2023届广东省佛山市高三适应性调研考试数学试题含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如的素数(如：)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是()A． B． C． D．2．若执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A． B． C． D．43．复数的虚部是()A． B． C． D．4．若向量，，则与共线的向量可以是（）A． B． C． D．5．已知函数，其图象关于直线对称，为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（）A．先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变B．先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变C．先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变D．先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变6．设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一个交点为，则（）A． B． C． D．7．若的展开式中的系数之和为，则实数的值为（）A． B． C． D．18．设，则““是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必条件9．已知命题：“关于的方程有实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则11．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）．A． B． C． D．12．函数的大致图象是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_____14．已知集合，，则_________.15．若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为______．16．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知是公比为的无穷等比数列，其前项和为，满足，________．是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．18．（12分）已知函数（）（1）函数在点处的切线方程为，求函数的极值；（2）当时，对于任意，当时，不等式恒成立，求出实数的取值范围.19．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为坐标原点焦点在轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上关于轴对称的任意两点，设，连接交椭圆于另一点．求证：直线过定点并求出点的坐标；（3）在（2）的条件下，过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围．20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线、交于、两点，是曲线上的动点，求面积的最大值.21．（12分）已知动圆经过点，且动圆被轴截得的弦长为，记圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的标准方程；（2）设点的横坐标为，，为圆与曲线的公共点，若直线的斜率，且，求的值．22．（10分）已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点？若存在，求出的方程：若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

基本事件总数，能表示为两个不同费马素数的和只有，，，共有个，根据古典概型求出概率．【详解】在不超过的正偶数中随机选取一数，基本事件总数能表示为两个不同费马素数的和的只有，，，共有个则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是本题正确选项：【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题．2．D【解析】

模拟程序运行，观察变量值的变化，得出的变化以4为周期出现，由此可得结论．【详解】；如此循环下去，当时，，此时不满足，循环结束，输出的值是4.故选：D．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构．解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论．3．C【解析】因为，所以的虚部是，故选C.4．B【解析】

先利用向量坐标运算求出向量,然后利用向量平行的条件判断即可.【详解】故选B【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.5．D【解析】

由函数的图象关于直线对称，得，进而得再利用图像变换求解即可【详解】由函数的图象关于直线对称，得，即，解得，所以，，故只需将函数的图象上的所有点“先向左平移个单位长度，得再将横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变,得”即可.故选：D【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题6．C【解析】

画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标，最后代入坐标，求得三角形面积比.【详解】作图，设与的夹角为，则中边上的高与中边上的高之比为，，设，则直线，即，与联立，解得，从而得到面积比为.故选：【点睛】解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题.7．B【解析】

由，进而分别求出展开式中的系数及展开式中的系数，令二者之和等于，可求出实数的值.【详解】由，则展开式中的系数为，展开式中的系数为，二者的系数之和为，得.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.8．B【解析】

解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.【详解】由，得，又由，得，因为集合，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.9．B【解析】命题p：，为，又为真命题的充分不必要条件为，故10．D【解析】

利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.【详解】解：选项A中直线，还可能相交或异面，选项B中，还可能异面，选项C，由条件可得或．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.11．B【解析】

先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线与直线的距离，根据圆与双曲线的右支没有公共点，可得，解得即可．【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，即，∵是直线上任意一点，则直线与直线的距离，∵圆与双曲线的右支没有公共点，则，∴，即，又故的取值范围为，故选：B．【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线的右支没有公共点得出是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．A【解析】

用排除B，C；用排除；可得正确答案.【详解】解：当时，，，所以，故可排除B，C；当时，，故可排除D．故选：A．【点睛】本题考查了函数图象，属基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1，即，即可求出双曲线的离心率．【详解】解：双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，一条渐近线的斜率为1，即，，，故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为1是关键，属于基础题．14．【解析】

根据交集的定义即可写出答案。【详解】，，故填【点睛】本题考查集合的交集，需熟练掌握集合交集的定义，属于基础题。15．【解析】

利用,得到的关系式,然后代入双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】因为双曲线的离心率为,所以,即,因为双曲线的渐近线方程为,所以双曲线的渐近线方程为.故答案为:【点睛】本题考查双曲线的几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键;属于基础题.16．【解析】

先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果.【详解】若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有种;若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有种;因此共有种.故答案为：【点睛】本题考查排列组合实际问题，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．见解析【解析】

选择①或②或③，求出的值，然后利用等比数列的求和公式可得出关于的不等式，判断不等式是否存在符合条件的正整数解，在有解的情况下，解出不等式，进而可得出结论.【详解】选择①：因为，所以，所以．令，即，，所以使得的正整数的最小值为；选择②：因为，所以，．因为，所以不存在满足条件的正整数；选择③：因为，所以，所以．令，即，整理得．当为偶数时，原不等式无解；当为奇数时，原不等式等价于，所以使得的正整数的最小值为．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（1）极小值为，极大值为.（2）【解析】

（1）根据斜线的斜率即可求得参数，再对函数求导，即可求得函数的极值；（2）根据题意，对目标式进行变形，构造函数，根据是单调减函数，分离参数，求函数的最值即可求得结果.【详解】（1）函数的定义域为，，，，可知，，解得，，可知在，时，，函数单调递增，在时，，函数单调递减，可知函数的极小值为，极大值为.（2）可以变形为，可得，可知函数在上单调递减，，可得，设，，可知函数在单调递减，，可知，可知参数的取值范围为.【点睛】本题考查由切线的斜率求参数的值，以及对具体函数极值的求解，涉及构造函数法，以及利用导数求函数的值域；第二问的难点在于对目标式的变形，属综合性中档题.19．（1）；（2）证明详见解析，；（3）.【解析】

(1)根据题意列出关于的等式求解即可.(2)先根据对称性,直线过的定点一定在轴上,再设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,进而求得的方程,并代入,化简分析即可.(3)先分析过点的直线斜率不存在时的值,再分析存在时,设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理再代入求解出关于的解析式,再求解范围即可.【详解】解：设椭圆的标准方程焦距为,由题意得,由,可得则,所以椭圆的标准方程为；证明：根据对称性,直线过的定点一定在轴上,由题意可知直线的斜率存在,设直线的方程为,联立,消去得到,设点,则．所以,所以的方程为,令得,将,代入上式并整理,,整理得,所以,直线与轴相交于定点．当过点的直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时,当过点的直线斜率存在时,设直线的方程为,且在椭圆上,联立方程组,消去,整理得,则．所以所以,所以,由得,综上可得,的取值范围是．【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范围的问题,需要分析直线的斜率是否存在的情况,再联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理以及所求的解析式,结合参数的范围进行求解.属于难题.20．（1），；（2）.【解析】

（1）在曲线的参数方程中消去参数，可得出曲线的普通方程，将曲线的极坐标方程变形为，进而可得出曲线的直角坐标方程；（2）求出点到直线的最大距离，以及直线截圆所得弦长，利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.【详解】（1）由曲线的参数方程得，.所以，曲线的普通方程为，将曲线的极坐标方程变形为，所以，曲线的直角坐标方程为；（2）曲线是圆心为，半径为为圆，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的最大距离为，，因此，的面积为最大值为.【点睛】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的相互转换，同时也考查了直线截圆所形成的三角形面积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.21．见解析【解析】

（1）设，则点到轴的