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文档简介

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第三节平面向量的数量积查清·基础知识探究·命题热点最新考纲1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义。2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系。3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算。4.能运用数量积表示两个向量的夹角。5.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。C查清·基础知识1．平面向量数量积的概念(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量______________叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝____________，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0。(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影_________的乘积。|a||b|cosθ|a||b|cosθ|b|cosθ(2)平面向量数量积的运算律①a·b＝b·a(交换律)。②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)。③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)。[想一想]判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，且有正有负。(

)(2)若a·b＝0，则必有a⊥b。(

)(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量。(

)(4)若a·b<0，则向量a，b的夹角为钝角。(

)√×√×[练一练]1．(2015·北京卷)设a，b是非零向量。“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(

)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析设a与b的夹角为θ。因为a·b＝|a|·|b|cosθ＝|a|·|b|，所以cosθ＝1，即a与b的夹角为0°，故a∥b；而当a∥b时，a与b的夹角为0°或180°，所以a·b＝|a|·|b|cosθ＝±|a|·|b|，所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分而不必要条件，故选A。答案AT探究·命题热点考点一平面向量数量积的运算

2平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题。归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直。考点二平面向量数量积的应用

±31．记忆向量的数量积公式应从两个方面：①定义，②向量的数量积的坐标公式。2．向量的数量积应用广泛，可用于求角、求长度、证垂直等问题。3．注意数形结合思想的应用，如加、减运算的几何意义，数量积的几何意义——投影。解平面向量综合题的两个“策略”1．图形化策略所谓图形化策略，是指解决向量问题时，利用图形语言翻译已知条件和所求结论，借助图形思考解决问题。图形化策略体现了数形结合思想，同时，化归与转化思想和函数与方程思想也深蕴其中。利用图形化的策略方法，各种数量关系在图形中非常明了，起到事半功倍的作用。如果没有图形的帮助，要用代数化策略，这样即使是坐标化处理，也可能陷入“僵局”。2．代数化策略所谓代数化策略，是指解决向量问题时，利用代数语言翻译已知条件和

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