构造性的证明课件

数学的魅力1数学的魅力1你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然的美；那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的层次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。数学，有无穷的魅力！

2你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；一、渔网的几何规律

用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网，无论你织一片多大的网，它的结点数(V)，网眼数(F)，边数(E)都必定适合下面的公式：V+F–E=13一、渔网的几何规律用数学方法可以证明，无多面体的欧拉公式

V+F–E=24多面体的欧拉公式V+F–E=24

数学就有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变得简明，把看起来混乱的事物理出规律。5数学就有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变二、济南市

至少有两个人头发根数一样多“存在性命题”：济南市一定存在两个头发根数一样多的人。对于存在性命题，通常有两类证明方法：一类是构造性的证明方法，即把需要证明存在的事物构造出来，便完成了证明；一类是纯存在性证明，并不具体给出存在的事物，而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。

6二、济南市

至少有两个人头发根数一样多“存在性命题”：济南例如“任意两个正整数都存在最大公约数”这个存在性命题，我们可以用“辗转相除法”给出构造性的证明，在证明最大公约数存在的同时，也给出了求最大公约数的方法。(例：（210，1950）=30)再例如“连续函数如果在两个端点反号，则中间一定存在零点”这个存在性命题，我们在教材中看到的和在课堂上听到的，往往是纯存在性证明，证明了零点的存在，但并不给出找到零点的方法。7例如“任意两个正整数都存在最大公约数”这个存在性命题，我们济南市

至少有两个人头发根数一样多构造性证明：

一个一个地去数济南市中所有人的头发根数，一定可以找到两个具体的人，不妨称之为张三和李四，他们的头发根数一样多，便完成了证明。8济南市

至少有两个人头发根数一样多构造性证明：8济南市

至少有两个人头发根数一样多纯存在性证明

：“抽屉原理”

证明“367个人中至少有两个人的生日是相同的”

证明“济南市一定存在两个头发根数一样多的人”

9济南市

至少有两个人头发根数一样多纯存在性证明：9对于这个命题，纯存在性证明的方法，比用构造性证明的方法更可靠。10对于这个命题，纯存在性证明的方法，比三、圆的魅力

车轮，是历史上最伟大的发明之一圆，是平面图形中对称性最强的图形周长与直径之比是一个常数这个常数是无理数、超越数面积相等的图形中圆的周长最短规尺作图化圆为方不可做11三、圆的魅力车轮，是历史上最伟大的发明之一11四、“三角形三内角之和等于180度，

这个命题不好”

这句话是1978年数学大师陈省身先生在北京大学的一次演讲中说的，后来又多次说过。所以，这不是随便说的一句话。陈先生并没有说“三角形三内角之和等于180度，这个命题不对”，而是说“这个命题不好”。

12四、“三角形三内角之和等于180度，

这个命题不好”这句话三角形三内角之和=180度n边形n内角之和=？n边形n内角之和=180度×(n–2)

13三角形三内角之和=180度13n边形n外角之和=360度不变量曲边形（向量组的秩；矩阵的秩）

14n边形n外角之和=360度14高斯－博内公式当积分区域是整个闭曲面M时，有=2πχ（M）

其中k是高斯曲率，χ（M）是M的欧拉示性数。这一高斯－博内公式的左面是一个由局部性质（曲率）表示的量，但是，公式的右面却只和曲面整体的拓扑不变量。高斯－博内公式的重要意义在于：它用曲面的局部不变量刻画了整体性质。15高斯－博内公式15

五、图论与哥尼斯堡七桥问题

(“抽象”的典型，图论的起源)

16

五、图论与哥尼斯堡七桥问题

(“抽象”的典型，图论的起源)1717四色问题

四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英国大学生F．古色利提出。他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德里克。弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰出的英国数学家德·摩根，希望帮助给出证明。18四色问题四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于185

德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少要四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。

19德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少要四种颜但德·摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他数学家,其中包括著名数学家哈密顿。但这个问题当时没有引起数学家的重视。直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后，认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在《伦敦数学会文集》上发表了一篇《论地图着色》的文章,才引起了更大的注意。20但德·摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他数学家,1879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上发表论文，宣布证明了“四色猜想”。但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的证明中有严重错误。

211879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上发表论文，宣一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难，这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小并不重要,重要的是它们的相互位置。下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上看,问题的实质在于地图的“拓扑结构”。

22一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难，这引起了一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研究,获得了一系列成果。1920年弗兰克林证明了,对于不超过25个国家的地图,四色猜想是正确的。1926年雷诺兹将国家的数目提高到27个。1936年弗兰克林将国家的数目提高到31个。1968年挪威数学家奥雷证明了,不超过40个国家的地图可以用四种颜色着色。但是，他们都没有最终证明“四色猜想”。

23一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研究,获得了一系列四色问题的解决直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。到1976年6月,他们终于获得成功。他们使用了3台IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证明了四色猜想。24四色问题的解决直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时,当地邮局特地制作了纪念邮戳"四色足够"(FOURCOLORSSUFFICE)，加盖在当时的信件上。

25这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时,当地邮局特地拓展了人们对“证明”的理解由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学家从数学及哲学方面对“证明”的思考。26拓展了人们对“证明”的理解由于这是第一次用计算机证明数学定理六、素数的奥秘自然数是整个数学最重要的元素。自然数中有一种特别基本又特别重要的数，称为“素数”。素数是大于1的自然数中，只能被自己和1整除的数；大于1的自然数中不是素数的都称为“合数”；1则既不是素数也不是合数。27六、素数的奥秘自然数是整个数学最重要的元素。27由于在大于1的自然数中，素数的因子最少，所以素数是特别简单的数。又由于一切大于1的自然数都能够从素数通过乘法得到，所以素数又是特别基本的数。素数很早就被古希腊的数学家所研究。2300多年前欧几里得的几何《原本》第9卷的定理20，就给出了“素数有无穷多个”的漂亮证明。28由于在大于1的自然数中，素数的因子最少，所以素数是特别简单的但是，素数的有些规律，表述出来很容易听懂，研究起来却出人意料地困难。（当然，素数的有些规律表述出来也是相当复杂的。）关于素数的规律，人类有许多的“猜想”。至今还有不少关于素数的重要猜想，既没有被证明，也没有被否定。有的猜想的解决，现在看来可能会十分遥远。有人甚至预言，“人类探寻素数规律的历史，将等同于人类的整个文明史”。29但是，素数的有些规律，表述出来很容易听懂，研究起来却出人意料三个关于素数规律的问题

从加法的角度研究素数从乘法的角度研究素数找一个公式来表示素数

30三个关于素数规律的问题从加法的角度研究素数30从加法的角度研究素数两个猜想：每个足够大的偶数都是两个素数的和；每个足够大的奇数都是三个素数的和。后一个猜想现在已被证明；前一个猜想至今却既没有人举出反例，也没有人给出证明。前者就是著名的“哥德巴赫猜想”。31从加法的角度研究素数两个猜想：31从乘法的角度研究素数算术基本定理：任一个大于1的自然数，都可以被表示为有限个素数（可以重复）的乘积，并且如果不计次序的话，表法是唯一的。算术基本定理早已被证明，但不是采用“构造性”的证明。未解之谜：这个问题是：对任一个大于1的自然数，试给出一个一般的方法，以便较快地找到有限个素数（可以重复），使它们的乘积等于那个预先写出的大于1的自然数。32从乘法的角度研究素数算术基本定理：任一个大于1的自然数，都可下面用“构造性”证明的思路，来试图找到解决的办法，同时也体会它的困难所在。33下面用“构造性”证明的思路，来试图找到解决的办解决问题的困难不严格的地方，或者说“跳步”的地方，就在最前面的两步。即，如何较快地判断“a是否素数”；及当判断出a不是素数后如何较快地找到b，得到a=b×c。解决问题的本质困难，也在这两个步骤。虽然现在有了高速计算机，但是对于很大的数a，例如200位的数a，这两步的计算仍然很费时日，以至于实际上是不可能解决问题的34解决问题的困难不严格的地方，或者说“跳步”的地方，就在最前面这样的困难，反倒给密码通讯提供了思路

a=b×c（b、c是两个很大的素数，比如都是100位的大素数

）在造密码时，你可以把a公开，但b、c对外保密，只有“我方”了解。必须知道b、c才能破译密码。“敌方”只知道a和密文，就无法了解密文的意思。要想破译密文，首先需要把a分解为b×c。但是因为a这个数很大，以及上面提到的本质困难，把a分解为b×c是很费时日的。

35这样的困难，反倒给密码通讯提供了思路a=b×c找一个公式来表示素数费马素数(1640年)

(n=0,1,2,3,4)梅森素数(1644年)

（n=2、3、5、7、13、17、31、67、127、257）“梅森数中是否有无穷个素数”的问题，也是未解之谜。梅森数与完全数的问题.36找一个公式来表示素数费马素数(1640年)36关于费马素数，n=5时，Fn=4294967297=641×6700417梅森的判断中有五个错误：n=67、257时Mn不是素数；而n=61、89、107时Mn是素数。

37关于费马素数，n=5时，37科尔：《大数的因子分解》1903年10月267—1193707721×761838257287267—1=193707721×761838257287科尔一言未发；会场上爆发了热烈的掌声。38科尔：《大数的因子分解》1903年10月267—七、“蒲丰投针”的故事

针长是行距的一半,投了2212次,其中与平行线相交的为704次.2212/704=3.142不同的问题可能存在联系39七、“蒲丰投针”的故事针长是行距的一半,投了2212次,其八、“化归”的方法

“化归”，是把未知的问题，转化为已知的问题；把待解决的问题，归结为已解决的问题，从而解决问题的过程。

波利亚：关于“烧水”的例子

40八、“化归”的方法“化归”，是把未知的问题，转化为已知的问九、体会公式中的数学美

可以从公式中，令=推出来。公式，用“等号”连接了数学中五个重要的常数，反映了数学的“统一美”。41九、体会公式中的数学美

M．克莱因（FelixKlein,1849－1925）：

音乐能激发或抚慰人的感情，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人聪慧，科学可以改善生活，而数学能做到所有这一切。42M．克莱因（FelixKlein,1849－1925）

二、数学的“用处”

1．不应实用主义地理解“用处”

数学有广泛的用途，但那不同于一般工具的“用处”；不像一把斧头，拿来便可砍柴。

43二、数学的“用处”43数学对人类文明的贡献（一）万有引力定律。基于开普勒行星运动的三大定律，牛顿发现了万有引力定律。他把其最重要的著作命名为《自然哲学的数学原理》，是因为他发现新宇宙的思维方式是数学的思维方式。在这本书中，牛顿用了大量“微积分”的知识和非常复杂的几何知识与技巧。有兴趣的同学可以阅读这本书。44数学对人类文明的贡献（一）万有引力定律。基于开普勒行星运动的数学对人类文明的贡献（二）相对论。爱因斯坦分别于1905年和1915年提出狭义相对论，广义相对论，这是对物理学的重大变革，其核心内容是时空观的改变。爱因斯坦的时空观认为时间和空间是相互联系的。四维空间的洛仑兹变换是这种数学模型的表现形式。45数学对人类文明的贡献（二）相对论。爱因斯坦分别于1905年和数学对人类文明的贡献（三）电磁波的发现。英国物理学家麦克斯韦概括了由实验建立起来的电磁现象规律，把这些规律表述为“方程的形式”，用纯粹数学的方法推导出可能存在着电磁波并且这些电磁波应该以光速传播者。据此，他提出了光的电磁理论。此外，他的结论还推动了人们去寻找纯电起源的电磁波。46数学对人类文明的贡献（三）电磁波的发现。英国物理学家麦克46数学对人类文明的贡献（四）最近，两位美国数学家解开了一个困扰科学界长达50年的“简单”问题：啤酒泡和肥皂泡在膨胀、收缩及合并时的数学规律。该研究成果将对工程学的泡沫材料设计、生物学的组织结构研究以及物理学的晶体颗粒排列探测产生深远的影响，相关论文发表在2007年4月26日的《自然》杂志上。（气泡胀大、收缩或者合并，背后的驱动力都是表面张力，气泡的变化，取决于表面总曲率

）

47数学对人类文明的贡献（四）最近，两位美国数学家解开了一个困扰数学对人类文明的贡献（五）神州六号的升空，宣告了我国具有制造和发射航天飞机的能力。在神舟六号的研制过程中，数学起了不可替代了作用，尤其是在轨道测算，时间测算等方面。48数学对人类文明的贡献（五）神州六号的升空，宣告了我国具有制造数学对人类文明的贡献（六）1973年，美国芝加哥大学学者f·布莱克与m·肖莱斯提出了布莱克－肖莱斯期权定价模型（black-scholesoptionpricingmodel），对股票期权的定价作了详细的讨论。此后，不少学者（Merton）又对该模型进行了修正、发展与推广，极大地推动了期权定价理论的研究。该模型中用到很多数学知识。他们也因此获得了1997年的Nobel经济学奖。（上图为Merton，哈佛大学；下图为Scholes，芝加哥大学。）49数学对人类文明的贡献（六）1973年，美国芝加哥大学学者f·

2．数学的应用常常是难以预料的1）素数在密码学中的应用2）圆锥曲线论在行星运动开普勒三定律中的应用3）黎曼几何在广义相对论中的应用4）陈省身的纤维丛理论在杨振宁的规范场理论中的应用5）正电子、黑洞与电磁场的发现诺贝尔物理学奖获得者温伯格(S•Weinberg)曾无可奈何地感叹：“当一个物理学家得到一个思想时，却发现在他之前数学家已经得到了。”502．数学的应用常常是难以预料的50

三、数学的语言

1．自然语言与数学语言

1）自然语言——具体的语言；数学语言——形式化的语言2)科学工作者用数学语言使自己的工作精确化

如：牛顿——运动第二定律；爱因斯坦——广义相对论

“数学进入一门学科的程度，反映了这门学科成熟的程度。”

51三、数学的语言51

2.数学语言是人类文明、宇宙文明的共同语言

1）当你写下c2=a2+b2，S=v0t+0.5gt2，不同的民族虽然有不同的自然语言，但对此数学语言描述的内容，不同的人种都能明白。2）20世纪70年代，为与外星人取得联系，美国曾发射过一艘宇宙飞船。飞船上带去了地球人类最具有代表性的物件，其中包括一件用黄金制作的、体现勾股定理的图案。522.数学语言是人类文明、宇宙文明的共同语言52

3．数学语言的特点

1）明晰；2）严谨；3）简洁；4）规范

4．重视数学语言的学习口头表达和书面表达，是数学能力、数学素养的重要方面。533．数学语言的特点 53

四、数学的发展

1．数学的分支越来越细

以至不可能再有一位数学家熟习数学的所有分支

2．数学对自然科学和社会科学的渗透越来越广

“一门科学应用数学的程度，标志着这门科学成熟的程度”

3．历史遗留许多难题，数学永远充满魅力

“费尔马大定理”上世纪末刚被证明“哥德巴赫猜想”等难题仍未解决54四、数学的发展5455555656数学对人类科学的贡献（六）美国哈佛大学日前发表一份研究报告称，伊斯兰世界对数学有过重要贡献。研究人员认为，中世纪伊斯兰世界的外墙砖设计图案说明它们的设计者掌握了西方世界500年后才掌握的数学概念。（中世纪的工匠用直尺和圆规来完成复杂的多边形图案，是“准晶体”设计

）57数学对人类科学的贡献（六）美国哈佛大学日前发表一份研究报告称

思考题1.证明:素数有无穷多个.2.证明:3.证明:10个同学住在三个房间中,必有一个房间至少住有4个同学.58思考题58

数学的魅力59数学的魅力1你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然的美；那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的层次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。数学，有无穷的魅力！

60你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；一、渔网的几何规律

用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网，无论你织一片多大的网，它的结点数(V)，网眼数(F)，边数(E)都必定适合下面的公式：V+F–E=161一、渔网的几何规律用数学方法可以证明，无多面体的欧拉公式

V+F–E=262多面体的欧拉公式V+F–E=24

数学就有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变得简明，把看起来混乱的事物理出规律。63数学就有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变二、济南市

至少有两个人头发根数一样多“存在性命题”：济南市一定存在两个头发根数一样多的人。对于存在性命题，通常有两类证明方法：一类是构造性的证明方法，即把需要证明存在的事物构造出来，便完成了证明；一类是纯存在性证明，并不具体给出存在的事物，而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。

64二、济南市

至少有两个人头发根数一样多“存在性命题”：济南例如“任意两个正整数都存在最大公约数”这个存在性命题，我们可以用“辗转相除法”给出构造性的证明，在证明最大公约数存在的同时，也给出了求最大公约数的方法。(例：（210，1950）=30)再例如“连续函数如果在两个端点反号，则中间一定存在零点”这个存在性命题，我们在教材中看到的和在课堂上听到的，往往是纯存在性证明，证明了零点的存在，但并不给出找到零点的方法。65例如“任意两个正整数都存在最大公约数”这个存在性命题，我们济南市

至少有两个人头发根数一样多构造性证明：

一个一个地去数济南市中所有人的头发根数，一定可以找到两个具体的人，不妨称之为张三和李四，他们的头发根数一样多，便完成了证明。66济南市

至少有两个人头发根数一样多构造性证明：8济南市

至少有两个人头发根数一样多纯存在性证明

：“抽屉原理”

证明“367个人中至少有两个人的生日是相同的”

证明“济南市一定存在两个头发根数一样多的人”

67济南市

至少有两个人头发根数一样多纯存在性证明：9对于这个命题，纯存在性证明的方法，比用构造性证明的方法更可靠。68对于这个命题，纯存在性证明的方法，比三、圆的魅力

车轮，是历史上最伟大的发明之一圆，是平面图形中对称性最强的图形周长与直径之比是一个常数这个常数是无理数、超越数面积相等的图形中圆的周长最短规尺作图化圆为方不可做69三、圆的魅力车轮，是历史上最伟大的发明之一11四、“三角形三内角之和等于180度，

这个命题不好”

这句话是1978年数学大师陈省身先生在北京大学的一次演讲中说的，后来又多次说过。所以，这不是随便说的一句话。陈先生并没有说“三角形三内角之和等于180度，这个命题不对”，而是说“这个命题不好”。

70四、“三角形三内角之和等于180度，

这个命题不好”这句话三角形三内角之和=180度n边形n内角之和=？n边形n内角之和=180度×(n–2)

71三角形三内角之和=180度13n边形n外角之和=360度不变量曲边形（向量组的秩；矩阵的秩）

72n边形n外角之和=360度14高斯－博内公式当积分区域是整个闭曲面M时，有=2πχ（M）

其中k是高斯曲率，χ（M）是M的欧拉示性数。这一高斯－博内公式的左面是一个由局部性质（曲率）表示的量，但是，公式的右面却只和曲面整体的拓扑不变量。高斯－博内公式的重要意义在于：它用曲面的局部不变量刻画了整体性质。73高斯－博内公式15

五、图论与哥尼斯堡七桥问题

(“抽象”的典型，图论的起源)

74

五、图论与哥尼斯堡七桥问题

(“抽象”的典型，图论的起源)7517四色问题

四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英国大学生F．古色利提出。他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德里克。弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰出的英国数学家德·摩根，希望帮助给出证明。76四色问题四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于185

德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少要四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。

77德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少要四种颜但德·摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他数学家,其中包括著名数学家哈密顿。但这个问题当时没有引起数学家的重视。直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后，认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在《伦敦数学会文集》上发表了一篇《论地图着色》的文章,才引起了更大的注意。78但德·摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他数学家,1879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上发表论文，宣布证明了“四色猜想”。但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的证明中有严重错误。

791879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上发表论文，宣一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难，这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小并不重要,重要的是它们的相互位置。下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上看,问题的实质在于地图的“拓扑结构”。

80一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难，这引起了一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研究,获得了一系列成果。1920年弗兰克林证明了,对于不超过25个国家的地图,四色猜想是正确的。1926年雷诺兹将国家的数目提高到27个。1936年弗兰克林将国家的数目提高到31个。1968年挪威数学家奥雷证明了,不超过40个国家的地图可以用四种颜色着色。但是，他们都没有最终证明“四色猜想”。

81一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研究,获得了一系列四色问题的解决直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。到1976年6月,他们终于获得成功。他们使用了3台IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证明了四色猜想。82四色问题的解决直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时,当地邮局特地制作了纪念邮戳"四色足够"(FOURCOLORSSUFFICE)，加盖在当时的信件上。

83这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时,当地邮局特地拓展了人们对“证明”的理解由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学家从数学及哲学方面对“证明”的思考。84拓展了人们对“证明”的理解由于这是第一次用计算机证明数学定理六、素数的奥秘自然数是整个数学最重要的元素。自然数中有一种特别基本又特别重要的数，称为“素数”。素数是大于1的自然数中，只能被自己和1整除的数；大于1的自然数中不是素数的都称为“合数”；1则既不是素数也不是合数。85六、素数的奥秘自然数是整个数学最重要的元素。27由于在大于1的自然数中，素数的因子最少，所以素数是特别简单的数。又由于一切大于1的自然数都能够从素数通过乘法得到，所以素数又是特别基本的数。素数很早就被古希腊的数学家所研究。2300多年前欧几里得的几何《原本》第9卷的定理20，就给出了“素数有无穷多个”的漂亮证明。86由于在大于1的自然数中，素数的因子最少，所以素数是特别简单的但是，素数的有些规律，表述出来很容易听懂，研究起来却出人意料地困难。（当然，素数的有些规律表述出来也是相当复杂的。）关于素数的规律，人类有许多的“猜想”。至今还有不少关于素数的重要猜想，既没有被证明，也没有被否定。有的猜想的解决，现在看来可能会十分遥远。有人甚至预言，“人类探寻素数规律的历史，将等同于人类的整个文明史”。87但是，素数的有些规律，表述出来很容易听懂，研究起来却出人意料三个关于素数规律的问题

从加法的角度研究素数从乘法的角度研究素数找一个公式来表示素数

88三个关于素数规律的问题从加法的角度研究素数30从加法的角度研究素数两个猜想：每个足够大的偶数都是两个素数的和；每个足够大的奇数都是三个素数的和。后一个猜想现在已被证明；前一个猜想至今却既没有人举出反例，也没有人给出证明。前者就是著名的“哥德巴赫猜想”。89从加法的角度研究素数两个猜想：31从乘法的角度研究素数算术基本定理：任一个大于1的自然数，都可以被表示为有限个素数（可以重复）的乘积，并且如果不计次序的话，表法是唯一的。算术基本定理早已被证明，但不是采用“构造性”的证明。未解之谜：这个问题是：对任一个大于1的自然数，试给出一个一般的方法，以便较快地找到有限个素数（可以重复），使它们的乘积等于那个预先写出的大于1的自然数。90从乘法的角度研究素数算术基本定理：任一个大于1的自然数，都可下面用“构造性”证明的思路，来试图找到解决的办法，同时也体会它的困难所在。91下面用“构造性”证明的思路，来试图找到解决的办解决问题的困难不严格的地方，或者说“跳步”的地方，就在最前面的两步。即，如何较快地判断“a是否素数”；及当判断出a不是素数后如何较快地找到b，得到a=b×c。解决问题的本质困难，也在这两个步骤。虽然现在有了高速计算机，但是对于很大的数a，例如200位的数a，这两步的计算仍然很费时日，以至于实际上是不可能解决问题的92解决问题的困难不严格的地方，或者说“跳步”的地方，就在最前面这样的困难，反倒给密码通讯提供了思路

a=b×c（b、c是两个很大的素数，比如都是100位的大素数

）在造密码时，你可以把a公开，但b、c对外保密，只有“我方”了解。必须知道b、c才能破译密码。“敌方”只知道a和密文，就无法了解密文的意思。要想破译密文，首先需要把a分解为b×c。但是因为a这个数很大，以及上面提到的本质困难，把a分解为b×c是很费时日的。

93这样的困难，反倒给密码通讯提供了思路a=b×c找一个公式来表示素数费马素数(1640年)

(n=0,1,2,3,4)梅森素数(1644年)

（n=2、3、5、7、13、17、31、67、127、257）“梅森数中是否有无穷个素数”的问题，也是未解之谜。梅森数与完全数的问题.94找一个公式来表示素数费马素数(1640年)36关于费马素数，n=5时，Fn=4294967297=641×6700417梅森的判断中有五个错误：n=67、257时Mn不是素数；而n=61、89、107时Mn是素数。

95关于费马素数，n=5时，37科尔：《大数的因子分解》1903年10月267—1193707721×761838257287267—1=193707721×761838257287科尔一言未发；会场上爆发了热烈的掌声。96科尔：《大数的因子分解》1903年10月267—七、“蒲丰投针”的故事

针长是行距的一半,投了2212次,其中与平行线相交的为704次.2212/704=3.142不同的问题可能存在联系97七、“蒲丰投针”的故事针长是行距的一半,投了2212次,其八、“化归”的方法

“化归”，是把未知的问题，转化为已知的问题；把待解决的问题，归结为已解决的问题，从而解决问题的过程。

波利亚：关于“烧水”的例子

98八、“化归”的方法“化归”，是把未知的问题，转化为已知的问九、体会公式中的数学美

可以从公式中，令=推出来。公式，用“等号”连接了数学中五个重要的常数，反映了数学的“统一美”。99九、体会公式中的数学美

M．克莱因（FelixKlein,1849－1925）：

音乐能激发或抚慰人的感情，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人聪慧，科学可以改善生活，而数学能做到所有这一切。100M．克莱因（FelixKlein,1849－1925）

二、数学的“用处”

1．不应实用主义地理解“用处”

数学有广泛的用途，但那不同于一般工具的“用处”；不像一把斧头，拿来便可砍柴。

101二、数学的“用处”43数学对人类文明的贡献（一）万有引力定律。基于开普勒行星运动的三大定律，牛顿发现了万有引力定律。他把其最重要的著作命名为《自然哲学的数学原理》，是因为他发现新宇宙的思维方式是数学的思维方式。在这本书中，牛顿用了大量“微积分”的知识和非常复杂的几何知识与技巧。有兴趣的同学可以阅读这本书。102数学对人类文明的贡献（一）万有引力定律。基于开普勒行星运动的数学对人类文明的贡献（二）相对论。爱因斯坦分别于1905年和1915年提出狭义相对论，广义相对论，这是对物理学的重大变革，其核心内容是时空观的改变。爱因斯坦的时空观认为时间和空间是相互联系的。四维空间的洛仑兹变换是这种数学模型的表现形式。103数学对人类文明的贡献（二）相对论。爱因斯坦分别于1905年和数学对人类文明的贡献（三）电磁波的发现。英国物理学家麦克斯韦概括了由实验建立起来的电磁现象规律，把这些规律表述为“方程的形式”，用纯粹数学的方法推导出可能存在着电磁波并且这些电磁波应该以光速传播者。据此，他提出了光的电磁理论。此外，他的结论还推动了人们去寻找纯电起源的电磁波。104数学对人类文明的贡献（三）电磁波的发现。英国物理学家麦克46数学对人类文明的贡献（四）最近，两位美国数学家解开了一个困扰科学界长达50年的“简单”问题：啤酒泡和肥皂泡在膨胀、收缩及合并时的数学规律。该研究成果将对工程学的泡沫材料设计、生物学的组织结构研究以及物理学的晶体颗粒排列探测产生深远的影响，相关论文发表在2007年4月26日的《自然》杂志上。（气泡胀大、收缩或者合并，背后的驱动力都是表面张力，气泡的变化，取决于表面总曲率

）

105数学对人类文明的贡献（四）最近，两位美国数学家解开了一个困扰数学对人类文明的贡献（五）神州六号的升空，宣告了我国具有制造和发射航天飞机的能力。在神舟六号的研制过程中，数学起了不可替代了作用，尤其是在轨道测算，时间测算等方面。106数学对人类文明的贡献（五）神州六号的升空，宣告了我国具有制造数学对人类文明的贡献（六）1973年，美国芝加哥大学学者f·布莱克与m·肖莱斯提出了布莱克－