北师大版初一(上)数学讲义第二章：实数

第二章：有理数◆2.1有理数1．正数和负数的意义(1)正数：像6,3.7，eq\f(2,3)，10%，…这样大于0的数叫做正数．①为了突出数的符号，可以在正数的前面加“＋”号，如6,3.7，eq\f(2,3)，10%可以写成＋6，＋3.7，＋eq\f(2,3)，＋10%.②正数前面的“＋”号可以省略．如＋7可以省略“＋”号写成7.(2)负数：像－3，－5.6，－50，－eq\f(1,2)，－15%，…在正数前面加上“－”号的数叫做负数．辨误区正数和负数的理解①对于正数和负数的意义，不能简单地理解为带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数．②负数是在正数前面加上一个“－”号，如－5，－(＋7)等都是负数，负数中的“－”号不能省略，如－5省略“－”号就是5，变成正数了．(3)0：0既不是正数也不是负数．0是正数和负数的分界点，如温度计上的0℃，也是一个特定的温度，0℃以下为负数，【例1】下列各数中，哪些数是正数？哪些数是负数？＋12,0.15，－eq\f(5,2)，－2.05,0，－7,3.14.2．有理数(1)定义：整数与分数统称为有理数．(2)有理数的判断方法：①正整数、0、负整数都是有理数．②正分数和负分数都是有理数．(3)拓展发散：引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数也由自然数范围扩大到有理数范围．偶数不仅有正偶数和0，还有负偶数；奇数也包括正奇数和负奇数．【例2】下列说法正确的有()．①－5是有理数；②eq\f(7,3)是有理数；③0.3不是有理数；④－2是偶数A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①②④3．有理数的分类方法(1)按定义分(两分)：(2)按性质分(三分)：“不重复”的意思是说，每一个数只能属于其中的一类，不能出现某一个数属于多类的情况．如，将有理数分为非负数、非正数两类就是错误的．因为0这个数被重复分类了，把0既分在了非负数中，又分在了非正数中．“不遗漏”的意思是说，分类时，不能遗漏某些数．如，将有理数分为正有理数与负有理数两类，显然遗漏了0.【例3】把下面各有理数填在相应的大括号里：12，－3，＋1，eq\f(1,3)，－1.5,0,0.2,3eq\f(1,4)，－4eq\f(3,5).正数集合：{…}；负数集合：{…}；整数集合：{…}；分数集合：{…}；正分数集合：{…}；负分数集合：{…}．4．具有相反意义的量及应用(1)具有相反意义的量：①向东向西、买进卖出、零上零下、收入和支出、运进和运出……，都具有相反的意义．如“向东5米”和“向西3米”②特征：a.意义相反；b.成对出现．(2)表示方法：用正数和负数表示具有相反意义的量．当规定其中一个量用正数表示时，则另一个就用负数表示.0是正负数的界限，是表示“基准”的数．【例4－1】阅读下面的材料，从中找出一对具有相反意义的量，并用正数和负数表示它们．非洲“撒哈拉”是世界上著名的大沙漠，昼夜温差非常大，一个科学考察队测得某一天中午12时的气温是零上53℃，下午2时的气温是零上58℃，晚上10时的气温是【例4－2】一种零件的尺寸在图纸上标注是10±0.05(单位：毫米)，表示这种零件的标准尺寸是多少毫米？加工时，符合要求的零件最大不能超过多少毫米？最小不能少于多少毫米？………………………◆2.2数轴1．数轴(1)定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，如图．①数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；②原点的选定，单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的．通常取向右的方向为正方向．(2)数轴的画法画一条数轴的步骤可概括为：一画、二定、三选、四标．①画直线：就是先画一条直线，一般画成水平的直线；②定原点：通常原点选在你所画直线居中的位置，若问题中负数的个数较多时，原点选得靠右些；正数的个数较多时，原点选得靠左些．③选正方向：通常取原点向右的方向为正方向，并选取适当的长度为单位长度，将表示刻度的点用短竖线表示．④标数：在数轴上依次标出1,2,3,4,0，－1，－2，－3，－4等各点，相应的数0，±1，±2，…写在数轴的下方；将需要在数轴上表示出的数或字母写在数轴的上方，相应的点表示为实心小圆点．要是在数轴上用到30，那得标多少单位啊！适当的长度有两层含义：①可取实际1cm作为一个单位长度，也可以取2②一个单位长度可表示1，也可表示10或更多！如图所示就能做到啦！【例1】下列图形表示的数轴正确的是()．2．有理数与数轴上的点的关系任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，即每个有理数都对应数轴上的一个点．(1)表示正数的点都在原点的右侧；(2)表示负数的点都在原点的左侧；(3)表示0的点就是原点．【思考】数轴上是否只能表示有理数？能不能表示无理数，比如π【例2】(1)画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：－2,0,1，－0.5，－eq\f(3,2)，2eq\f(1,2).(2)指出如图所示的A，B，C，D，E各点分别表示什么数？点技巧“数形结合”思想(1)根据已知数在数轴上标出对应点，分三步：①画数轴；②确定点，并用实心小圆点描出；③标数，即在实心小圆点的上方标出所表示的数．(2)根据数轴上的点读数，原点表示0，原点向右为正数，原点向左为负数．都体现了“数形结合”的思想．3．利用数轴比较有理数的大小(1)数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大．(2)正数大于0，负数小于0，正数大于负数．(3)多个有理数比较大小：①把各个数在数轴上表示出来；②根据各数在数轴上的顺序，用“<”或“>”连接．析规律两个有理数比较大小的方法分情况比较：①若两数同号(都为正数或都为负数)，数轴上左边的数＜右边的数；②若两数异号，则正数＞0＞负数．【例3－1】比较下列这组数的大小，并用“＜”连接起来．－4eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1，－2,3,0，－0.5.【例3－2】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，试用“＝”“＞”或“＜”填空：a__________0，b__________0，a__________b.4．数轴上点的移动(1)相对于原点的移动：从原点向右a(a>0)个单位长度，则表示的数是a；从原点向左a(a>0)个单位长度，则表示的数是－a.(2)两个相对点的移动：点A相对于点B向右移动或向左移动一定的距离，最后表示的数要看点A移动结束时对应点距离原点的距离和位置．【例4】一探险队要沿着一东西走向的河流进行考察，第一天沿河岸向上游走了5km，第二天又向上游走了4.3km，第三天开始计划有变，向下游走了4.8km，第四天又向下游走了3km，你知道第四天之后，该探险队在出发点的上游还是下游吗？距离出发点多远？5.利用数轴求数轴上的点表示的数在数学里，数与形是密切联系的，数轴的引进使有理数与直线上的点联系了起来，利用数轴可以比较容易地写出数轴上某区域中的整数、正整数、负整数等．如，写出大于－5而小于3的所有整数．可以先画出数轴，在数轴上标出－5与3这两个点，再在这两个点之间找出满足题意的整数－4，－3，－2，－1，0,1,2即可．【例5】小红做题时，不小心把墨水洒在了数轴上，如图所示，请根据图中的数值，写出墨迹盖住的所有整数．………………………◆2.3绝对值1．相反数(1)相反数的定义像4和－4,3和－3,2.5和－2.5等这样只有符号不同的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0.辨误区相反数的理解①相反数“只有符号不同”，即符号相反，数字相同，不能误理解为“只要符号不同”就行，例如：－1与2符号不同，但不是互为相反数．②相反数是成对出现的，不能单独存在．例如，5是－5的相反数，－5也是5的相反数．③0的相反数为0是相反数定义的重要组成部分．【例1－1】关于相反数下列说法正确的是()．A．－eq\f(1,4)和0.25不互为相反数 B．－3是相反数C．任何一个数都有相反数 D．正数与负数互为相反数(2)相反数的求法求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号，就表示这个数的相反数．一个有理数a，它的相反数是多少呢有理数a的相反数是－a.这里a可以表示任意一个数，可以是正数，可以是0，可以是负数，还可以是一个式子．比如：当a＝2时，－a＝－2,2与－2是互为相反数；当a＝－1时，－a＝－(－1)，因为－1的相反数是1，所以－(－1)＝1；当a＝m＋n时，－a＝－(m＋n)，所以m＋n的相反数是－(m＋n)．【例1－2】填空：(1)－8的相反数是__________；－(－2.8)的相反数是_________；________的相反数是eq\f(1,4)；100和__________是互为相反数．(2)如果m＝－9，则－m＝__________.(3)相反数的几何意义一对相反数在数轴上对应的点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等．【例1－3】如图，数轴上的点A，B，C，D，E表示的数中哪些互为相反数？2．绝对值(1)绝对值的几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．①绝对值是一个数在数轴上的对应点离开原点的长度，如图中，点－4距离原点4个单位长度，则－4的绝对值就是4.②绝对值是一个距离．(2)绝对值的表示方法一个数a的绝对值记作|a|，读作a的绝对值．如，＋4的绝对值记作|＋4|，－8的绝对值记作|－8|.(3)绝对值的代数意义①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0.用式子表示为：|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a>0，,0，a＝0，,－a，a<0.))【例2】下列说法正确的是()．A．|－5|表示－5的绝对值，等于－5B．负数的绝对值等于它本身C．－10距离原点10个单位长度，所以－10的绝对值是10D．绝对值等于它本身的数有两个，是0和13．绝对值的性质(1)数轴上表示某个数的点到原点的距离越近，它的绝对值就越小，到原点的距离越远，它的绝对值就越大．(2)任何一个有理数的绝对值一定是非负数，即|a|≥0.0是绝对值最小的有理数．(3)互为相反数的两个数的绝对值相等．反过来，若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数．(4)任何一个有理数都有唯一的绝对值．但绝对值为某一正数的数有两个，它们互为相反数．例如，如果|a|＝2，则a＝±2.(5)任何一个数的绝对值都大于或等于它本身，即|a|≥a.【例3】下列说法：①若|x|＝2013，则x＝2013；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＋\f(3,2)))；③绝对值最小的有理数是1；④0没有绝对值；⑤一个有理数的绝对值一定是非负数．正确的个数为()．A．1 B．2 C．3 D．44．多重符号的化简化简规律：化简一个含有多重括号的非零有理数，结果与这个有理数前面的负号的个数有关．①当“－”号的个数是奇数时，结果为负；②当“－”号的个数是偶数时，结果为正．由于正号可以省略，所以化简符号时，主要看这个数前面“－”号的个数．【例4】化简下列各数的符号：(1)－{－[＋(－10)]}；(2)－[－(＋5)]．5.绝对值的求法绝对值的求法有两种方式：一是给出数字，直接按要求求这个数的绝对值；二是给出含有绝对值符号的式子，求式子的值．求绝对值的方法：(1)先判断这个数是正数、负数，还是0.(2)根据绝对值的代数意义确定它的绝对值是它本身，还是它的相反数，从而求得它的绝对值．绝对值的代数意义：①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0.弄清绝对值与相反数符号的意义及相反数和绝对值的求法，是求含有绝对值符号式子的关键．【例5－1】求下列各数的绝对值：＋11，－3.4,0，－eq\f(3,2).【例5－2】求下列各式的值：|＋2013|，|－3.9|，－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))，－|＋18|.6.利用绝对值比较大小(1)利用绝对值比较两个负数的大小两个负数比较大小，绝对值大的反而小．比较的具体步骤：①先求两个负数的绝对值；②比较绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出判断．(2)几个有理数的大小比较①同号两数，可以根据它们的绝对值来比较：a.两个正数，绝对值大的数较大；b.两个负数，绝对值大的反而小．②多个有理数的大小比较，需要先将它们按照正数、0、负数分类比较，然后利用各数的绝对值或借助于数轴来进一步比较．【例6－1】比较下列每组数的大小：(1)－3和－2.9；(2)－eq\f(2,3)和－0.6.【例6－2】求下列各数的绝对值，并用“>”将各数排列起来：－eq\f(3,2)，＋1,0，－2.3.7．绝对值的非负性的应用绝对值的非负性(1)绝对值具有非负性，即对于任意有理数，都有|a|≥0.绝对值的最小值为0.(2)若几个数的绝对值相加和为0，则这几个数的值都为0.用式子表示为：若|a|＋|b|＋|c|＝0，则a＝0，且b＝0，且c＝0.可以利用上面的知识求字母的值．【例7－1】当m＝__________时，5＋|m－1|有最小值，最小值是__________．【例7－2】已知|a－2|＋|7－b|＋|c－3|＝0，求a，b，c的值．8.相反数与数轴的综合应用比较一组数的大小时，若需要比较相反数的大小，可按以下方法进行：(1)表示数：根据相反数的几何意义，将各数或字母的相反数在数轴上表示出来；(2)排顺序：按照数轴上“右边的数总是大于左边的数”，排列这组数的大小关系．【例8】如图，若A是有理数a在数轴上对应的点，则关于a，－a,1的大小关系表示正确的是()．A．a＜1＜－aB．a＜－a＜1C．1＜－a＜aD．－a＜a＜9.利用绝对值解决实际问题绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题，主要有以下两类：(1)判断物体或产品质量的好坏可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好．方法：①求每个数的绝对值；②比较所求绝对值的大小；③根据“绝对值越小，越接近标准”作出判断．(2)利用绝对值求距离路程问题中，当出现用“＋”、“－”号表示的带方向的路程，求最后总路程时，实际上就是求绝对值的和．方法：①求每个数的绝对值；②求所有数的绝对值的和；③写出答案．【例9－1】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是()．【例9－2】一天上午，出租车司机小王在东西走向的路上运营，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行车里程如下(单位：千米)：＋15，－3，＋12，－11，－13，＋3，－12，－18，请问小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了多少千米？………………………2.4有理数的加法1.有理数的加法法则(1)有理数的加法：把两个或几个有理数合成一个有理数的运算．(2)两个有理数相加的几种情况：①正数＋正数，如(＋2)＋(＋4)；②负数＋负数，如(－3)＋(－6)；③正数＋负数或负数＋正数，如(＋2)＋(－3)或(－6)＋(＋4)；④正数＋0；⑤负数＋0；⑥两个加数都为0.(3)有理数的加法法则①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．【例1】下列计算正确的个数是()．①(－5)＋(－5)＝0；②(－6)＋(＋4)＝－10；③0＋(－2)＝－2；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(5,6)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))＝eq\f(2,3)；⑤eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7\f(2,3)))＝－7.A．0 B．1 C．2 D．32．有理数的加法运算律(1)加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．用字母表示为：a＋b＝b＋a.(2)加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．用字母表示为：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．①交换加数的位置时，要连同符号一起交换；②公式中的字母a，b，c可以是正数，也可以是负数或0.【例2】下列运算中运用的运算律是()．(＋18)＋(－7)＋2＋(－3)＝[(＋18)＋2]＋[(－7)＋(－3)]．A．加法交换律 B．加法结合律C．加法交换律和结合律 D．以上答案都不对3．有理数的加法运算(1)有理数加法的运算方法有理数的加法运算可以概括为“一定、二求、三和差”．①定：先判断两个加数的符号，并确定出和的符号；②求：求加数的绝对值；③和差：确定是绝对值相加还是相减．(2)加法运算法则的符号表示同号两数相加：①a>0，b>0，a＋b＝＋(|a|＋|b|)．②a<0，b<0，a＋b＝－(|a|＋|b|)．异号两数相加(a>0，b<0)：①|a|>|b|，a＋b＝＋(|a|－|b|)．②|a|＝|b|，a＋b＝0.③|a|<|b|，a＋b＝－(|b|－|a|)．一个数与0相加：a＋0＝a.★析规律有理数加法口诀同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着“大”的跑，绝对值相等“零”正好；数零相加变不了．其中“大”、“小”指两个数绝对值的大小．【例3】计算：(1)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(＋\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))；(2)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－5\f(1,4)))＋(－3.5)；(3)(－16)＋16；(4)(－8)＋0.4.运用有理数加法运算律进行简便运算(1)灵活运用运算律，能使运算简便，一般具有下列特点的数可以先结合：①互为相反数的两数可以先相加；②同号的数可以先相加；③分母相同的分数可以先相加；④相加能凑整或凑零的数可以先相加．(2)有理数的简化运算的具体情况：①几个正、负数相加：先把正数和负数分别相加，再将所得的和相加；②凑整：把两个或几个加数结合在一起凑为整数，再相加；③凑零：把两个或几个加数结合在一起凑为零，再相加；④几个分数相加：先把分母相同的分数相加；⑤小数相加：可以把整数部分和小数部分分别结合，再相加；⑥带分数相加：可以把整数部分和真分数部分分别结合，再相加．【例4－1】用简便方法计算：eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(＋6\f(3,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－5\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(＋4\f(2,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－1\f(1,3))).【例4－2】计算：(－1)＋(＋2)＋(－3)＋(＋4)＋…＋(－2013)＋(＋2014)．5.有理数的加法与数轴、绝对值的综合应用(1)数轴与有理数加法的综合利用数轴可以得到数轴上所表示的数或字母的正负性及绝对值的大小，在进行有关数或字母的加法计算时，可结合有理数的加法法则进行正确的计算．(2)与绝对值、相反数有关的加法①根据绝对值求出符合条件的有理数，再求和．②含有绝对值号或求相反数的有理数加法，一般先化简绝对值和求相反数，再按有理数的加法法则计算．【例5－1】如图，数轴上A，B两点所表示的有理数的和是__________．【例5－2】已知a的相反数是2，|b|＝3，则a＋b＝__________.………………………◆2.5有理数的减法1.有理数减法的意义（1）有理数减法的意义：已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。（2）减法与加法的关系：减法是加法的逆运算，两者是互逆运算。谈重点有理数的减法具有实际意义，可借助数轴来解释，这是因为数轴上的点表示的数由左向右逐渐增大，所以一个数减去一个正数时，点的位置向左移；减去一个负数时，点的位置向右移。【例1】填空：（1）9+（）=2；（2）（）-（-4）=-82.有理数的减法法则（1）有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数；（2）用符号表示有理数的减法：上面的式子中可以是正数，也可以是负数或0.谈重点（1）有理数减法步骤：①将减号变为加号，把减数变为它的相反数；②利用有理数的加法法则计算。（2）有理数的减法运算转化为加法运算的注意事项：①运算符号由“”号变为“”号；②减数的符号改变。

辩误区有理数的减法法则中强调“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，即减法运算关键是“两变”：①改变运算符号；②改变减数的性质符号。因此在运算时，应先找到这两个符号。【例2】计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）3.数轴上两点间的距离求法数轴上两点间的距离可直接用两点所表示的有理数计算所得。【例3-1】如图所示，A、B、C三点是数轴上的三个点。（1）求A，B两点之间的距离；（2）求A，C两点之间的距离；◆规律方法：数轴上两点之间距离的求法点A、B在数轴上分别表示有理数a,b。则A、B两点之间的距离可表示为。即较大的数减去较小的数就是这两点之间的距离。【例3-2】数轴上表示和的两点A和B之间的距离是，如果，则【例3-3】当代数式取最小值时，相应的取值范围是4.有理数减法与绝对值、相反数等知识综合在一起考查【例4-1】已知是绝对值最小的有理数，的相反数是2，，且异号，求的值。【例4-2】已知，求的值。【例4-3】如果，求的值。5.有理数减法运算的实际应用利用有理数减法可以解决温度差、高度差、时差等实际问题。【例5-1】（1）已知甲地的海拔高度是m，乙地的海拔高度是m，则甲地比乙地高m；（2）2013年1月某一天的天气预报中，延安市最低气温为，西安市最低气温为，这一天延安市的最低气温比西安市的最低气温低。【例5-2】在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所，已知青少年宫在学校东300m处，商场在学校西200m处，医院在学校东500m处，若将马路近似看成一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m。求：（1）在数轴上表示四家公共场所的位置；（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离。………………………◆2.6有理数的加减混合运算1．水位的变化图表(1)图表的意义：日常生活中我们可以用正负数表示河流的水位变化、气温的升降、产量的波动、股票的涨跌等．通常以表格的形式来反映变化情况．如下表：水位高度(米)记录最高水位43.4＋2.9警戒水位40.50平均水位36.8－3.7最低水位32.9－7.6(2)图表中的信息“水位的变化”问题是运用有理数的加减法解决实际问题的典型例子，读表格时要注意以下几点：①理解图表下面“标注”或“注意”的含义．②正号表示比某一参考水位上升，负号则表示比某一参考水位下降，参考对象是某一具体参考水位值．如表中的参考水位是警戒水位．③正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，参考对象是前一天的水位．连续记录一般采用这样的表示方式．参考对象是怎么回事？参考对象就是用来作比较的数据，本节课中所提到的参考对象也叫做“基准”，基准就是规定某一数据记作“0”，其他数据对比基准来表示，超过基准的一般用正数表示，低于基准的用负数表示．【例1】已知上周周五(周末不开盘)收盘时股市指数以2880点报收，本周内股市涨跌情况如下表，则本周四收盘时的股市指数为()．星期一二三四五股指变化＋50－21－100＋78－78A．2880 B．2877 C．2855 D．28872．用正、负数表示变化的量用正、负数表示生活中具有相反意义的量要注意两点：①确定以什么为“基准”，并把它记为0.②规定正负．具有相反意义的两个量，一个为正，另一个必然为负．释疑点对“基准”的理解①“基准”即用来作比较的对象，一般指某一数据．如表示温度时，通常是以冰水混合物的温度为基准，并记为0℃②不同的问题选取的基准不同．【例2】甲、乙两队进行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动了0.2米，又向甲队方向移动了0.5米，相持一会后，又向乙队方向移动了0.4米，随后又向甲队方向移动了1.3米，在大家的欢呼鼓励中，标志物又向甲队方向移动了0.9米3.折线统计图的画法折线统计图可以表示同一种量不同时间的变化规律，如北京周一到周日的天气变化情况．正确地画出折线统计图是观察变化情况的依据．画法及步骤：①写出统计图名称，如天气、水位等；②画出横、纵两条互相垂直的数轴(有时不画箭头，一般向上为正方向，向右为正方向)，分别表示两个量，标出单位和单位长度；③根据统计数据，分别描出对应点，描点时可借助三角板来完成；④用线段把所描的点顺次连接起来．谈重点画折线统计图的注意事项①画折线统计图时，要先确定哪一个量或哪一个数值为0，即基准；②要标出横线和竖线的单位；③选择单位长度时要考虑使统计图有明显的上升和下降的幅度，能看出变化情况．【例3】下表是一个水文站在雨季对某条河一周内水位变化情况的记录．其中，水位上升用正数表示，水位下降用负数表示(水位变化的单位：米)．星期一二三四五六日变化＋0.4－0.3－0.4－0.3＋0.2＋0.2＋0.1注：①表中记录的数据为每天12时的水位与前一天12时水位的变化量．②上周日12时的水位高度为2米(1)请你通过计算说明本周末水位是上升了还是下降了．(2)用折线图表示本周每天的水位，并根据折线图说明水位在本周内的升降趋势．4．折线统计图的应用根据题目提供的折线统计图，结合已知条件解决实际问题，是折线统计图的应用之一．根据折线图解决实际问题的主要步骤：(1)读懂实际问题中的图表信息．理解统计表、统计图中反映的数据信息，正确认识正、负数的含义，看懂折线统计图中折线所反映的数据变化情况．(2)根据图表中的数据信息，列出算式．一般与有理数的加法和减法相关，即列有理数的加法或减法算式．(3)根据实际要求作答．【例5】青云中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，抽取了一部分学生进行调查，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好(要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类，从图中你知道一共调查了多少名学生吗？………………………◆2.7有理数的乘法1．有理数的乘法法则(1)乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0.①两个有理数相乘，积的符号是由两个因数的符号确定：同号(＋，＋或－，－)得正，异号(＋，－或－，＋)得负；②0与任何数相乘，积都是0；③1乘任何数得原数，－1乘任何数得原数的相反数．(2)两个有理数相乘的步骤①先确定积的符号；②再求出积的绝对值．(3)多个有理数的乘法①几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个有理数相乘，有一个因数为0，结果就是0；反之，若几个数积为0，则至少有一个因数为0.释疑点有理数相乘的方法①几个有理数相乘，先确定积的符号，再把绝对值相乘；②当几个因数中有一个为0时，不用再判断符号，直接得0.【例1】计算：(1)(＋4)×(－5)；(2)(－0.75)×(－1.2)；(3)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－\f(2,9)))×0.3；(4)0×eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)))；(5)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－1\f(1,2)))×1eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－1\f(1,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－1\f(1,5)))×1eq\f(1,6).2.倒数如果两个有理数的乘积为1，则称其中的一个数是另一个数的倒数，也称这两个数互为倒数．若a≠0，则a的倒数是eq\f(1,a).★谈重点对倒数的理解①0没有倒数；②互为倒数的两个数的符号相同，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；③若两个数互为倒数，则它们的乘积为1；④倒数等于它本身的数是1和－1.【例2】填空：(1)－eq\f(7,6)的倒数是__________；0.2的倒数是__________；(2)倒数是4的数是__________．3．有理数的乘法运算律(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．用字母表示为：a×b＝b×a.(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．用字母表示为：(a×b)×c＝a×(b×c)．(3)乘法对加法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．用字母表示为：a×(b＋c)＝a×b＋a×c.谈重点乘法运算律的运用方法①交换因数的位置时，要连同符号一起交换；②公式中的字母a，b，c可以是正数，也可以是负数和0；③乘法的交换律和结合律对多个因数的乘法也适用；④为了能简便运算，也可以逆用乘法对加法的分配律，即a×b＋a×c＝a×(b＋c)．【例3】计算：(1)(－8)×9×(－1.25)×eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)))；(2)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(1\f(1,4)－\f(5,6)＋\f(1,2)))×(－12)；(3)－5.372×(－3)＋5.372×(－17)＋5.372×4；(4)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－24\f(34,35)))×2.5×(－8)；(5)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f(11,12)－\f(7,9)－\f(5,18)))×36－6×1.43＋3.93×6.4．与绝对值、相反数、倒数有关的混合运算根据已知的与绝对值、相反数、倒数有关的条件，进行有关的综合计算，其步骤是：(1)利用条件，先求出有关字母的数值或有关式子的数值；(2)将所求的式子变形，使其符合上述条件；(3)将条件代入变形后的式子，按照规定的运算进行计算．【例4】已知a与b互为倒数，c与d互为相反数，m的绝对值是4，求m×(c＋d)＋a×b－3×m的值．5.运用有理数乘法运算律进行简便运算有理数的乘法中的简便运算主要是运用乘法的交换律、乘法的结合律和乘法对加法的分配律进行运算．(1)乘法交换律和结合律的运用运用乘法交换律、结合律的情况：①一般将互为倒数的先结合；②将容易约分的先结合．(2)乘法对加法的分配律的运用运用乘法对加法的分配律时注意以下几点：①要把括号外面的因数连同符号与括号内的每一项相乘，它是以后要学的去括号的理论依据．②乘法对加法的分配律可以逆用，即a×b＋a×c＝a×(b＋c)．③乘法对加法的分配律可以推广为：a×(b＋c＋d＋e)＝a×b＋a×c＋a×d＋a×e，各字母为任意有理数．运用乘法对加法的分配律时，可以先确定符号，再进行计算，或者先利用分配律，再确定符号．有时可逆用乘法分配律：a×b＋a×c＝a×(b＋c)，使计算简便．【例5－1】学习了有理数的乘法运算律之后，老师出示了下面的一道题目：计算：－36×eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(5,9)＋\f(5,6)－\f(7,12))).刘洋：原式＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(5,9)＋\f(5,6)－\f(7,12)))))＝－eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(36×\f(1,2)－36×\f(5,9)＋36×\f(5,6)－36×\f(7,12)))＝－(18－20＋30－21)＝－7.吕征：原式＝－36×eq\f(1,2)－36×eq\f(5,9)－36×eq\f(5,6)－36×eq\f(7,12)＝－18－20－30－21＝89.你认为刘洋和吕征同学的解法都正确吗？若有错误，请你按其思路改正过来．【例5－2】用简便方法计算：－3.14×35.2＋6.28×(－23.3)－1.57×36.4.6．有理数的乘法运算的实际应用有理数的乘法运算的应用，主要是利用有理数的乘法解决生活中的实际问题．其步骤是：①分析题意；②列出算式；③运用有理数的乘法法则或运算律进行计算；④写出答案．【例6】一天，小刚和小明利用温差测量山峰的高度，小明在山顶测得的温度是－2℃，小刚在山脚测得的温度是4℃.已知该地区的高度每增加100m，气温大约下降………………………◆2.8有理数的除法1．有理数的除法法则1(1)除法法则1：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不为0的数都得0.①注意：0不能作除数；②除法法则1与有理数的乘法法则相类似，都是先确定运算结果的符号，再确定绝对值．(2)两个有理数相除的步骤：①先确定商的符号；②求出商的绝对值．【例1】下面的计算中，正确的有()．①(－800)÷(－20)＝－(800÷20)＝－40；②0÷(－2013)＝0；③(＋18)÷(－6)＝＋(18÷6)＝3；④(－0.72)÷0.9＝－(0.72÷0.9)＝－0.8.A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②④2．有理数的除法法则2除法法则2：除以一个数等于乘这个数的倒数，即a÷b＝a×eq\f(1,b)(b≠0)．谈重点除法法则2的应用①除法变乘法，除数变倒数是关键；②本法则是将除法转化为乘法，与有理数的减法类似，体现了转化的数学思想；③本法则适合不能整除或除数是分数的情况．对于有理数的除法运算，怎样选择法则呢？在进行有理数除法时，应合理选择法则，在能整除的情况下，应选用法则1.在不能整除或除数是分数(包括小数)时，应选用法则2.【例2】计算：(1)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－\f(28,29)))÷eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－1eq\f(1,29)))；(2)(－1)÷(－2.25)．3．求一个数的倒数(1)求一个数的倒数的方法：用1除以这个数，所得的商就是这个数的倒数．(2)具体情况与求法：①一个非0整数a的倒数为eq\f(1,a)，如－5的倒数是－eq\f(1,5).②求一个真分数或假分数的倒数，把分数的分子和分母颠倒位置即可，如－eq\f(2,3)的倒数是－eq\f(3,2).③求一个带分数的倒数，先把带分数化为假分数，再求其倒数，如－2eq\f(1,6)＝－eq\f(13,6)，－2eq\f(1,6)的倒数就是－eq\f(6,13).④求一个小数的倒数，先把小数化为分数，再求倒数，如0.25＝eq\f(1,4)，0.25的倒数就是4.【例3】求下列各数的倒数：－2013，－3eq\f(7,8)，－0.36.4．有理数的乘除混合运算(1)进行有理数乘除混合运算时符号的确定当一个算式中出现几个有理数连乘连除时，一般先确定最后结果的符号．其方法是：当负因数的个数为奇数时，计算结果为负数；当负因数的个数为偶数时，计算结果为正数．(2)有理数乘除法运算的顺序：①从左到右依次进行．②有括号的要先算括号里面的．【例4－1】用“<”“>”或“＝”填空：(1)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)))÷eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))÷eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)))__________0；(2)(－0.2)÷4×(－1.7)__________0；(3)0÷(－3)÷(－8)__________0.【例4－2】计算：(1)3eq\f(1,3)÷eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－2\f(2,3)))÷eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－1\f(1,4)))；(2)(－3.5)÷eq\f(7,8)×eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))).5.有理数的加减乘除混合运算(1)有理数的加减乘除混合运算顺序：先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的．(2)常规解法：按照上面的运算顺序进行计算．(3)特殊解法：①有些运算用运算律或逆用运算律改变运算顺序能简化运算，较为简便．②利用规律转化运算，如分数乘法与除法的转化．③倒数求法：交换被除数和除数的位置，求出商，再求商的倒数即为原式的结果．【例5】计算：eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(1,5)))÷eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－\f(1,20)))÷eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))).6．除法与绝对值的综合应用根据条件进行含有绝对值的除法计算或化简，是这类题目的常见形式．方法与步骤：①根据条件确定有关的字母或含有字母的式子的值或取值范围；②根据条件化简绝对值；③按照运算的顺序进行计算．【例6】若有理数x，y满足xy≠0，则m＝eq\f(x,|x|)＋eq\f(|y|,y)的最大值是__________．7.乘法对加法的分配律在除法中的应用乘法对加法的分配律可以在除法中运用，常见的有以下两种情形：(1)几个数的和除以一个数．方法：①先把除法转化为乘法；②根据乘法对加法的分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c进行计算．(2)一个数除以几个数的和．方法：①先交换被除数与除数的位置，即把形如a÷b的算式先写成b÷a；②转化为乘法，根据乘法对加法的分配律进行计算；③求出商的倒数，即为原式的结果．辨误区除法没有分配律除法是没有分配律的，若要在进行除法运算时运用分配律，必须将除法转化为乘法，再根据乘法对加法的分配律解题．【例7－1】计算：eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)＋\f(1,9)－\f(1,12)))÷eq\f(1,36).【例7－2】阅读下列材料，并回答问题．计算：50÷eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,3)－\f(1,12))).解：(方法1)原式＝50÷eq\f(1,4)－50÷eq\f(1,3)－50÷eq\f(1,12)＝50×4－50×3－50×12＝－550.(方法2)原式＝50÷eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f(3,12)－\f(4,12)－\f(1,12)))＝50÷eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－\f(2,12)))＝50×(－6)＝－300.(方法3)原式的倒数为eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,3)－\f(1,12)))÷50＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,3)－\f(1,12)))×eq\f(1,50)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,50)－eq\f(1,3)×eq\f(1,50)－eq\f(1,12)×eq\f(1,50)＝－eq\f(1,300)，故原式＝－300.上面的3种方法，哪几种是正确的？………………………◆2.9有理数的乘方1．乘方的意义(1)乘方的定义求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．如图，a叫做底数，n叫做指数，an读作：a的n次幂(a的n次方)．乘方是一种特殊的乘法运算(因数相同)，幂是乘方运算的结果；乘方的底数是相同因数，指数是相同因数的个数．(2)乘方的意义an表示n个a相乘．即an＝.如：(－2)3＝(－2)×(－2)×(－2)表示3个(－2)相乘．释疑点(－a)n与－an的区别①(－a)n表示n个－a相乘，底数是－a，指数是n，读作：－a的n次方；②－an表示n个a乘积的相反数，底数是a，指数是n，读作：a的n次方的相反数．如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作负3的3次方，表示3个(－3)相乘．(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27.－33底数是3，指数是3，读作3的3次方的相反数．－33＝－(3×3×3)＝－27.(3)乘方的书写①一个数可以看成这个数本身的一次方．如5就是51，通常指数1省略不写．②负数或分数做底数时，应用括号把负数或分数括起来，再在其右上角写指数，指数应写小一点．如(－1)2不能写成－12，eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2不能写成eq\f(3,2)2.【例1】填空：(1)式子(－1.2)10表示__________，其中底数是__________，指数是__________．(2)写成乘方的形式是__________，读作__________．2．乘方运算的符号法则乘方运算的符号法则乘方运算就是根据乘方的意义把它转化为乘法进行计算．如：33＝3×3×3＝27.①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数；③负数的偶次幂是正数；④0的奇次幂、偶次幂都是0.任何一个有理数的偶次幂都是非负数，即a2n≥0(n为正整数)；若用n表示正整数，则2n表示偶数，而用(2n＋1)表示奇数，则(－1)2n＝1，(－1)2n＋1＝－1.【例2】下列说法不正确的是()A．(－2)2013是负数B．－4200是正数C．0的任何次幂(指数不为0)都等于它本身D．－1的38次幂等于它的相反数3．有理数乘方的运算乘方运算的方法如下：与有理数的加、减、乘、除四种运算一样，有理数的乘方也是一种运算，其运算的方法是：①确定幂的符号；②进行乘法的运算．析规律对于乘方的理解①乘方是一种运算，是特殊的乘法(因数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结果．②因为an表示n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法进行乘方运算，即将乘方转化成乘法运算．4．绝对值与乘方非负性的综合运用(1)平方、立方及平方的非负性在an中，若n＝2，则为a2，读作a的2次幂，也读作a的平方；当n＝3时，a3可读作a的3次方，也可读作a的立方．平方、立方是乘方中最常见的．①根据乘方与乘法的关系可知：正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方等于0也就是任何一个有理数的平方都是非负数．②平方等于它本身的数：0,1；立方等于它本身的数：0,1，－1.(2)绝对值的非负性任何一个数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.(3)非负数的性质性质：若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0.比如：若|a|＋b2＝0，则a＝0，且b＝0.【例3】计算：(1)(－2)4；(2)－34；(3)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))3；(4)eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(－1eq\f(2,3)))2；(5)－eq\f(4,72)；(6)(－1)2014.【例4－1】下列说法正确的有()．①负数的平方是负数；②正数的平方是正数；③平方是它本身的数是0和1；④1的立方等于它本身；⑤－1的平方等于它的倒数；⑥任何一个有理数的平方都是非负数．A．3个 B．4个 C．5个 D．2个【例4－2】若x，y为有理数，且(5－x)4＋|y＋5|＝0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))2013的值为()．A．1 B．－1 C．2 D．－25．有理数乘方规律探究及应用(1)有理数乘方规律探究①观察给出的一组数字或式子，分析所包含的乘方运算，结合连续偶数、连续奇数等知识，探究其中的规律．②根据其规律，按要求进行计算或解答．(2)乘方的应用生活中乘方的应用主要是裂变和对折．①裂变：将某一物体一分二、二分四、四分八、八分十六……像这样以倍增的速度发生变化就是裂变．裂变规律：裂变一次即原来的数量乘21，裂变两次乘22，裂变三次乘23，…，裂变n次乘2n.②对折：一张纸对折，对折次数与纸的层数、折痕数、单层纸占整张纸的面积比例之间有一定的关系，具体情况如下表：次数123…n层数248…2n折痕数137…2n－1单面占的比例eq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,8)…eq\f(1,2n)【例5－1】我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数(只有数码0和1)，它们两者之间可以互相换算，如将(101)2，(1011)2换算成十进制数应为：(101)2＝1×22＋0×21＋1×20＝4＋0＋1＝5；(1011)2＝1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝11.按此方式，将二进制(1001)2换算成十进制数的结果是__________．(说明：20＝1)【例5－2】面积是128平方分米的一张纸片，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，第三次再将剩下的一半剪去，…，如此下去，剪完第6次后剩下的面积还有多少平方分米？………………………◆2.10科学计数法1．科学记数法(1)定义一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n(1≤a＜10，n是正整数)的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．(2)a与n的取法在a×10n形式中，n是原数整数位数减1，a则是将原数保留一位整数得来的．谈重点用科学记数法表示数时的特别注意事项①1≤a＜10，即a是一个整数位数只有一位的数，如1350用科学记数法表示为13.5×102是错误的；②当一个负数用科学记数法表示时，“－”号不变，只需要把“－”号后面的数按科学记数法写成a×10n的形式即可；③将一个大数用科学记数法表示时，关键是确定a和n的值．【例1－1】用科学记数法表示下列各数：(1)3400000；(2)－98120000；(3)23458.2；(4)960万．【例1－2】若97000000用科学记数法表示为a×10n，则a＝__________，n＝__________.2．把科学记数法表示的数还原(1)科学记数法与原数的关系科学记数法是表示大数的一种简单方法，其大小与原数的大小相等．无论用哪一种表示方式，都不会改变数的大小和数的符号．(2)科学记数法的还原把一个用科学记数法表示的数还原成原数的方法：①根据a×10n中10的指数n来确定，n是几，就将小数点向右移动几位，把10n去掉即可；②把科学记数法a×10n中的n加上1，就得到原数的整数位数．【例2－1】若一个数用科学记数法表示为1.754×105，则原数为__________．【例2－2】下面用科学记数法表示的数，原来是什么数？(1)赤道长约4×104千米；(2)按365天计算一年有3.1536×107秒．3．科学记数法的应用在日常生活、科学实验中应用科学记数法的实例很多，如星球之间的距离、光的速度、人口普查的人数、赤道的长度、人体中的红细胞数量、捐款、电脑中的应用……实际应用中有两类①先根据题意进行有关数据之间的计算，再将结果用科学记数法表示出来，要特别注意计算的准确性．②把实际问题中的普通数字改用科学记数法表示．关键是确定a和10的指数．确定10的指数有两种方法：方法1：把已知数的小数点向左移动几位(保留一位整数位数)，就乘10的几次方；方法2：查出已知数的整数部分的位数，整数部分的位数减去1，就等于10的指数．【例3－1】“天上星星有几颗，7后跟上22个0”，这是国际天文学联合大会上宣布的消息，用科学记数法表示宇宙空间星星颗数为()．A．700×1020