶：即 =90时，

21.961cos1800.150.15MPa。试导出芬纳(Fenner， 塑性区塑性区弹性区 解：由上图可知，在=σ=σe p 0所以其既满足弹性圈内的重分布应力，又满足塑性区内重分布应力在弹性区:

R2R1 R

2r 0

r2

R r2 R2 R 当

1 0 r2 R r2 r R

（1） 0 R又因为其满足M-C准则：sin

r

（2） r ，

2cctg把①代入②式整理得： R

ccos若松动圈已脱离原岩，则c=0, R 0

（3）在塑性区：平衡方程成立，考虑静水压力状态，有d drr rr 0

（4）d r r0dr r由（2）变形整理

2sin1sin

cctg) （5）（5）代入（4-1）整理并分离变量$d 2sindrr rrcctgr

1 sin两边积分后得ln(rcctg) 2sinlnrC （6）1sin将边界条件 代入（6）rra aCa

cctg)

2sinlna （7）1sin（7）代入（6）取指数（去掉ln）r2sin cctgcctg)

1sinr a a整理后得塑性区应力

r2sin

（8）(

ncctgr a a又因为：当R=r时，R!

，即（8）=（3）r

=(

sincctgr2sin0 a aa2sin化简即得芬纳公式：

1cctg

1sincctg 0 R(4)已知H=100m，a=3m，c=，φ=30º，γ=不出现塑性区时的围岩压力；2m允许充分变形时的塑性圈半径。解：由题意得：0

h2.7MPa当不出现塑性区时，即时：sin

ncctg

a2sin R

2sin301sin30a1sin3027000.3103ctg30a

0.3103ctg30 1350kPa。2m时，即R235m时，

1sin3027000.3103

2sin30 1sin300.3103 5153.45kPa当允许充分变形时，即当 0时：a ct sina2sina2sincctg0cctg0

ct sina2sina2sincctg a2sin

sin1sin0

R a

sin2sin2sinR 1sin cctg0Ra ctsin2sin2sin cctg 1sin3)2700310ctg30sin303

33103ctg30

2sin30(5)已知H=100m，a=3m，c=，φ=30º，γ=如果E=u=1cm和u=3cm解：由公式：

n

a 2sin1 1

a 0

2Guma

为塑性圈岩体的模量：G

E 50010

,把已知条件代66m入上式：

m 当：u=1cm时:a 2.71060.3106ctg301sin30a3sin3010 0.310

sin300.26MPa

6 25001060.01

sin300.3106ctg30当：u=3cm时：； 2.71060.3106ctg301a sin303sin30

2.70

0.3106ctg

1sin300.310

ctg300.26MPa

25000

0.03 6（此值为负，即不可能产生3cm的位移）十一、边坡岩体稳定性分析1、如图，导出边坡不失稳的最大坡高H解：

。maxββββα β解：如上图所示：发仅考虑重力作用下的时，设滑动体的重力为G，则它对于滑动面的垂直分量为Gcosβ，平行分量为Gsinβ，因此，可得滑动面上的抗滑力Fs和滑动力Fr分别为：F=Gcosβtanφ+cL T=G则岩体边坡的稳定性系数为：F GcostancLk T\

Gsin由上图几何关系可得：h H

)

L H

G1

gH2

sin()sinktgtg

sin2csinsinsin()

2 sinsin令k=1即得滑动体极限高度H :maxH

2csincos max

gsinsin()sin

2、导出楔形破坏的稳定性系数的计算式(不计凝聚力c)，给出式中各项参数如何取得的方法或公式。解：如图所示：θ1θ2θ1θ2面βββ如图（b）所示，可能滑动体的滑动力为Gsinβ，垂直交线的分量为N=Gcosβ，如图所示，将Gcosβ投影投影到△ABD和面的法线方向上，得作用二滑面上的法向力为：N Nsin Gcossin221 1>

22

) 1

)21N Nsin Gcossin12 ) )11 2 1 2T=Gsinβ设c=c=0及φ，φ分别为滑面ΔABD和ΔBCD1 2 1 2角，则二滑面的抗滑力为：F=