圆和直角三角形

题目：解直角三角形中考要求：考试内容考试要求ABC解直角三角形勾股定理及其逆定理已知直角三角形的两边长，会求第三边长会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形锐角三角函数了解锐角三角函数（sinA,cosA,tanA）；知道30°、45°、60°角的三角函数值由一个角的三角函数，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有30°、45°、60°角的三角函数式的值能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能够根据具体问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决问题教学建议：本单元建议使用3课时第一课时：复习内容：三角函数的概念，特殊角的三角函数值，解直角三角形复习建议：（一）知识梳理：1、锐角三角函数定义：在△ABC中，∠C=90°，，，2、特殊角的三角函数值角度三角函数30°45°60°13、解直角三角在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c.则锐角之间：∠A+∠B=90°.三边之间：；边角之间：；.4.勾股定理逆定理(二)相关题目:1、计算：含有30°、45°、60°角的三角函数式的值的计算2、在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)已知，求tanA;(2)已知,c=12,求b;(3)已知，,求a;(4)已知,c=18,求a.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题3、如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上的中点，DE⊥AB于E,若,BE=7，求DE的长.本题是利用公共角∠A，通过设k的思想解决问题4、在△ABD中，，,,求AC的长.本题是解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题（这几道题可做为例题）AB1056吸管5.如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：㎝)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13㎝，小孔到图中边AB距离为1㎝，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为AB1056吸管6.如图，在△中，∠=90°，sin=，=15，求△的周长和tan的值．7．如图（3）AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4，则sinB=BDCAA、B、Ｃ、Ｄ、BDCA8.如图，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=，BD=520m，∠D=，如果要使A，C，E成一直线，求开挖点E离D的距离(精确到1m).MNBA9.《中华人民共和国道路交通管理条理》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过千米/时．”如图所示，已知测速站到公路的距离为30米，一辆小汽车在公路上由东向西行驶，测得此车从点行驶到点所用的时间为2秒，并测得，．计算此车从到的平均速度为每秒多少米（结果保留两个有效数字），并判断此车是否超过限速．（参考数据：，）MNBA10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD，cosB=，BC=26．CBADCBAD11．某工厂接受一批支援四川省汶川灾区抗震救灾帐篷的生产任务．根据要求，帐篷的一个横截面框架由等腰三角形和矩形组成（如图所示）．已知等腰的底角，且，矩形的边，这个横截面框架（包括）所用的钢管总长为15m，求帐篷的篷顶到底部的距离．（结果精确到0.1m）（这几题可做为练习）建议：本课时的题目不宜太难，让学生掌握方法.第二课时：复习内容：解直角三角形的应用要点：仰角、俯角、坡角、坡度、方位角的概念；将实际问题转化成数学问题.DBCA60米１.如图，小明在楼顶处测得对面大楼楼顶点处的仰角为52°，楼底点处的俯角为13°．若两座楼与相距60米，则楼的高度约为米．（结果保留三个有效数字）（，，，，，）DBCA60米２.如图，甲船在港口的北偏西方向，距港口海里的处，沿方向以12海里/时的速度驶向港口．乙船从港口出发，沿北偏东方向匀速驶离港口，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（精确到0.1海里/时，参考数据，）AAP东北３.如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：≈1.414，≈1.732（以上可做为例题）4.由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD.EDCAEDCAB仰角∠AEC＝33°，小王与旗杆的水平距离BD＝10，眼睛与地面的高度ED＝1.6，求旗杆AB的高度（精确到0.1米）．6.我市准备在相距2千米的A、B两工厂间修一条笔直的公路，但在B地北偏东60°方向、A地北偏西45°方向的C处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（见下图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：）7.如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）8.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：）CCAB9.某校九年级（2）班在测量校内旗杆高度的数学活动中，第一组的同学设计了两种测量方案，并根据测量结果填写了如下《数学活动报告》中的一部分．数学活动报告活动小组：第一组活动地点：学校操场活动时间：××××年××月××日年上午9：00活动小组组长：×××课题测量校内旗杆高度目的运用所学数学知识及数学方法解决实际问题——测量旗杆高度方案BABACDMN方案二方案三示意图DDAMCNGB测量工具皮尺、测角仪皮尺、测角仪测量数据：，，，，计算过程（结果保留根号）解：解：测量结果（1）请你在方案一二中任选一种方案（多选不加分），根据方案提供的示意图及相关数据填写表中的计算过程、测量结果．（2）请你根据所学的知识，再设计一种不同于方案一、二的测量方案三，并完成表格中方案三的所有栏目的填写．（要求：在示意图中标出所需的测量数据？长度用字母……表示，角度用字母……表示）．10.又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为乙：我站在此处看塔顶仰角为甲：我们的身高都是1.5m乙：我们相距20m请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度（精确到1米）．11.如图，山脚下有一棵树AB，小华从点B沿山坡向上走50米到达点D，用高为1.5米的测角仪CD测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB的高．(精确到0．1米12..曙光中学需制作一副简易篮球架，如图是篮球架的侧面示意图，已知篮板所在直线AD和直杆EC都与BC垂直，BC＝2.8米，CD＝1.8米，∠ABD＝40°，求斜杆AB与直杆EC的长分别是多少米？（结果精确到0.01米）DCBADCBAE13..如图，已知某水库大坝迎水坡AB的坡角α=47°，PQ为水库水面（点P在AB上），AE⊥PQ于E，PA=20米，求水深EA（精确到0.1米）14.港口B位于港口O正西方向120海里外,小岛C位于港口O北偏西60°的方向.一艘科学考察船从港口O出发,沿北偏东30°的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B出发,沿北偏东30°的方向以60海里/小时的速度驶向小岛C,在小岛C用1小时装补给物资后,立即按原来的速度给考察船送去.快艇从港口B到小岛C需要多少时间?快艇从小岛C出发后最少需要多少时间才能和考察船北OAB１5.如图，在海岸边有一港口．已知：小岛在港口北偏东的方向，小岛在小岛正南方向，海里，海里．计算：北OAB（1）小岛在港口的什么方向？（2）求两小岛的距离．（以上可做为练习）建议：让学生学会建立数学模型第三课时：复习内容：将解直角三角形的问题和其他问题的结合（如：三角形、四边形、函数、圆）相关题目：１.如图，一次函数的图象经过M点，与x轴交于A点，与y轴交于B点，根据图中信息求：（1）这个函数的解析式；（2）tan∠BAO．B′ABCEOxy２.如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CEB′ABCEOxy（1）求B′点的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式．３.如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径R＝2，sinB＝，则弦AC的长为。４.已知：如图，在△ABC中，ＡＤ是边ＢＣ上的高，Ｅ为边ＡＣ的中点，ＢＣ＝１４，ＡＤ＝１２，;求：（1）线段AC的长；（2）tan∠EDC的值BCEDA５．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCEDABE⊥CD于点E，AD=1，CD=。求：BE的长。６.如图，在梯形中，，，，于点，求梯形的高．ABCD７.如图，在梯形中，，，，ABCD，，求的长．本单元的建议：解直角三形的知识是近几年各地中考命题的热点之一，考查的内容以基本知识和基本技能为主，应用意识进一步增强，联系实际综合运用知识的技能越来越明显。考查的题型以填空、选择、解答、应用题类型较多.题目：圆中考要求：考试内容考试层次要求ABC圆圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上三点作圆，能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能利用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系，了解直径所对圆周角是直角会求圆周角度数，能利用圆周角知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能运用垂径定理解决有关问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题教学建议：本单元建议使用4课时第一课时：复习内容：圆的有关性质要点：与圆有关的概念：弧、弦、等弧等与圆有关的角：圆心角、圆周角圆的对称性：轴对称---垂径定理及推论旋转不变性—同弧或等弧所对圆心角、弧之间的关系相关题目：1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A）；（B）；（C）；（D）．012-1-21012-1-21AB3.如图，在⊙O中，若已知∠BAC=48º,则∠BOC=_________º4.若圆的一条弦长为6cm，其弦心距等于4cm，则该圆的半径等于________cm．5.如图，是⊙的弦，于点，若，，则⊙O的半径为cm．ACBACBO5题图6如图：点P是弦AB上一点，连OP，过点P作PCOP，PC交⊙O，若AP＝4，PB＝2，则PC的长是（）ABCEFDOA.ABCEFDO7.如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为（）EDBAOCA．2B．EDBAOC8...如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：ACO=BCD．（2）若EB=，CD=，求⊙O的直径．9.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形．求点C的坐标．ABCOED10.如图,CD切⊙O于点D,连结OC,交⊙O于点B,过点B作弦AB⊥OD，点E为垂足,已知⊙O的半径为10,sin∠ABCOED求：（1）弦AB的长；（2）CD的长；（3）劣弧AB的长（结果保留三个有效数字,sin53.13o≈0.8,≈3.142）.11.如图，在直角坐标系xOy中，每个网格的边长都是单位1，圆心为M（-4，0）的⊙M被y轴截得的弦长BC=6．（1）求⊙M的半径长；（2）把⊙M向下平移6个单位，再向右平移8个单位得到⊙N；请画出⊙N，观察图形写出点N的坐标，并判断⊙M与⊙N的位置关系，说明理由；（3）画出一个“以点D（6，0）为位似中心，将⊙N缩小为原来的”的⊙P．12.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，ABCEDOMCM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结ABCEDOM(1)求证：；(2)求EM的长；（3）求sin∠EOB的值.13.已知：如图10，在中，点是的角平分线上一点，于点，过点作交于点．求证：点是过三点的圆的圆心．ODBCFEA14.如图，为⊙Ｏ的直径，为弦的中点，连接并延长交⊙Ｏ于点，与过点的切线相交于点．若点为的中点，连接．ODBCFEA求证：．本节的内容在中考中重点考查圆的基本概念、基本性质的理解与运用，特别是垂径定理及推论，圆周角定理及推论的运用是考查的重点.第二课时：复习内容：与圆的有关位置要点：点与圆的位置；直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系相关题目：1.如图,AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D.若，若∠C＝18°，则∠CDA＝_____________.O1O1O2BA2.如图，圆O1与圆O2相交于A、B两点，它们的半径都为2，圆O1经过点O2，则四边形O1AO2B的面积为．3.如图所示，是⊙Ｏ的直径，是弦，，于点．（1）求证：是⊙Ｏ的切线；（2）若，求的长．4.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B、C是⊙O上一点，若∠APB=40°，求∠ACB的度数．EODCBA5.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DEEODCBA（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE为⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为5,∠BAC=60°,求DE的长.OxyBAP6如图，直线与轴、OxyBAP两点，圆心的坐标为，⊙Ｐ与轴相切于点．若将⊙ＰABOCPM沿轴向左移动，当ABOCPM有个．7.已知如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M，求证：PC是⊙O的切线COBADMEN8.已知，如图，直线交⊙COBADMEN平分交⊙Ｏ于，过作于．（1）求证：是⊙Ｏ的切线；（2）若cm，cm，求⊙Ｏ的半径．9.如图，是⊙O的直径，是弦，，延长到点，使得．（1）求证：是⊙O的切线；（2）若，求的长10.如图,所示，四边形ABCD是以O为圆心，AB为直径的半圆的内接四边形，对角线AC、BD相交于点E。（1）求证：△DEC～△AEB；（2）当∠AED＝60°时，求△DEC与△AEB的面积比。11.如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE.DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；若AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根，求直角边BC的长。__O_F_E_B_C_A_D12.如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA＝，求△ACF的面积本节的内容点与圆、线与圆、圆与圆的位置以填空、选择为主，切线的性质与判定以计算和证明为主，也可能出综合题，但不会考繁难的题目.第三课时：复习内容：与圆有关的计算要点：弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积相关题目：1.如图，有一圆心角为120o、半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是A．cmB．cmC．cmD．cm2.数学活动课，小华制作了一个圆锥形的纸帽（如右图），其底面直径为24cm，母线长20cmA．240πcm2B．120πcm2C．480πcm2D．540πACB3.如图，在中，．将其绕点顺时针旋转一周，则分别以为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为．ACB4.如图，小明从半径为5的圆形纸片中剪下40%圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽40%（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为40%（图2）（图1）A.3B.4C.D.（图2）（图1）5..如图，在⊙O中，∠AOB=60°，AB=3cm，则劣弧的长为______cm.6.如图7，矩形ABCD中，BC＝2，DC＝4，以AB为直径的半圆O与DC相切于E，则阴影部分地面积为（结果用精确值表示）。7.如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则r与R之间的关系是【】A、R＝2r；B、；C、R＝3r；D、R＝4r．8.如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是【】A．B．C．D．9.如图，为⊙O的直径，于点，交⊙O于点，于点．CBAOFDCBAOFDE（2）当，时，求圆中阴影部分的面积．10.已知：如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OB交⊙O于C且C为OB中点，过C点的弦CD使∠ACD＝45°，的长为，求弦AD、AC的长．AABCD·O45°本节的重点是计算弧长、扇形面积，会用所学知识求不规则图形，中考经常以填空或选择出现第四课时：复习内容：综合运用圆的知识，要点：拓展题目，开阔思路，学习运用知识解决相关问题.相关题目：1.ACFO（B）EP如图，已知是ACFO（B）EP角板的一条直角边放在直线上，斜边与⊙O交于点，点与点重合．将三角板沿方向平移，使得点与点重合为止．设，则的取值范围是（）BBCEFA3.如图，在中，，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点，则线段长度的最小值是（）A． B． C．5 D．4.84.如图，⊙,⊙，⊙，两两相外切，⊙的半径，⊙的半径，⊙的半径，则是（）O2O2O3O1C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形5.ABDEOFC(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且OF=ABDEOFC6.如图，直线经过⊙O上的点，并且，，⊙O交直线于，连接．（1）求证：直线是⊙O的切线；（2）试猜想三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若，⊙O的半径为3，求的长．7.如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，∠ECF=45°，CF交AD于点F，将△CBE绕点C顺时针旋转到△CDP，点P恰好在AD的延长线上.（1）求证：EF=PF；（2）直线EF与以C为圆心，CD为半径的圆相切吗？为什么？8..如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．（1）求证：△ODM∽△MCN；（2）设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；（3）在点O的运动过程中，设△CMN的周长为P，试用含x的代数式表示P，你能发现怎样的结论？9.如图，已知⊙O的直径AB＝2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D．（1）求证：△APC∽△COD．（2