高中数学高考5 第5讲　数学归纳法　新题培优练

[基础题组练]1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2 B．3C．5 D．6解析：选C.当n＝1时，21＝2＝12＋1，当n＝2时，22＝4<22＋1＝5，当n＝3时，23＝8<32＋1＝10，当n＝4时，24＝16<42＋1＝17，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，当n＝6时，26＝64>62＋1＝37，故起始值n0应取5.2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命题总成立的是()A．若f(1)<2成立，则f(10)<11成立B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立解析：选D.当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，说明如果当k＝n时，f(n)≥n＋1成立，那么当k＝n＋1时，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果当k＝4时，f(4)≥5成立，那么当k≥4时，f(k)≥k＋1也成立．3．用数学归纳法证明1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()A.eq\f(1,2k＋2) B．－eq\f(1,2k＋2)C.eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2) D.eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)解析：选C.因为当n＝k时，左端＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2k－1)－eq\f(1,2k)，当n＝k＋1时，左端＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2k－1)－eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2).所以，左端应在n＝k的基础上加上eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2).4．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是()A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2解析：选A.f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.5．利用数学归纳法证明不等式1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<f(n)(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了()A．1项 B．k项C．2k－1项 D．2k项解析：选D.令不等式的左边为g(n)，则g(k＋1)－g(k)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)＋\f(1,3)＋…＋\f(1,2k－1)))＝eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)，其项数为2k＋1－1－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k.故左边增加了2k项．6．用数学归纳法证明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证的不等式是________．解析：由n∈N*，n>1知，n取第一个值n0＝2，当n＝2时，不等式为1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<2.答案：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<27．用数学归纳法证明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n)>eq\f(13,24)(n≥2)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．解析：不等式的左边增加的式子是eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,k＋1)＝eq\f(1,（2k＋1）（2k＋2）)，故填eq\f(1,（2k＋1）（2k＋2）).答案：eq\f(1,（2k＋1）（2k＋2）)8．用数学归纳法证明eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,（n＋1）2)>eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋2)，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________________．答案：eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,（k＋1）2)＋eq\f(1,（k＋2）2)>eq\f(1,2)－eq\f(1,k＋3)9．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·eq\f(n（n＋1）,2).证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×eq\f(1×（1＋1）,2)＝1，左边＝右边，原等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·eq\f(k（k＋1）,2).那么，当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k－1·eq\f(k（k＋1）,2)＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k·eq\f(k＋1,2)[－k＋2(k＋1)]＝(－1)k·eq\f(（k＋1）（k＋2）,2).所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)知，对任意n∈N*，都有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·eq\f(n（n＋1）,2).10．已知整数p>1，证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px.证明：用数学归纳法证明．①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．②假设当p＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．则当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x>－1且x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．[综合题组练]1．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n－1)))>eq\f(\r(2n＋1),2)均成立．证明：①当n＝2时，左边＝1＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，右边＝eq\f(\r(5),2).因为左边>右边，所以不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2k－1)))>eq\f(\r(2k＋1),2).则当n＝k＋1时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)))·…·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2k－1)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2（k＋1）－1)))>eq\f(\r(2k＋1),2)·eq\f(2k＋2,2k＋1)＝eq\f(2k＋2,2\r(2k＋1))＝eq\f(\r(4k2＋8k＋4),2\r(2k＋1))>eq\f(\r(4k2＋8k＋3),2\r(2k＋1))＝eq\f(\r(2k＋3)\r(2k＋1),2\r(2k＋1))＝eq\f(\r(2（k＋1）＋1),2).所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．2．已知数列{xn}满足x1＝eq\f(1,2)，且xn＋1＝eq\f(xn,2－xn)(n∈N*)．(1)用数学归纳法证明：0<xn<1；(2)设an＝eq\f(1,xn)，求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：①当n＝1时，x1＝eq\f(1,2)∈(0，1)，不等式成立．②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，不等式成立，即xk∈(0，1)，则当n＝k＋1时，xk＋1＝eq\f(xk,2－xk)，因为xk∈(0，1)，所以2－xk>0，即xk＋1>0.又因为xk＋1－1＝eq\f(2（xk－1）,2－xk)<0，所以0<xk＋1<1.综合①②可知0<xn<1.(2)由xn＋1＝eq\f(xn,2－xn)可得eq\f(1,xn＋1)＝eq\f(2－xn,xn)＝eq\f(2,xn)－1，即an＋1＝2an－1，所以an＋1－1＝2(an－1)．令bn＝an－1，则bn＋1＝2bn，又b1＝a1－1＝eq\f(1,x1)－1＝1，所以{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，即bn＝2n－1，所以an＝2n－1＋1.3．将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，…分别计算各组包含的正整数的和如下：S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，…试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．解：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，