2020-2021学年高中数学第2章基本初等函数(Ⅰ)阶段综合提升学案1

学必求其心得，业必贵于专精第2章基本初等函数（Ⅰ）［牢固层·知识整合］[提升层·题型研究]指数与对数的运算.指数、对数的运算应依照的原则，指数式的运算第一注意化简-1-学必求其心得，业必贵于专精序次,一般负指数先转变为正指数，根式化为分数指数幂运算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算第一注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.错误!1.设3x＝4y＝36，则错误!＋错误!的值为（)A．6B．3C．2D．1D[由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436，∴错误!＋错误!＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.］基本初等函数的图象及应用【例2】（1)若函数y＝logax(a〉0，且a≠1）的图象以下列图，则以下函数正确的选项是( )-2-学必求其心得，业必贵于专精ABCD(2）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x）＝错误!错误!.①如图，画出函数f(x）的图象；②依照图象写出f（x）的单调区间，并写出函数的值域．(1)B[由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x,在R上单调递减,与图象不符；C项中函数的剖析式为y＝（－x)3＝－x3,当x〉0时，y<0,这与图象不符；D项中函数剖析式为y＝log3（－x），在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数剖析式为y＝x3，与图象切合．应选B。](2）[解］①先作出当x≥0时，f(x）＝错误!错误!的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x）在x∈（－∞，0）时的图象．-3-学必求其心得，业必贵于专精②函数f(x)的单调递加区间为（－∞，0)，单调递减区间为［0，＋∞)，值域为(0,1]．1．鉴别函数的图象从以下几个方面下手：(1）单调性：函数图象的变化趋势；2)奇偶性:函数图象的对称性；3)特别点对应的函数值．2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0。错误!2．函数y＝1＋log错误!（x－1）的图象必然经过点（）A．（1,1）B．（1,0）C．(2,1)D．(2，0）［把y＝log错误!x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可获取y＝1＋log错误!（x－1）的图象，故其经过点（2，1）．］比较大小【例3】若0<x〈y<1，则( )A．3y<3xB．logx3〈logy3C．log4x〈log4yD。错误!错误!〈错误!错误!［因为0<x〈y<1，则-4-学必求其心得，业必贵于专精关于A,函数y＝3x在R上单调递加，故3x<3y,A错误．关于B，依照底数a对对数函数y＝logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1,＋∞上）“底小图高”．因为0〈x<y<1，所以logx3>logy3,B错误．关于C，函数y＝log4x在（0,＋∞）上单调递加,故log4x〈log4y，正确．关于D,函数y＝错误!错误!在R上单调递减，故错误!错误!〉错误!错误!,D错误．］1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看作某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，尔后利用该函数的单调性比较．3．比很多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，尔后在各部分内再利用函数性质比较大小．4．含参数的问题，要依照参数的取值进行分类谈论．错误!－2，则（）3。设a＝log2π，b＝log错误!π，c＝πA．a〉b>cB．b〉a>cC．a>c〉bD．c>b>a-5-学必求其心得，业必贵于专精－2C［∵a＝log2π>log22＝1，b＝log错误!π〈log错误!1＝0，＝πc＝错误!，即0<c〈1,∴a>c〉b，应选C.]基本初等函数的性质【例4】(1）设函数f(x)＝ln（1＋x）－ln（1－x)，则f（x）是)A．奇函数，且在（0,1)上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数,且在(0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0,1）上是减函数(2)已知a〉0,a≠1且loga3〉loga2，若函数f(x）＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1。①求a的值；②若1≤x≤3，求函数y＝（logax）2－loga错误!＋2的值域．(1)A［由题意可得,函数f（x)的定义域为(－1,1)，且f（－x）ln（1－x）－ln(1＋x)＝－f(x),故f（x)为奇函数．又f（x）＝ln错误!ln错误!，易知y＝错误!－1在(0，1）上为增函数，故f（x)在（0，1）上为增函数．］(2）[解］①因为loga3>loga2，所以f（x)＝logax在[a，3a］上为-6-学必求其心得，业必贵于专精增函数．又f（x）在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，所以loga（3a）－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3。②函数y＝(log3x)2－log3错误!＋2＝（log3x)2－错误!log3x＋2＝错误!错误!＋错误!。令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1,即0≤t≤1.所以y＝错误!错误!＋错误!∈错误!，所以所求函数的值域为错误!。1．把本例（1)的函数f（x)改为“f（x）＝ln(x＋错误!）”,判断其奇偶性．［解]∵f（x)＝ln(x＋错误!)，∴其定义域为R，又f(－x）＝ln（－x＋1＋x2)，f(x)＋f（－x）＝ln（x＋错误!)＋ln（－x＋错误!）＝ln1＝0，f（－x）＝－f（x)，∴f（x）为奇函数．2．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1"，求其最小值．[解］由题意可知y＝32x＋3x－1，令3x＝t,则t∈[3,27]，-7-学必求其心得，业必贵于专精f（t）＝t2＋t－1＝错误!错误!－错误!，t∈［3，27]，∴当t＝3时,f（t)min＝f（3）＝9＋3－1＝11。1．研究函数的性质要成立定义域优先的原则．2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转变为常有问题．该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转变为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u的取值范围．分类谈论思想的应用【例5】已知函数f（x)＝log3(ax－1），a>0且a≠1。(1)求该函数的定义域；2)若该函数的图象经过点M(2,1)，谈论f(x）的单调性并证明．思路点拨：(1）分a〉1和0〈a<1两类分别解不等式ax－1〉0；2）借助单调性的定义求证．［解］(1)要使函数f(x）有意义,只需ax－1>0，即ax>1。①当a>1时，解得x>0，②当0<a〈1时，解得x〈0，故当a〉1时，函数的定义域为（0，＋∞);当0<a〈1时，函数的定义域为（－∞，0）．-8-学必求其心得，业必贵于专精(2)由f(2）＝1得，log3(a2－1)＝1，∴a2＝4，即a＝2。故函数f（x）的定义域为(0，＋∞)．设x2〉x1>0,则2x2〉2x1>1，即2x2－1>2x1－1〉0，∴错误!〉1,log3错误!>log31＝0，即f（x2)－f（x1）〉0.f(x2)>f（x1）,故f（x）在(0，＋∞)上是增函数．在解决底数中含字母参数的指数或对数函数问题时,常对底数进行分类谈论，一般分a〉1与0<a〈1两种情况．[跟进训练］4.已知函数f（x）＝ax(a>0，且a≠1）在区间[1,2］上的最大值比a最小值大2,求a的值．［解］①若a〉1，则f（x)是增函数，-9-学必求其心得，业必贵