2023届山东省曲阜市高三第一次调研测试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，四边形为平行四边形，为中点，为的三等分点（靠近）若，则的值为（）A． B． C． D．2．设为非零向量，则“”是“与共线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．44．设，满足约束条件，则的最大值是（）A． B． C． D．5．过抛物线（）的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点.，且在第一象限，则（）A． B． C． D．6．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（）A． B． C． D．7．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（）A． B． C． D．8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为()A． B． C． D．9．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．10．若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（）A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4C．平均数为21，方差为8 D．平均数为20，方差为811．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A． B． C． D．12．在正方体中，E是棱的中点，F是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（）A．点F的轨迹是一条线段 B．与BE是异面直线C．与不可能平行 D．三棱锥的体积为定值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值为________.14．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______.15．设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则_________16．已知是同一球面上的四个点，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）当时，求曲线在点的切线方程；（2）讨论函数的单调性．18．（12分）已知函数，（Ⅰ）当时，证明；（Ⅱ）已知点，点，设函数，当时，试判断的零点个数．19．（12分）已知数列满足，，其前n项和为.（1）通过计算，，，猜想并证明数列的通项公式；（2）设数列满足，，，若数列是单调递减数列，求常数t的取值范围.20．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2a，bsinB﹣asinA＝asinC．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρcos2θ=4asinθ (a>0)，直线l的参数方程为x=-2+22t,y=-1+（I）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程（不要求具体过程）；（II）设P(-2,-1)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为.（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程及的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到距离的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

使用不同方法用表示出，结合平面向量的基本定理列出方程解出．【详解】解：，又解得，所以故选：D【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．2．A【解析】

根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若，则与共线，且方向相同，充分性；当与共线，方向相反时，，故不必要.故选：.【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.3．C【解析】

设直线AB的方程为，代入得：，由根与系数的关系得，，从而得到，同理可得，再利用求得的值，当Q，P，M三点共线时，即可得答案.【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为，则直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，代入得：.由根与系数的关系得，，所以.又直线CD的方程为，同理，所以，所以.故.过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得.所以，当Q，P，M三点共线时，等号成立.故选：C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.4．D【解析】

作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z的最大值．【详解】作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线：在可行域内平移当过点时，取得最大值.由得：，故选：D【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题.5．C【解析】

作，；，由题意，由二倍角公式即得解.【详解】由题意，，准线：，作，；，设，故，，.故选：C【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.6．D【解析】

设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得即可得圆锥轴截面底角的大小.【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有,解得,所以圆锥轴截面底角的余弦值是,底角大小为.故选：D【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.7．C【解析】

根据程序框图的运行，循环算出当时，结束运行，总结分析即可得出答案.【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.此时输出.故选：C.【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.8．D【解析】

根据题意，求得的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.【详解】由已知可知，点为中点，为中点，故可得，故可得；代入椭圆方程可得，解得，不妨取，故可得点的坐标为，则，易知点坐标，将点坐标代入椭圆方程得，所以离心率为，故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得点的坐标，属中档题.9．B【解析】

依据线性约束条件画出可行域，目标函数恒过，再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中，直线过定点，当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意；当时，直线的斜率，不等式表示直线下方的区域，不满足题意；当时，直线的斜率，不等式表示直线上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，只需直线的斜率，解得.综上可得实数的取值范围为，故选：B.【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题10．D【解析】

由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.【详解】样本的平均数是10，方差为2，所以样本的平均数为,方差为.故选:D.【点睛】样本的平均数是，方差为，则的平均数为,方差为.11．C【解析】

依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A.，值域为，非奇非偶函数，排除；B.，值域为，奇函数，排除；C.，值域为，奇函数，满足；D.，值域为，非奇非偶函数，排除；故选：.【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.12．C【解析】

分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断．【详解】对于，设平面与直线交于点，连接、，则为的中点分别取、的中点、，连接、、，，平面，平面，平面．同理可得平面，、是平面内的相交直线平面平面，由此结合平面，可得直线平面，即点是线段上上的动点．正确．对于，平面平面，和平面相交，与是异面直线，正确．对于，由知，平面平面，与不可能平行，错误．对于，因为，则到平面的距离是定值，三棱锥的体积为定值，所以正确；故选：．【点睛】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，模拟程序的运行，即可得到答案.【详解】根据题中的程序框图可得：,执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，此时，满足条件，退出循环，输出的值为.故答案为：【点睛】本题主要考查了程序和算法，依次写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基本知识的考查.14．【解析】

记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，即求条件概率：，由条件概率公式即得解.【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，即求条件概率：故答案为：【点睛】本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.15．1【解析】

令，结合函数的奇偶性，求得，即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，函数分别是上的奇函数和偶函数，且，令，可得，所以.故答案为：1.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16．【解析】

求得等边三角形的外接圆半径，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】设是等边三角形的外心，则球心在其正上方处.设，由正弦定理得.所以得三棱锥外接球的半径，所以外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）当时,在上单调递增,在上单调递减；当时,在和上单调递增,在上单调递减；当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减.【解析】

(1)根据导数的几何意义求解即可.(2)易得函数定义域是,且.故分,和与四种情况,分别分析得极值点的关系进而求得原函数的单调性即可.【详解】（1）当时,,则切线的斜率为.又,则曲线在点的切线方程是,即.（2）的定义域是..①当时,,所以当时,；当时,,所以在上单调递增,在上单调递减；②当时,,所以当和时,；当时,,所以在和上单调递增,在上单调递减；③当时,,所以在上恒成立.所以在上单调递增；④当时,,所以和时,；时,.所以在和上单调递增,在上单调递减.综上所述,当时,在上单调递增,在上单调递减；当时,在和上单调递增,在上单调递减；当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及含参数的函数单调性讨论,需要根据题意求函数的极值点,再根据极值点的大小关系分类讨论即可.属于常考题.18．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1.【解析】

（Ⅰ）令，；则．易得，．即可证明；（Ⅱ），分①，②，③当时，讨论的零点个数即可．【详解】解：（Ⅰ）令，；则．令，，易得在递减，在递增，∴，∴在恒成立．∵在递减，在递增．∴．∵；（Ⅱ）∵点，点，∴，．①当时，可知，∴∴，，∴．∴在单调递增，，．∴在上有一个零点，②当时，，，∴，∴在恒成立，∴在无零点．③当时，，．∴在单调递减，，．∴在存在一个零点．综上，的零点个数为1．．【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于压轴题．19．（1），证明见解析；（2）【解析】

（1）首先利用赋值法求出的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；（2）首先利用叠乘法求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数的范围．【详解】（1）数列满足，，其前项和为．所以，，则，，，所以猜想得：．证明：由于，所以，则：（常数），所以数列是首项为1，公差为的等差数列．所以，整理得．（2）数列满足，，所以，则，所以．则，所以，所以，整理得，由于，所以，即．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型．20．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根据条件由正弦定理得，又c＝2a，所以，由余弦定理算出，进而算出；（Ⅱ）由二倍角公式算出，代入两角和的正弦公式计算即可.【详解】（Ⅰ）bsinB﹣asinA＝asinC，所以由正弦定理得，又c＝2a，所以，由余弦定理