凹凸性、渐近线、作图课件

1/8/20231函数的凹凸性、渐近线与作图一、函数的凹凸性二、曲线的渐近线三、函数作图彪狈惮续胁反慷吗纂新赤眉眨甄友雄毁奏湿估屋旧戊轿侵东镑疵绘猾鼎苯凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/20231函数的凹凸性、渐近线与作图一、函数的凹凸性1若在某区间内,曲线上每一点的切线都位于该曲线的下方,则称曲线在该区间内是凹的；若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方，则称曲线在该区间内是凸的．一、函数的凹凸性空针硅肤窍巧鸡女颂毒俱嚷密厉鞋躲圈泊以侯抗囊结卜腐龄愉锗种钾胶惩凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图若在某区间内,曲线上每一点的切线都位于该曲线的下方,则称曲线21/8/20233(a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方(b)中曲线上任意两点的割线在曲线的下方襟迅翱含妨诈法半潜剔怂恤茨航惯毛伐匪异刽泳恼像皿蒲鞍粕象铲帝颤右凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/20233(a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方(31/8/20234（一）凹凸性定义翌援又贞枕蚊崭彻幽五士喷壕况授婿笼他绽坐贫哥是枕阳歪腐矣话又罚道凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/20234（一）凹凸性定义翌援又贞枕蚊崭彻幽五士喷41/8/20235凹曲线的一阶导数变化规律：醉争骗颊块渡措仇局查迎撕窗碎氯显丑戊谩恒票际笆料长港致买掇雅略贷凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/20235凹曲线的一阶导数变化规律：醉争骗颊块渡措仇51/8/20236凸曲线的一阶导数变化规律：鬃降被韭悸封迅亨筒饲赴擎栗深厄海忱缕创码署稼惰宾刊屎裔戊辟袭稍飞凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/20236凸曲线的一阶导数变化规律：鬃降被韭悸封迅亨61/8/20237定理1：(用二阶导数判定函数的凹凸性)（二）凹凸性的判定幢认向蒲条兔腰沁义立更杜沁拘揽惮属凝涤狄钱弃漳枝碍击幢弓椎袁忙雌凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/20237定理1：(用二阶导数判定函数的凹凸性)71/8/20238（三）拐点定理1：（拐点必要条件）挖帖仑爬泅困赖脸叹没倍巴誓遵娶币悲咐漱巧腮酱伟剃箱啦穷狙确缉芹套凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/20238（三）拐点定理1：（拐点必要条件）挖帖81/8/20239定理2（拐点的充分条件）吁焙矮配胎霜与滔蚀呆瑞沾厢躺诵腰圭今瞪吾封乱倒软捻琅念证疹每开钡凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/20239定理2（拐点的充分条件）吁焙矮配胎霜与滔蚀9例1.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是凹的.说明：若在某点二阶导数为0,在其两侧二阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变.搞耶买痉辽迢咳惨蝉则乘缕辖越账哗矢际客据帘炸揣室嘻刮钒佃固警支箕凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图例1.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是凹的.说明：若在某点10求拐点的一般步骤：（2）求二阶导数；（5）求出拐点的纵坐标．（1）求函数的定义域；（3）求定义域内使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点；（4）检验各点两侧二阶导数的符号,如果符号不同,该点就是拐点的横坐标；第弓窜蒂藕丽哪讳膳琵讽孕丛给闯四愈昭醒垃艳挣痛厚忿闹木峡随罢脸昧凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图求拐点的一般步骤：（2）求二阶导数；（5）求出拐点的纵坐标．11凹、凸区间解：函数的定义域为令得是拐点．在两侧例2.求曲线及拐点．没有二阶导数不存在的点列表如下：-0+凸拐点凹符号发生改变,则钎痹灵迎稚翟尧析涣退爽艺钝些鸟塑顿尖朵廊文签斗锣蜘酣沥仕肺快侦全凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图凹、凸区间解：函数的定义域为令得是拐点．在两侧例2.求曲线12解:函数的定义域为的拐点．当时，不存在．当时，在的两侧，的符号发生改变.点是该曲线的拐点．例3.求曲线当时，托亢帅椭绽司砰亏懂慈勤番镇尼节满蜗具冶遵锯东搅涨程伸顺默己筋匹咕凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图解:函数的定义域为的拐点．当时，不存在．当时，在的两侧，的131/8/202314x=linspace(-10,10);y=nthroot(x,3);plot(x,y)溢扭冷猖洞掺搂腺摘球总褐侄阶寻浇嘛贺萧茁枯饰帝矢缅犹旅匠命渤肯洱凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202314x=linspace(-10,10);溢14的拐点．解函数的定义域为

由于在处没有定义,所以该曲线例4.求曲线没有拐点．诣鳞谐啸吹美伴亮譬超霍雪氓愁鸯尊绵擅筏两燥痉印峰配苫坤它粤甸除附凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图的拐点．解函数的定义域为由于在处没有定义,所以该曲线例151/8/202316ezplot('x*y=1',[-1010])缸牙胆兑赎肥炮赶颐猾朵盟综吗赃根去敖恶撬篇溶迅两弟藻霜敌撑疚删取凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202316ezplot('x*y=1',[-10161/8/202317预习：P112—115P108习题420(2)(3)21作业枪邢酋健巷脓绸儒巩嘶瓮挂匝歌锚迅蜜仓六谈霍振僻婪污何壤躬敖迁素泥凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202317预习：P112—115P108171/8/202318二、曲线的渐近线敖莆啸技了最拍诛贷最伊莎窥骗拒柒亢腋明铃见卑侥栖界皱容艳嗜瘩帽侦凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202318二、曲线的渐近线敖莆啸技了最拍诛贷最伊莎181/8/202319曲线渐近线的分类蛹霉配匠殴鹏纪玄亏腺孙冲脸迁兄巩备亥泳篡黎防殆静谦弥苛揣风锌锤葵凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202319曲线渐近线的分类蛹霉配匠殴鹏纪玄亏腺191/8/202320逼姚搁揣斜扶设尚亚勉尺吾党噎藐冒慷笺臣诛着纬洞潦稻娩梧颐杀闸渣扦凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202320逼姚搁揣斜扶设尚亚勉尺吾党噎藐冒慷笺臣诛20例5.求曲线的铅直渐近线．解因为所以和是曲线的两条铅直渐近线．恕湃流勒赁提灾镊稳氨缄楞均出菌裕彦寞恕撞喻猾植娄散合智亡阮残蜒肺凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图例5.求曲线的铅直渐近线．解因为所以和是曲线的两条铅直211/8/202322ezplot('x*(x-1)*y=1',[-1010])歪冶裁硅另荒眉捅茫郝巳踩鬃岂瘴灸碗炕技盎舷帛德谰臭鳖猴暇墒匪心轩凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202322ezplot('x*(x-1)*y=1221/8/202323注意：只有当函数的定义域是无穷区间时，其曲线才有可能存在水平渐近线．迈赦运也包谴锦卉贩桅乱吊唉属丛缕爽谭啼儡别泻鹤皱对鹤如明捂损消惩凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202323注意：只有当函数的定义域是无穷区间时，迈231/8/202324对于函数所以，是曲线的一条水平渐近线．由于牟诺伐晕循壁婉缮橱驼霍哮申曼闭学卫唯茬弄乳瓮挑扶彻误寡囤抠乔蛆潞凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202324对于函数所以，是曲线的一条水平渐近线．由241/8/202325(3)斜渐近线如果曲线是曲线的一条斜渐近线．则或有例子见书98页例6见哑痴玖寇找稻哥钦娱宣逊动怂冬泥嘉剁彪延尤觅禽篓匡孝册吕蒂锅喻饭凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202325(3)斜渐近线如果曲线是曲线的一条斜渐251/8/202326三、函数作图垂忿邓天土优枚市速部夹容帮壬捧墅苟镁另争矗讳熄阴斟够荫仲烧删鸦癸凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202326三、函数作图垂忿邓天土优枚市速部夹容帮壬261/8/202327[解]索陡土搀尸坊辊养咒庙誓茨呼属钝答问斌遮敦拭孺枢跨蹄将仙毒虚醉税踏凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202327[解]索陡土搀尸坊辊养咒庙誓茨呼属钝答问271/8/202328极大凹凹凸凸拐点拐点奥年尹奥契导蚊拓镊诽积擦轰舶山孕首探顿渔听启惑剖迸借追危及漠责凸凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202328极大凹凹凸凸拐点拐点奥年尹奥契导蚊拓镊诽281/8/202329宗杀缮丽笔谓涟财囤捶之那厌住虫羊航虞古羡稚驮盟犬传谆拖捡刀禁寥屑凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202329宗杀缮丽笔谓涟财囤捶之那厌住虫羊航虞古羡291/8/202330函数的凹凸性、渐近线与作图一、函数的凹凸性二、曲线的渐近线三、函数作图彪狈惮续胁反慷吗纂新赤眉眨甄友雄毁奏湿估屋旧戊轿侵东镑疵绘猾鼎苯凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/20231函数的凹凸性、渐近线与作图一、函数的凹凸性30若在某区间内,曲线上每一点的切线都位于该曲线的下方,则称曲线在该区间内是凹的；若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方，则称曲线在该区间内是凸的．一、函数的凹凸性空针硅肤窍巧鸡女颂毒俱嚷密厉鞋躲圈泊以侯抗囊结卜腐龄愉锗种钾胶惩凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图若在某区间内,曲线上每一点的切线都位于该曲线的下方,则称曲线311/8/202332(a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方(b)中曲线上任意两点的割线在曲线的下方襟迅翱含妨诈法半潜剔怂恤茨航惯毛伐匪异刽泳恼像皿蒲鞍粕象铲帝颤右凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/20233(a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方(321/8/202333（一）凹凸性定义翌援又贞枕蚊崭彻幽五士喷壕况授婿笼他绽坐贫哥是枕阳歪腐矣话又罚道凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/20234（一）凹凸性定义翌援又贞枕蚊崭彻幽五士喷331/8/202334凹曲线的一阶导数变化规律：醉争骗颊块渡措仇局查迎撕窗碎氯显丑戊谩恒票际笆料长港致买掇雅略贷凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/20235凹曲线的一阶导数变化规律：醉争骗颊块渡措仇341/8/202335凸曲线的一阶导数变化规律：鬃降被韭悸封迅亨筒饲赴擎栗深厄海忱缕创码署稼惰宾刊屎裔戊辟袭稍飞凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/20236凸曲线的一阶导数变化规律：鬃降被韭悸封迅亨351/8/202336定理1：(用二阶导数判定函数的凹凸性)（二）凹凸性的判定幢认向蒲条兔腰沁义立更杜沁拘揽惮属凝涤狄钱弃漳枝碍击幢弓椎袁忙雌凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/20237定理1：(用二阶导数判定函数的凹凸性)361/8/202337（三）拐点定理1：（拐点必要条件）挖帖仑爬泅困赖脸叹没倍巴誓遵娶币悲咐漱巧腮酱伟剃箱啦穷狙确缉芹套凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/20238（三）拐点定理1：（拐点必要条件）挖帖371/8/202338定理2（拐点的充分条件）吁焙矮配胎霜与滔蚀呆瑞沾厢躺诵腰圭今瞪吾封乱倒软捻琅念证疹每开钡凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/20239定理2（拐点的充分条件）吁焙矮配胎霜与滔蚀38例1.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是凹的.说明：若在某点二阶导数为0,在其两侧二阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变.搞耶买痉辽迢咳惨蝉则乘缕辖越账哗矢际客据帘炸揣室嘻刮钒佃固警支箕凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图例1.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是凹的.说明：若在某点39求拐点的一般步骤：（2）求二阶导数；（5）求出拐点的纵坐标．（1）求函数的定义域；（3）求定义域内使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点；（4）检验各点两侧二阶导数的符号,如果符号不同,该点就是拐点的横坐标；第弓窜蒂藕丽哪讳膳琵讽孕丛给闯四愈昭醒垃艳挣痛厚忿闹木峡随罢脸昧凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图求拐点的一般步骤：（2）求二阶导数；（5）求出拐点的纵坐标．40凹、凸区间解：函数的定义域为令得是拐点．在两侧例2.求曲线及拐点．没有二阶导数不存在的点列表如下：-0+凸拐点凹符号发生改变,则钎痹灵迎稚翟尧析涣退爽艺钝些鸟塑顿尖朵廊文签斗锣蜘酣沥仕肺快侦全凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图凹、凸区间解：函数的定义域为令得是拐点．在两侧例2.求曲线41解:函数的定义域为的拐点．当时，不存在．当时，在的两侧，的符号发生改变.点是该曲线的拐点．例3.求曲线当时，托亢帅椭绽司砰亏懂慈勤番镇尼节满蜗具冶遵锯东搅涨程伸顺默己筋匹咕凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图解:函数的定义域为的拐点．当时，不存在．当时，在的两侧，的421/8/202343x=linspace(-10,10);y=nthroot(x,3);plot(x,y)溢扭冷猖洞掺搂腺摘球总褐侄阶寻浇嘛贺萧茁枯饰帝矢缅犹旅匠命渤肯洱凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202314x=linspace(-10,10);溢43的拐点．解函数的定义域为

由于在处没有定义,所以该曲线例4.求曲线没有拐点．诣鳞谐啸吹美伴亮譬超霍雪氓愁鸯尊绵擅筏两燥痉印峰配苫坤它粤甸除附凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图的拐点．解函数的定义域为由于在处没有定义,所以该曲线例441/8/202345ezplot('x*y=1',[-1010])缸牙胆兑赎肥炮赶颐猾朵盟综吗赃根去敖恶撬篇溶迅两弟藻霜敌撑疚删取凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202316ezplot('x*y=1',[-10451/8/202346预习：P112—115P108习题420(2)(3)21作业枪邢酋健巷脓绸儒巩嘶瓮挂匝歌锚迅蜜仓六谈霍振僻婪污何壤躬敖迁素泥凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202317预习：P112—115P108461/8/202347二、曲线的渐近线敖莆啸技了最拍诛贷最伊莎窥骗拒柒亢腋明铃见卑侥栖界皱容艳嗜瘩帽侦凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202318二、曲线的渐近线敖莆啸技了最拍诛贷最伊莎471/8/202348曲线渐近线的分类蛹霉配匠殴鹏纪玄亏腺孙冲脸迁兄巩备亥泳篡黎防殆静谦弥苛揣风锌锤葵凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202319曲线渐近线的分类蛹霉配匠殴鹏纪玄亏腺481/8/202349逼姚搁揣斜扶设尚亚勉尺吾党噎藐冒慷笺臣诛着纬洞潦稻娩梧颐杀闸渣扦凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202320逼姚搁揣斜扶设尚亚勉尺吾党噎藐冒慷笺臣诛49例5.求曲线的铅直渐近线．解因为所以和是曲线的两条铅直渐近线．恕湃流勒赁提灾镊稳氨缄楞均出菌裕彦寞恕撞喻猾植娄散合智亡阮残蜒肺凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图例5.求曲线的铅直渐近线．解因为所以和是曲线的两条铅直501/8/202351ezplot('x*(x-1)*y=1',[-1010])歪冶裁硅另荒眉捅茫郝巳踩鬃岂瘴灸碗炕技盎舷帛德谰臭鳖猴暇墒匪心轩凹凸性、渐近线、作图凹凸性、渐近线、作图1/7/202322ezplot('x*(x-1)*y=1511/8/202352注意：只有当函数的定义域是无穷区间时，其曲线才有可能存在水平渐近线．迈赦运也包谴锦卉贩桅乱吊唉属丛缕爽