2018-2019学年北师大版数学选修4-5同步指导学案：第二章 几个重要的不等式 滚动训练三（§1～§2）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精滚动训练三（§1～§2)一、选择题1．已知a,b是给定的正数，则eq\f(4a2，sin2α）＋eq\f（b2，cos2α)的最小值为()A．2a2＋b2 B．2abC．(2a＋b)2 D．4ab答案C解析eq\f（4a2,sin2α)＋eq\f(b2，cos2α）＝（sin2α＋cos2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（4a2，sin2α)＋\f（b2,cos2α）)）≥eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（sinα·\f(2a，sinα）＋cosα·\f（b,cosα)))2＝（2a＋b)2，当且仅当sinα·eq\f(b,cosα)＝cosα·eq\f（2a，sinα)时，等号成立．故eq\f（4a2,sin2α)＋eq\f（b2,cos2α）的最小值为(2a＋b)2。2．已知a，b,c为正数且a＋b＋c＝3eq\r（2）,则eq\r(a2＋b2）＋eq\r(b2＋c2）＋eq\r（c2＋a2)的最小值为()A．4B．4eq\r(2)C．6D．6eq\r(2）答案C解析∵a，b,c为正数，∴eq\r（2)eq\r（a2＋b2)＝eq\r（1＋1)eq\r(a2＋b2)≥a＋b。同理eq\r（2）eq\r（b2＋c2）≥b＋c，eq\r(2)eq\r（c2＋a2)≥c＋a，相加得eq\r(2)(eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2）＋eq\r(c2＋a2））≥2(b＋c＋a）＝6eq\r（2），即eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2）≥6,当且仅当a＝b＝c＝eq\r(2)时取等号．3．已知(x－1)2＋(y－2)2＝4，则3x＋4y的最大值为()A．21B．11C．18D．28答案A解析根据柯西不等式,得[(x－1)2＋(y－2)2][32＋42]≥[3（x－1)＋4（y－2）］2＝（3x＋4y－11)2，∴（3x＋4y－11）2≤100.可得3x＋4y≤21，当且仅当eq\f（x－1，3）＝eq\f(y－2，4）＝eq\f(2，5)时取等号．4．已知x＋y＋z＝1，则2x2＋3y2＋z2的最小值为()A。eq\f（2，11) B。eq\f（3,11）C.eq\f(5,11) D。eq\f(6，11）答案D解析∵eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x2＋3y2＋z2))·eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)＋\f（1,3）＋1)）≥（x＋y＋z)2＝1,∴2x2＋3y2＋z2≥eq\f(6，11)。当且仅当eq\f（\r（2）x，\f（1，\r（2)))＝eq\f（\r(3)y,\f（1,\r（3)))＝eq\f(z，1）时，等号成立．5．已知x，y，z∈R＋,且eq\f（1,x)＋eq\f（2,y）＋eq\f（3，z）＝1，则x＋eq\f（y，2)＋eq\f(z，3)的最小值为(）A．5B．6C．8D．9答案D解析由柯西不等式知，eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，x）＋\f(2,y）＋\f(3，z)）)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(y,2)＋\f(z，3)))≥(1＋1＋1）2＝9，因为eq\f(1，x)＋eq\f(2，y)＋eq\f(3，z)＝1，所以x＋eq\f(y，2）＋eq\f（z,3）≥9.即x＋eq\f(y,2)＋eq\f(z，3）的最小值为9.6．设c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的某一排列(a1,a2，…，an均为正数),则eq\f(a1，c1)＋eq\f（a2，c2)＋…＋eq\f（an,cn）的最小值是(）A．n B。eq\f（1，n)C。eq\r(n） D．2n答案A解析不妨设a1≥a2≥…≥an＞0，则eq\f(1，a1）≤eq\f(1,a2)≤…≤eq\f（1，an)，由排序不等式知，eq\f(a1，c1)＋eq\f（a2，c2）＋…＋eq\f(an，cn)≥a1·eq\f（1，a1)＋a2·eq\f（1，a2）＋…＋an·eq\f（1，an)＝n.二、填空题7．函数y＝3sinx＋2eq\r(21＋cos2x)的最大值是________．答案5解析y＝3sinx＋2eq\r（21＋cos2x)＝3sinx＋4eq\r（cos2x）≤eq\r(32＋42sin2x＋cos2x）＝5，当且仅当3｜cosx|＝4sinx时等号成立．8．设x，y,z∈R,若x2＋y2＋z2＝4，则x－2y＋2z的最小值为________．答案－6解析由柯西不等式,得(x2＋y2＋z2)［12＋（－2）2＋22］≥(x－2y＋2z）2,故（x－2y＋2z)2≤4×9＝36.当且仅当eq\f(x，1）＝eq\f（y,－2)＝eq\f（z,2）＝k,k＝±eq\f(2，3)时，上式取得等号，当k＝－eq\f(2，3）时，x－2y＋2z取得最小值－6.9．已知点P是边长为2eq\r(3)的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x，y,z，则x，y，z所满足的关系式为________，x2＋y2＋z2的最小值是________．答案x＋y＋z＝33解析利用三角形面积相等，得eq\f（1,2）×2eq\r（3)（x＋y＋z)＝eq\f（\r(3),4）×（2eq\r（3)）2,即x＋y＋z＝3.由(1＋1＋1)(x2＋y2＋z2）≥（x＋y＋z)2＝9，得x2＋y2＋z2≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号．10．已知2x＋3y＋z＝8，则当x2＋y2＋z2取得最小值时，x，y，z形成的点（x，y,z)＝______.答案eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（8，7)，\f（12，7)，\f（4,7）））解析由柯西不等式，得(22＋32＋12）（x2＋y2＋z2)≥（2x＋3y＋z)2,即x2＋y2＋z2≥eq\f(82,14）＝eq\f（32，7).当且仅当eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝z时等号成立．又2x＋3y＋z＝8，解得x＝eq\f(8,7），y＝eq\f(12，7),z＝eq\f(4，7)，所以所求点为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(8，7)，\f（12,7)，\f(4,7）））.三、解答题11．已知实数a，b,c满足a＋2b＋c＝1,a2＋b2＋c2＝1，求证：－eq\f(2，3）≤c≤1。证明因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2.由柯西不等式，得(12＋22）（a2＋b2）≥（a＋2b)2，5(1－c2)≥(1－c)2,所以3c2－c－2≤0，解得－eq\f（2，3)≤c≤1。12．设a1,a2,…，an是1,2，…,n的一个排列，求证：eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＋…＋eq\f（n－1,n)≤eq\f(a1，a2)＋eq\f(a2,a3）＋…＋eq\f(an－1，an）.证明设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排列，且b1＜b2＜…＜bn－1;c1，c2，…，cn－1是a2，a3，…,an的一个排列，且c1＜c2＜…＜cn－1，则eq\f(1，c1）＞eq\f（1,c2)＞…＞eq\f(1,cn－1）且b1≥1,b2≥2，…，bn－1≥n－1,c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n.利用排序不等式,有eq\f(a1,a2）＋eq\f（a2,a3)＋…＋eq\f（an－1，an）≥eq\f(b1,c1）＋eq\f(b2，c2）＋…＋eq\f（bn－1，cn－1）≥eq\f(1，2）＋eq\f(2,3)＋…＋eq\f（n－1,n)。∴原不等式成立．13．设a，b，c，d∈R＋，令S＝eq\f(a，a＋d＋b)＋eq\f（b,b＋c＋a)＋eq\f(c,c＋d＋b）＋eq\f（d,d＋a＋c），求证：1＜S＜2.证明首先证明eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m)（a＞b＞0，m＞0)．因为eq\f（b,a)－eq\f（b＋m,a＋m)＝eq\f（ba＋m－ab＋m,aa＋m)＝eq\f(mb－a,aa＋m）＜0，所以S＝eq\f(a，a＋d＋b)＋eq\f（b，b＋c＋a）＋eq\f(c,c＋d＋b)＋eq\f(d，d＋a＋c）＜eq\f(a＋c,a＋b＋d＋c）＋eq\f(b＋d，b＋c＋a＋d)＋eq\f（c＋a,c＋d＋b＋a）＋eq\f(d＋b,d＋a＋c＋b）＝eq\f（2a＋b＋c＋d，a＋b＋c＋d)＝2，所以S＜2。又S＞eq\f（a，a＋b＋d＋c）＋eq\f(b，b＋c＋a＋d）＋eq\f（c，c＋d＋b＋a）＋eq\f（d，d＋a＋c＋b）＝eq\f(a＋b＋c＋d，a＋b＋c＋d）＝1，所以1＜S＜2.四、探究与拓展14．已知5a2＋3b2＝eq\f(15，8）,则a2＋2ab＋b2的最大值为______．答案1解析∵eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r（5)，5)))2＋\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r（3）,3）))2））[（eq\r(5）a)2＋（eq\r（3）b)2]≥eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r(5），5)×\r(5)a＋\f（\r（3)，3)×\r（3)b))2＝（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，当且仅当5a＝3b，即a＝eq\f（3，8)，b＝eq\f（5，8)时取等号．∴eq\f(8，15）×(5a2＋3b2)≥a2＋2ab＋b2.∴a2＋2ab＋b2≤eq\f(8，15）×（5a2＋3b2)＝eq\f（8,15)×eq\f(15,8)＝1，∴a2＋2ab＋b2的最大值为1。15．已知a，b，c均为实数，且a＋b＋c＋2－2m＝0,a2＋eq\f（1，4）b2＋eq\f（1,9）c2＋m－1＝0.（1）求证：a2＋eq\f(1,4）b2＋eq\f（1,9）c2≥eq\f(a＋b＋c2,14);(2)求实数m的取值范围．（1）证明由柯西不等式得eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（a2＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)b)）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，3)c）)2)）·(12＋22＋32)≥(a＋b＋c)2，当且仅当a＝eq\f（1,4)b＝eq\f(1,9）c时,等号成立，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,4）b2＋\f（1,9）c2）)×14≥(a＋b＋c)2，∴a2＋eq\f(1，4）b2＋eq\f(1,9)c2≥eq\f(a＋b＋c2,14）.（2)解由已知得a＋b＋c＝2m－2，a2＋eq\f（1，4)b2＋eq\f(1，9)c2