必修四第章三角函数知识点与题型

三角函数模块专题复习——随意角的三角函数及引诱公式二．重点精讲1．随意角的见解旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的极点。规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。假如一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。2．终边同样的角、区间角与象限角3．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。角有正负零角之分，它的弧度数也应当有正负零之分.角的弧度数的绝对值是：l，此中，l是圆心角所对的弧长，r是半径。ra的终边y角度制与弧度制的换算主要抓住180rad。P(x,y)弧度与角度交换公式：1rad＝180°1°＝（rad）。180Ox弧长公式：l||r（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：S1lr1||r2。224．三角函数定义利用单位圆定义随意角的三角函数，设是一个随意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(1)y叫做的正弦,记做sin,即siny；（2）x叫做的余弦,记做（3）y叫做的正切,记做x5．三角函数线

cos,即cosx；tan,即tany(x0)。x6．同角三角函数关系式（1）平方关系：sin2cos21,1tan2sec2,1cot2csc2（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：tansincos,cotsincos几个常用关系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以相互表示)7．引诱公式可用十个字归纳为“奇变偶不变，符号看象限”。引诱公式一：sin(2k)sin，cos(2k)cos，此中kZ引诱公式二：sin(180o)sin；cos(180o)cos引诱公式三：sin()sin；cos()cos引诱公式四：sin(180o)sin；cos(180o)cos引诱公式五：sin(360o)sin；cos(360o)cos－22kkZ2sin－sinsin－sin－sinsincoscoscos－cos－coscoscossin（1）要化的角的形式为k180o（k为常整数）；2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；3）sin(kπ+α)=(－1)ksinα；cos(kπ+α)=(－1)kcosα(k∈Z)；（4）sinxcosxcosx；cosxsinx。44444三．思想总结1．几种终边在特别地点时对应角的会合为：角的终边所在地点角的会合X轴正半轴|k360,kZY轴正半轴|k36090,kZX轴负半轴|k360180,kZY轴负半轴|k360270,kZX轴|k180,kZY轴|k18090,kZ坐标轴|k90,kZ2．α、、2α之间的关系。2若α终边在第一象限则终边在第一或第三象限；2α终边在第一或第二象限或y轴正半轴。2若α终边在第二象限则终边在第一或第三象限；2α终边在第三或第四象限或y轴负半轴。2若α终边在第三象限则终边在第二或第四象限；2α终边在第一或第二象限或y轴正半轴。2若α终边在第四象限则终边在第二或第四象限；2α终边在第三或第四象限或y轴负半轴。23．学习本节内容时要注意以下几点：（1）娴熟地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解相关问题时要注意相关范围的限制；（2）要注意差别分析，又要活用公式，要擅长对准解题目标进行有效的变形，其解题一般思想模式为：发现差别，找寻联系，合理转变。三角函数的值与点P在终边上的地点没关，仅与角的大小相关.我们只需计算点到原点的距离rx2y2,那么siny,cosx,tany。x2y2x2y2x三角函数的图象与性质二．重点精讲1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像y=sinxy-537-1222-4-7-32o-2-3--125342222y=cosxy37-5-21-32-232-4-7-2-3-1o2542222yyy=tanxy=cotx

xx3--o3-2222

x--2

o32x222．三角函数的单一区间：ysinx的递加区间是2k，2k2(kZ)，2递减区间是2k，2k3(kZ)；22ycosx的递加区间是2k，2k(kZ)，递减区间是2k，2k(kZ)，ytanx的递加区间是k，k2(kZ)，23．函数yAsin(x)B（此中A0，0）最大值是AB，最小值是BA，周期是T2，频次是f，相位是x，初相是2；其图象的对称轴是直线xk(kZ)，凡是该图象与直线yB的交点都是该图象的2对称中心。4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个门路，只有差别开这两个门路，才能灵巧进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提议先平移后伸缩，但先伸缩后平移也常常出现不论哪一种变形，请牢记每一个变换老是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。门路一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变成本来的1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。门路二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变成本来的1倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移||个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。5．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：给出图象确立分析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从找寻“五点”中的第一零点（－，0）作为打破口，要从图象的起落状况找准．．第一个零点的地点。6．对称轴与对称中心：ysinx的对称轴为

x

k

2，对称中心为

(k

,0)

kZ；ycosx的对称轴为

x

k

，对称中心为

(k

2,0)；对于

y

Asin(x

)

和

y

Acos(x

)

来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。7．求三角函数的单一区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单一性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单一区间；8．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“yAsin(x)、yAcos(x)”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。9．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点取法是设x=ωx+，由x取0、π、π、3π、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。22三．思想总结1．数形联合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各种函数的研究都离不开图象，好多函数的性质都是经过察看图象而获得的。2．作函数的图象时，第一要确立函数的定义域。3．对于拥有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只需作出一个周期的图象，即可依据周期性作出整个函数的图象。4．求定义域时，若需先把式子化简，必然要注意变形时x的取值范围不可以发生变化。5．求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为的形式，不然很简单出现错误。6．函数的单一性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单一区间的同名函数再由该函数的单一性来比较大小。7．判断y=－Asin（ωx+）（ω＞0）的单一区间，只需求y=Asin（ωx+）的相反区间即可，一般常用数形联合而求y=Asin（－ωx+）（－ω＜0＝单一区间时，则需要先将x的系数变成正的，再想法求之。三角恒等变形及应用二．重点精讲1．两角和与差的三角函数sin()sincoscossin；cos()coscossinsin；tan()tantan。1mtantan2．二倍角公式sin22sincos；cos2cos2sin22cos2112sin2；tan22tan。1tan23．三角函数式的化简常用方法：①直策应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式sincos1sin2；sin21cos2；cos21cos2。222（2）协助角公式（全能公式）asinxbcosxa2b2sinx，此中sinb，a。a2b2cosa2b24．三角函数的求值种类有三类1）给角求值：一般所给出的角都是非特别角，要察看所给角与特别角间的关系，利用三角变换消去非特别角，转变成求特别角的三角函数值问题；2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求其他一些角的三角函数值，解题的重点在于“变角”，如(),2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；3）给值求角：实质上转变成“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值联合所求角的范围及函数的单一性求得角。5．三角等式的证明1）三角恒等式的证题思路是依据等式两头的特点，经过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两头化“异”为“同”；2）三角条件等式的证题思路是经过察看，发现已知条件和待证等式间的关系，采纳代入法、消参法或分析法进行证明。三．思想总结1．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：1）不只对公式的正用逆用要熟习，并且对公式的变形应用也要熟习；2）擅长拆角、拼角如，2，2等；（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟习，如coscossinsincos，tan1tantantantan，tantantantantantan，tantantantantantan。4）注意倍角的相对性5）要不时注意角的范围6）化简要求熟习常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。2．证明三角等式的思路和方法。1）思路：利用三角公式进行假名，化角，改变运算构造，使等式两边化为同一形式。2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单一性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及鉴别法等。第三讲：三角函数单元部分易错题分析（1）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上)k(kZ).（2）终边与终边对于x轴对称2k(kZ).（3）终边与终边对于y轴对称2k(kZ).（4）终边与终边对于原点对称2k(kZ).（5）终边在x轴上的角可表示为：k,kZ；终边在y轴上的角可表示为：k,kZ；终边在座标轴上的角可表示为：k,kZ.如的终边与的终边关226于直线yx对称，则＝2k,kZ31.特别角的三角函数值：30°45°60°0°90°180°270°15°75°sin12362622010－12244cos3216262210－102244tan3331002-32+3cot1302+32-3303同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：sin2cos21,1tan2sec2,1cot2csc2（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：tansincos,cotsincos3、正切函数ytanx的图象和性质：1）定义域：域了吗？

{x|xk,kZ}。碰到相关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义2（2）值域是R，在上边定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线ya的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数分析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其他不定。如y2x,ysinx的周期都是,但ysinxcosx的周期为，而sin1|,y2y|2sin(3x)|2sin(3x)2|，y|tanx|的周期不变；626（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是k,0kZ，特别提示：正(余)切型函数的2对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同样之处。（5）单一性：正切函数在开区间k,kkZ内都是增函数。但要注意在整个4.定22义域上不拥有单一性。以以下列图：三角函数图象几何性质三角函数图象几何性质y=Atan(ωx+φ))yAsin(x)yAtan(xyy=Asin(ωx+φ)yOxOxx3x4x3x4x=x1x=x2邻中心轴相距T邻中心|x3-x4|=T/24邻中心|x3-x4|=T/2邻轴|x1-x2|=T/2无量对称中心:无量对称轴:无量对称中心:由y=0确立由y=A或-A确立由y=0或y没心义确立

x=x1x=x2邻渐近线|x1-x2|=T无对称轴随意一条y轴的垂线与正切函数图象都订交,且相邻两交点的距离为一个周期！三角形中的相关公式：内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特别性，解题可不可以忘掉！任意两角和与第三个角总互补，随意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正当任两角和都是钝角随意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理：abc2R(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：sinAsinBsinCiabcsinAsinBsinC；iisinAa,sinBb,sinC2R2Rca2RsinA,b2RsinB,b2RsinC；②已知三角形两边