高中数学人教A版选修2-2学案(合情推理、演绎推理、综合法、法)

第8课时合情推理、演绎推理、综合法、分析法合情推理：一、归纳推理例1．已知数列的第1项，且，试归纳出这个数列的通项公式。例2、设f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.3、已知：，。观察上述三等式的规律，请你猜想出一般性的结论：__________________________。二类比推理：1．类比等差数列的性质，写出等比数列的类似性质等差数列等比数列若，，则，平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使．类比“平面向量基本定理”，写出空间向量基本定理．3．半径为R的圆的面积，周长若将R看作上的变量，则可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。类比，对于半径为R的球，若将R看作上的变量，则_______________，可用语言叙述为：______。2.1.2演绎推理◆应用示例例1．如图所示，在锐角三角形ABC中，,，D、E是垂足。求证AB的ABAABACADCAECAMCA例2.证明函数在内是增函数。例3、已知函数f(x)＝－eq\f(\r(a),ax＋\r(a))(a>0，且a≠1).(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2))对称；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值.【合情推理与演绎推理巩固练习】1.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于 ()A.28 B.76 C.123 D.1992.定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：1*1=1，（2）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于 ()A.n B.n＋1 C.n－1 D.n23.下列推理是归纳推理的是 ()A.A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆B.由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面积S＝πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4.已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B.∴a<b，其中，画线部分是演绎推理的 ()A.大前提 B.小前提 C.结论 D.三段论5.若数列{an}是等差数列，则数列{bn}(bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n))也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为 ()A.dn＝eq\f(c1＋c2＋…＋cn,n) B.dn＝eq\f(c1·c2·…·cn,n)C.dn＝eq\r(n,\f(c\o\al(n,1)＋c\o\al(n,2)＋…＋c\o\al(n,n),n)) D.dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)综合法◆应用示例例1．在中，三个内角A、B、C的对边分别为，且A,B,C成等差数列，三边成等比数列，求证为等边三角形。例2：求证例3：对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝eq\r(x)(x∈[0,1])是否是理想函数.◆反馈练习1．求证：对于任意角2．求证：3、定义：若数列{An}满足An＋1＝Aeq\o\al(2,n)，则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中，a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x的图象上，其中n为正整数，证明：数列{2an＋1}是“平方递推数列”.4.已知，则a与b的大小关系是（）.A.B.C.D.无法判断5.设x,y为正数,则的最小值为（）.A.8B.9C.12D.以上都不对2.2.分析法、反证法（二）◆应用示例例1．已知，且，求证：。跟踪训练1．已知，求证：。【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.跟踪训练3在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：∠B<90°.【综合法、分析法、反证法】巩固练习1.若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是 ()A.lg(1＋a2)>0 B.a2＋b2≥2(a－b－1)C.a2＋3ab>2b2 D.eq\f(a,b)<eq\f(a＋1,b＋1)2.在△ABC中，sinAsinC<cosAcosC，则△ABC一定是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定3.已知m>1，a＝eq\r(m＋1)－eq\r(m)，b＝eq\r(m)－eq\r(m－1)，则以下结论正确的是 ()A.a>b B.a<b C.a＝b D.a，b大小不定4.已知a>0，b>0，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)的最小值是 ()A.2 B.2eq\r(2) C.4 D.55.用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为 ()A.a，b都能被3整除 B.a，b都不能被3整除C.b不能被3整除 D.a不能被3整除6.eq\r(6)＋eq\r(7)与2eq\r(2)＋eq\r(5)的大小关系为__________________.7.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________.第9课时数学归纳法[教学重点]数学归纳法原理、步骤及应用[教学难点]理解数学归纳法的原理，能准确使用证明格式。

一知识总结1数学归纳法证明步骤:①验证当n取第一个值时命题成立,这是推理的基础;②假设当n=k时命题成立.在此假设下,证明当时命题也成立是推理的依据.eq\o\ac(○,3)由①②得出结论..特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立,注意不一定为1;(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k到k+1时命题的变化2.探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）:观察,归纳,猜想,推理论证.二.基本题型

①证明等式

例1.用数学归纳法证明：当n∈N*时，

练习1.证明2.证明不等式例3.求证：.（n∈N*）练习设a＝++…+(n∈N*)，求证：a<(n＋1).提示：a<(k＋1)+＝(k+1)+<(k+1)+(k+)＝(k+2)小结：放缩法，对比目标发现放缩途径.3.与数列有关的证明题例2已知数列满足：，且.⑴求；⑵由⑴猜想的通项公式；⑶用数学归纳法证明⑵的结果变式：1已知数列，猜想的表达式，并证明.（试值→猜想、归纳→证明）4．整除问题证明(3n+1)7n-1（n∈N*）能被9整除。三课后练习1．若f（n）=1+（n∈N*），则当n=1时，f（n）为（A）1 （B）（C）1+（D）非以上答案2．用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边计算所得的项是（A）1 （B）1+a（C）1+a+a2 （D）1+a+a2+a33.用数学归纳法证明1－＋－,则从k到k＋1时,左边应添加的项为(A)(B)(C)－(D)－4．某个命题与自然数n有关，如果当n=k（k∈N*）时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立．现在已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（A）当n=6时该命题不成立；（B）当n=6时该命题成立（C）当n=4时该命题不成立（D）当n=4时该命题成立5.则Sk+1=(A)Sk+(B)Sk+(C)Sk+(D)Sk+6．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n123…(2n─1)(n∈N),从“k到k+1”左端应增乘