2018-2019数学新学案同步必修二人教B版（鲁京辽）讲义：第一章 立体几何初步1.2.2 第1课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。2。2空间中的平行关系第1课时平行直线学习目标1。掌握空间中两条直线的位置关系,理解空间平行性的传递性.2.理解并掌握基本性质4及等角公理．知识点一基本性质41．文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．2．符号表达：eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（a∥b,b∥c））⇒a∥c.知识点二等角定理思考观察图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何？答案从图中可以看出,∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°。梳理等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同,那么这两个角相等．知识点三空间四边形顺次连接不共面的四点A，B，C,D所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点;所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．1．若AB∥A′B′,AC∥A′C′，则∠BAC＝∠B′A′C′。(×)2．没有公共点的两条直线是异面直线．(×)3．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(×)

类型一基本性质4的应用例1如图，在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是平行四边形，E，F,G,H分别为PA，PB，PC，PD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．解在△PAB中，因为E，F分别是PA，PB的中点，所以EF∥AB，EF＝eq\f(1，2）AB,同理GH∥DC,GH＝eq\f（1，2）DC.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,AB＝CD.所以EF∥GH，EF＝GH.所以四边形EFGH是平行四边形．反思与感悟证明两条直线平行的两种方法(1)利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点．（2)利用基本性质4：寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行，根据基本性质4，显然这两条直线平行．若题设条件中含有中点，则常利用三角形的中位线性质证明直线平行．跟踪训练1如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．证明设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1。又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1（基本性质4)．∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q.又∵Q,F是DD1,C1C的中点，∴QD綊C1F.∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q綊DF，∴B1E綊DF。∴四边形B1EDF为平行四边形．类型二等角定理的应用例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中,M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．求证：(1）四边形BB1M1M为平行四边形;(2)∠BMC＝∠B1M1C1.证明(1)在正方形ADD1A1中，M,M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形,∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.反思与感悟有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径（1）利用等角定理及其推论．（2)利用三角形相似．（3)利用三角形全等．本例是通过第一种途径来实现的．跟踪训练2已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD,AD的中点．求证:（1）四边形MNA1C1是梯形；（2)∠DNM＝∠D1A1C1。证明(1）如图，连接AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点,∴MN是△ACD的中位线,∴MN∥AC,MN＝eq\f（1，2)AC。由正方体的性质，得AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1，2)A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1）可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1,∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角,∴∠DNM＝∠D1A1C1。

类型三空间四边形的认识例3如图，设E,F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC,CD,DA上的点，且eq\f（AE,AB)＝eq\f（AH,AD）＝λ，eq\f（CF,CB）＝eq\f(CG，CD）＝μ，求证：（1）当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形；(2)当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形．证明（1）∵eq\f(AE，AB）＝eq\f（AH,AD)＝λ，∴EH∥BD，∴eq\f（EH,BD）＝λ.同理，GF∥BD,eq\f（GF,BD)＝μ。又∵λ＝μ，∴EH＝GF，∴EH綊GF。∴四边形EFGH是平行四边形．(2）由（1）知EH∥GF,又∵λ≠μ,∴EH≠GF.∴四边形EFGH是梯形．反思与感悟因空间图形往往包含平面图形,在解题时容易混淆,所以把相似的概念辨析一下，区分异同，有利于解题时不出错，如本例中明确给出了“空间四边形ABCD"，不包含平面四边形，说明“A，B，C，D四点必不共面",不能因直观图中AD与BC看似平行的关系认为它们是平行的．跟踪训练3已知空间四边形ABCD中，AB≠AC，BD＝BC，AE是△ABC的边BC上的高，DF是△BCD的边BC上的中线,判定AE与DF的位置关系．解由已知，得E，F不重合．设△BCD所在平面为α,则DF⊂α，A∉α，E∈α，E∉DF,所以AE与DF异面．1．直线a∥b，直线b与c相交，则直线a，c一定不存在的位置关系是(）A．相交B．平行C．异面D．无法判断答案B解析如图，a与c相交或异面．2．下列四个结论中假命题的个数是（）①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行;③若直线a，b,c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．A．1B．2C．3D．4答案B解析①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点,此时c、d异面；当点A在直线l1上运动（其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形,如图乙所示，此时c、d共面相交．3．下列结论正确的是（）A．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C．空间四边形的两条对角线可以相交D．空间四边形的两条对角线不相交答案D解析空间四边形的四个顶点不在同一平面上,所以它的对角线不相交,否则四个顶点共面，故选D。4．下面三个命题,其中正确的个数是()①三条相互平行的直线必共面；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形．A．1B．2C．3D．0答案D解析空间中三条平行线不一定共面，故①错;当把正方形沿对角线折成空间四边形，这时满足两组对边分别相等，也满足有一组对角都是直角，故②、③都错,故选D。5．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形(）A．全等 B．不相似C．仅有一个角相等 D．相似答案D解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D。1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外,我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型,比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．3．注意：等角定理的逆命题不成立．一、选择题1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°,则∠PQR等于（）A．30° B．30°或150°C．150° D．以上结论都不对答案B解析由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故答案为B。2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（)A．一定平行 B．一定相交C．一定异面 D．相交或异面答案D3．若∠AOB＝∠A1O1B1,且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行答案D解析等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB与O1B1有可能平行，也可能不在同一平面内,位置关系不确定．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是（）A．相交 B．异面C．平行 D．垂直答案C解析如图,连接AD1，CD1，AC,则E,F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理知，EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH,故选C.5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是（)A．正方形 B．菱形C．矩形 D．空间四边形答案B解析设正方体棱长为2,直接计算可知四边形D1PBQ各边均为eq\r(5）,又D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．6.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中(如图)，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是（)A．l与AD平行B．l与AD不平行C．l与AC平行D．l与BD垂直答案A解析假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1知，l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，所以l与AD不平行．7．长方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱中，所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有()A．6条B．8条C．10条D．12条答案B解析所在直线与棱AA1所在直线垂直的有AB,BC，CD，DA,A1B1，B1C1,C1D1，D1A1，共8条．8．异面直线a,b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a,b的关系是（)A．c与a，b都相交B．c与a,b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交答案D解析若c与a,b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c。由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图,只有以下三种情况．二、填空题9．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β＝________。答案60°或120°10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________;(2）直线A1B与直线B1C的位置关系是________；（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是________；（4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．答案（1）平行(2）异面(3)相交（4）异面11．a，b，c是空间中三条直线，下面给出几个说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；③若a,b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．则上述说法中正确的为________．（仅填序号）答案①解析由基本性质4知①正确．若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行，也可能相交或异面，②错误；若平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β,a∥l,b∥l，则a∥b，③错误．三、解答题12.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．解如图所示，在面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．理由:因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.13.如图所示,两个三角形△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O,且eq\f（AO，A′O)＝eq\f(BO,B′O）＝eq\f（CO,C′O）＝eq\f（2,3）。(1)证明：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′；(2)求eq\f(S△ABC，S△A′B′C′）的值．（1)证明∵AA′与BB′相交于O点，且eq\f（AO，OA′）＝eq\f（BO,OB′），∴AB∥A′B′.同理AC∥A′C′,BC∥B′C′.（2）解∵AB∥A′B′，AC∥A′C′且AB和A′B′，AC和A′C′的方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′，因此△ABC∽△A′B′C′，又eq\f（AB,A′B′)＝eq\f(AO，A′O)＝eq\f（2,3）。∴eq\f（S△ABC，S△A′B′C′）＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（2，3))）2＝eq\f（4，9）.四、探究与拓展14.如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M，N分别为AB,CD的中点，则下列结论正