平面第二型曲线积分解题思路与计算技巧

STUDIESINCOLLEGEMATHEMA

Vol.13,No.Mar.摘要 对平面第二型曲线积分LP(x,y)dx+Q(x,y)dy的计算进行归纳,给出计算平面第二型曲线积分的平面第二型曲线积分;解题思路;计算技巧. F沿有向曲线L移动所作的功.由于力是变的,曲线是有向的,以其计算较为复杂本文归纳了平面第二型曲线积分1

x=12LP(x,y)dx+Q(x,y)d

AC: y=2x-1x11)2的解题思路与技巧曲线积分(1)的计算可以分为直接计算和间

CB y=1-2xx2

-1)--与路径无关定理和定理因此可以将第二型曲线积分的

A

|x-y|dx+sin(πx)dy12|x-(2x-1)|dx1

1212sin(πx)dx第一步(描述):L化范围,此范围一般不用不等式表示,而应

-1-2 ,数,与第一型曲线积分不同的是,在第二型曲线积 中可能出现α>β的情况第二步(代入):L转化α和β分别为积分下限和积分上限.例 计

|x-y|dx+sin(πx)dy-1|x-(1-2x)|dx2-1(-2)sin(πx)dx2-65-2 L|x-y|dx+sin(x)dyy=|2x-1A(11)B-13)

于是以上两式相加L|x-y|dx+sin(πx)dy-17-4部分,如图1所示 |2x-1|=0解得分界点C对应的横坐标 图收稿日期:2009-08-10修改日:2009-12-作者简介:(1980-),男,广西梧州人,,讲师,从事高等数学、 :ffeng@126.com

使用直接计算的方法时,如被积表达式中有绝对0分段计算适1. 应用定理[4由于定理建立起平面区域D上的二重积第13卷第2 D的边界曲线L上的第二型曲线积分之间的联,所以可以应用定理来简化某些第二型曲线积分例 I=C(esiny-my)dx+(ecosy-m)dyC2Aa0)O(00)x2+y2=ax(y≥0,a>0)

应用与路径无关定理[4积函授函数有关,还与积分路径有关,这就决定了应用公式计算第二型曲线积分时,如果积分路径不规则,即使(2),也难以计算.设想如果积分与路径无关就可以选取恰当的路径进行积分.例 计算(x-y)dx+(x+y)dP=exsiny-myQ=excosy-m则

I=

x2+ y=2x2-5Q=excosy55P=excosy-m5

A-10)B(10)5Q-5P=5 5OA y=0x0a)I=C+OA(exsiny-my)dx+(excosy-m)dyOA(exsiny-my)dx+(excosy-m)dy σ (exsin0-m·0)dxmDσ

此题不宜直接计算.易验证(2)式为零,满足与路径无关定理,可改变路径,新路径常选为直段和铅垂线段,有时选择圆弧也是很好的方案应用公式计算第二型曲线积分时,应当检验是否满足公式的两个条件:D是由分段光滑曲LL的方向为正方向;Pxy)Q(xy)上具有一阶连续偏导数

x=costy=sintt由π 虽 I

dt=为平面区域上的二重积分的计算,但是如果这个二重D是不规则的区域,那么转化得到的二重积分的计算未必比原第二型曲线积分简单.因此只有当

可用流程图(4)表示(1)式的解题思路质可以使(1)的计算变得简便.5Q-5 2. 5 5比较简单且适于二重积分计算时,使用公式才能另外,在使用公式时,特别需要注意如下三:如果所给曲线不是封闭,封闭后再使用格林公式;如果L是反向的,则在使用公式时要补上一个负号;如果P(xy)Q(xy)有偏导数不连

与一元定积分中的-公式类似由曲线积分与路径无关性的四个等价命题知,如果存在一个二元函数u(x,y)在D内每一点均有du=Pdx+Qdy因此在计算第二型曲线积分时,只要凑出了原函, 2010年3例 I e[e(x-y+2)+y]dx+e[e(x-y)+Cx x

5所示

(x2+y2)2=x2-y2C

x=

直接利用命题1和命题2得:I= 由点(00)至点(11)的弧段 因ex[ey(x-y+2)+y]dx+ex[ey(x-y)+1]dyex+y(x-y)d(x+y)+2ex+ydx+d(exy)-ex+y(x+y)d(x+y)+2(xdex+y+ex+ydx)+d(exy)d[ex+y-(x+y)ex+y+2xex+y+yex]

x,y应满足积分曲线的方程,因此可以利用代入技巧,代入被积表从而达到化简计算的目的.6故所求积分与路径无关,

(1

I=AB

dx+d |x|+|yI=[ex+y-(x+y)ex+y+2xex+y+yexe2+e-12

(0

ABCDAA(-1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-命题1 设L关于y轴对称(L1表示L在y轴右侧的部分),则有

|x|+|y|=1

Qxydy,Qx为奇函数

ABLQ(x,y)dy 0 Qx为偶函数命题2 设L关于x轴对称(L2表示L在x轴上方的部分),则有

I d(x+y)=0[1].大学生数学竞赛试题入学考试难题解L

L1PxydxPx为奇函数0 Px为偶函数

选编[M].:机械工业富景龙.数学试题精选与大体技巧[M