2023届高考数学重难点专题05导数与不等式的证明专练B卷

第=page1515页，共=sectionpages1515页05导数与不等式的证明专练B卷1.已知函数．求曲线的斜率为的切线方程当时，求证：2.已知，为自然对数的底数．讨论函数的单调性；若函数有两个不同零点，求证：．3.已知函数，曲线过点，且在点处的切线的斜率为．求，的值；求证：．4.已知函数．当时，求函数在点处的切线方程；当时，曲线上存在分别以和为切点的两条互相平行的切线，若恒成立，证明：．5.已知函数．求函数的极值；若，求证：．已知函数．

求在点处的切线方程；

求证：．已知函数在处的切线与直线平行．

Ⅰ求的值，并求此切线方程；

Ⅱ证明：．已知函数．

求的单调区间；

当时，证明：．9.已知函数，其中，为非零实数．当时，求的极值；讨论的单调性；若有两个极值点，，且，求证；10.已知函数．讨论函数的极值点个数；若，求证：在上恒成立．已知函数有两个极值点，

求实数的取值范围

证明：12.已知函数．若，求函数的单调区间；若函数有两个不相等的零点，，证明：．

答案和解析1.【答案】解：，

由，得，

得，

又，，

曲线的斜率为的切线方程为和，

即和；

证明：欲证，

只需证，

令，，

则，

可知在区间上为正，在区间为负，在区间为正，

在单调递增，在单调递减，在单调递增，

又，，，，

，

．

【解析】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性以及导数的综合应用，构造法，转化法，数形结合法等，属于中档题．

求导数，由求得切点，即可得点斜式方程；

把所证不等式转化为，再令，利用导数研究在的单调性和最值即可得证．

2.【答案】解：，，，

当时，在上是增函数，在上是减函数

当，在上是减函数，在上是增函数．

证明：有两个不同零点，，则，，

因此，即．

要证，只要证明，即证，

不妨设，记，则，，因此只要证明，即．

记，，令，则，

当时，，所以函数在上递增，则，

即，则在上单调递增，，

即成立，．

【解析】本题考查导数，涉及利用导数证明不等式，及利用导数判断含参函数单调性，属于中档题．

3.【答案】解：由题知，，

因为所以解得因为的定义域为，由知．设，则．当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．因为，故当时，，所以．

【解析】本题考查了导数的几何意义，利用导数证明不等式，属于中档题．

求导，根据列出方程组求出，即可；

构造函数，利用导数分析函数的单调性与最值即可证明．

4.【答案】解：当时，，，因为，所以，所以函数在点处的切线方程，即；由题意知，，即，整理得，

，，

，

．

【解析】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．

求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再求出的值，利用直线方程的点斜式得答案；

由题意可得，整理可得，，结合恒成立，借助于“的代换”及基本不等式求最值得结论．

5.【答案】解：函数定义域为，，

所以当，，单调递增，当

时，，单调递减，

即当

时，有极大值，

所以的极大值为，无极小值；

由于，所以

，故要证原不等式成立，

只需证：

即可，即，

令

，，则，

所以函数在区间上为增函数，

故在上，，即，

由得

，所以

，

所以

．

【解析】本题考查导数与函数的综合应用，利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．

利用导数研究函数的极值问题；

利用导数证明不等式，先注意将不等式转化为，进而转化为研究两个函数的最值问题．

6.【答案】解：，，

，．

在点处的切线方程为：，

化为：．

证明：要证明：，即证明，

分别令：，，

，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增．

故时，函数取得极小值即最小值，．

，

可得函数在上单调递增，在上单调递减，

函数在时取得极大值即最大值，，

而函数与不是在同一点取得，

因此对于，都有：．

即．

所以原不等式得证．

【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

，可得，，，再利用点斜式即可得出．

要证明：，即证明，分别令：，，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论．

7.【答案】解：Ⅰ函数，，则，

由题意知，

解得，

则，，切点为，

所求切线方程为，即．

Ⅱ证明：当时，，，所以成立，

当时，令，

则，令，，

所以，，则在上单调递增，

所以，即，

所以在上单调递增，

则，

所以当时，成立，

综上，．

【解析】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是中档题．

Ⅰ先求出导函数，由导数的几何意义可知，进而求出的值，再由点斜式即可得到切线方程．

Ⅱ分两种情况讨论，当时，显然成立；当时，令，求导可知在上单调递增，所以，从而证得结论．

8.【答案】解：由题意知的定义域为，

由已知，得，

当时，，在单调递增，无单调递减区间；

当时，令，得；令，得，

所以在单调递减，在上单调递增；

综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；

证明：当时，原不等式等价于．

由，易知在单调递增，

且，，

所以在上存在唯一零点，

此时在上单调递减，在上单调递增，

要证，即证，

由，得，，

代入，得，

因为，

所以．

【解析】由已知，得，分与两类讨论，可得的单调区间；

原不等式等价于，求导后可知在单调递增，且，在上存在唯一零点，使得在上单调递减，在上单调递增，利用分析法，可知要证，即证，利用基本不等式可求得，从而证得结论成立．

本题考查利用导数研究函数的单调性以及函数的极值与最值，考查了分类讨论思想、等价转化思想的综合运用，考查逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．

9.【答案】解：函数的定义域为，

当时，，

，

令，解得或舍，

当时，，单调递减，

当时，，单调递减，

所以当时，有极小值，

所以的极小值为，无极大值．

，

当时，，在上单调递增；

当时，令，解得或，且，

所以在，上单调递增，在上单调递减；

当时，令，解得或，且，

所以在上单调递减，在上单调递增，

综上，当时，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

证明：由知，若有两个极值点，则，

且，，

所以，，，，

所以等价于，

因为，所以，

所以

，

因为，

所以要证，只需证，

令，则，

所以在上单调递增，

又，

所以当时，，即，

因为，

所以，

所以，

所以．

【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于较难题．

对求导，由导数与单调性的关系求出单调性，从而可求得函数的极值；

对求导，再对分类讨论，利用导数与单调性的关系求解即可；

先根据极值点化简所证不等式为，令，利用导数证得即可．

10.【答案】解：依题意，，，若，则，此时函数在上单调递增，无极值点；

若，令，即，则，

令，则，故，

此时在上单调递增，而，故有个解，

即函数有且仅有个极值点，记为，

则当时，单调递增，当时，单调递减，

故是的极小值点，无极大值点，

即函数有个极小值点，无极大值点

综上所述，当时，函数无极值点；

当时，函数有个极值点；要证：，即证：，即证：；下面先证：，即．令，则，

所以在上是增函数．故，即；再证：，即，令，则，．

故在上是减函数，在上是增函数，则，即，所以；由得，即在上恒成立．

【解析】本题考查了利用导数研究函数的极值以及导数的不等式问题，属于难题．

先求出导函数，根据的符号和导函数确定函数的单调性和极值点；

，即证：，即证：，只需证明；可以证明转化为求函数的最小值大于即可．

11.【答案】解：，

函数有两个极值点，就是有两个零点，

令，有两个零点等价于有两个零点，

而，

故在上递增，在上递减，

所以，

所以，又当趋向于或趋向于正无穷时，趋向于负无穷，符合有两个零点，

故实数的取值范围是；

法一：先证：，

不妨令，即证：，

再令，即证：，

令，，

易得为上的减函数，故F，即，

故得证．

由，两式相减，得，即，得证．

法二：由知在上递增，在上递减，

且，不妨设，

则，

令，则，

故在上递减，，

即，又，，故，即．

【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值以及导数中的函数不等式，属于难题．

先求函数的导函数，再构造，根据函数的导函数确定出的单调性与极值，由即可求出参数的范围；

法一：先证，再由即得；

法二：不妨设，易得，构造函数，利用函数的导函数得出，由此可得，进而得出．

12.【答案】解：函数的定义域为，

当时，，则，

令，得，令，得，

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是；

，

当时，在上恒成立，故函数不可能有两个不相等的零点，

当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

函数有两个不相等的零点，，则，

不妨设，

设，，

则，

所以，

因为，所以