数学建模与数学实验

数学建模与数学实验总复习

西安建筑科技大学数学建模与数学实验一、绪论什么是数学模型与数学建模

数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模需要一下几方面的能力：数学知识的应用能力、计算机的运用能力、论文的写作能力。

数学建模的特点

模型的逼真性和可行性：希望模型尽可能逼近研究对象，越逼真的模型越复杂，数学上有时难以处理，实用上不一定可行，通常要在逼真性与可行性之间做出折衷与抉择；

模型的渐进性：复杂的实际问题的建模通常不可能一次完成，包括由简到繁，也包括由繁到简，以获得满意的数学模型；

模型的可转移性：模型是现实对象的抽象化、理想化的产物，不为对象所属领域所独有，具有应用的极端广泛性；

模型的非预测性：建模本身是事先没有答案的，在建模过程中有时会伴随新的数学方法或数学概念产生；

除此之外，建模还具有条理性、局限性等。数学建模与数学实验西安建筑科技大学

数学模型的分类1．依据对实际问题的了解程度可以分为：白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。2．依据模型中的变量特征可以分为：连续型模型、离散型模型或者确定性模型、随机性模型等。3．依据建模中所用的数学方法可以分为：初等数学模型、微分方程模型、优化模型、统计分析模型、控制论模型等。还有其他的不同分类方法。数学建模与数学实验西安建筑科技大学

数学建模的一般步骤数学建模的步骤：1．模型的准备：了解问题的实际背景，明确建模的目的，搜集建模所需的各种信息（如现象、数据等），弄清研究对象的特征、机理等，由此初步确定用哪一类模型；2．问题的假设：由于实际问题比较复杂，直接建模比较困难，所以合理的假设可以简化建模的难度，但也不能过于简化，否则所得到的模型与实际问题会有比较大的差异。合理的假设要符合客观事实，又要有一定的依据。由于考虑问题的视点不同，所作的简化假设不同，因而对同一问题会得到不同的数学模型。作假设的依据，首先是出于对问题内在规律的认识，其次是来自对数据、现象的分析，或者是二者的结合。数学建模与数学实验西安建筑科技大学

3．模型的建立：主要说明建模的思路与依据。充分表述自己的思路与所用到的依据，表述要简洁、清晰，论据要充分，推理及运算要正确。4．模型的求解：对于已经建立的模型给出一个正确的解答，应用所学过的知识，也可以借助于计算机，并应用相应的数学软件等。5．模型分析：对模型求解进行数学上的分析，主要是进行误差分析、稳定性分析及灵敏性分析等。6．模型的检验与推广：把数学上的分析结果“翻译”回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性。这是建模成败的关键。模型检验的结果如果不符合或者部分不符合实际，应该对模型简化假设部分再做进一步的修改、补充，重新建立模型。针对已经建立的模型指出其优点与不足，同时将模型改进、推广以适应更大的应用范围。数学建模与数学实验西安建筑科技大学

西安建筑科技大学数学建模与数学实验二、MatlabMatlab绘图二维plot函数格式

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例3图

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3.图形标注说明

为了对图形进行清晰的说明，可以使用MATLAB标注函数将标题、坐标轴标记、网格线及文字注释加注到图形上。相关函数如下表所示。其中，axis的用法还有：

axis([xminxmaxyminymax])——用行向量中给出的值设定坐标轴的最大和最小值。如axis([-2205])

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axis(equal)——将两坐标轴设为相等

axison(off)——显示和关闭坐标轴的标记、标志

axisauto——将坐标轴设置返回自动缺省值常用二维特殊图形函数

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多图形绘图

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三维绘图plot3函数plot3函数说明plot3是函数plot的三维扩展。使用格式与plot相似，二维图形的所有基本特性对三维图形全都适用，只是增加了一个维数而已。

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定义三维坐标轴大小axis([xminxmaxyminymaxzminzmax])gridon(off)绘制三维网格

text(x,y,z,‘string’)三维图形标注子图和多窗口也可以用到三维图形中例1：用plot3(x,y,z)格式，绘制参数方程x=sin(t)，y=cos(t)，z=t。2.plot3函数举例

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常用网图函数函数meshgrid将给定的区域按一定的方式划分成平面网格，该平面网格可以用来绘制三维曲面给定x轴的范围，给定y轴的范围，生成xoy平面内的该区域划分平面网格，给出网格点坐标矩阵（同维），便于继续计算xoy平面内的点对应的z坐标。

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其他三维图形函数MATLAB还提供了不少特殊的三维图形函数，如下表所示。

西安建筑科技大学数学建模与数学实验三、数学规划模型线性规划线性规划的一般形式如下：(1.3)

数学建模与数学实验西安建筑科技大学可以用向量矩阵形式表示上述优化问题。于是上述优化问题可表示成如下形式：数学建模与数学实验西安建筑科技大学1.2.2线性规划的MATLAB求解

在MATLAB优化工具箱中，求解线性规划的命令为linprog。对于形如(1.4)形式的线性规划，linprog的调用格式为：[x,fval]=linprog(c,A,B,Aeq,Beq,lb,ub)其中输出变量x为最优解，fval为最优值。

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数学建模与数学实验西安建筑科技大学1.2.3线性规划建模举例

例6.某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？

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数学建模与数学实验西安建筑科技大学MATLAB求解程序如下：

c=[1391011128];A=[0.41.11000;0000.51.21.3];b=[800;900];Aeq=[eye(3)eye(3)];beq=[400600500]’;vb=zeros(6,1);[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vb)数学建模与数学实验西安建筑科技大学在最优化模型中，若目标函数或约束条件中至少有一个为非线性的，则称这类模型为非线性规划问题。非线性规划的一般形式如下：非线性规划

数学建模与数学实验西安建筑科技大学1.3.1无约束化问题的MATLAB求解

求解无约束优化问题常用的MATLAB函数是fminunc，调用格式如下:

[x,fval,exitflag]=fminunc(FUN,x0)其中FUN为目标函数，x0为初始值，x为最优解，fval为最优值，exitflag为算法终止标志：若exitflag=1，则输出的最优结果可靠；若exitflag=0，则输出的最优结果不可靠。

数学建模与数学实验西安建筑科技大学x=linspace(0,20);y=sin(x)./x;plot(x,y);xlabel('x');ylabel('y');title('sinc(x)');gridonsinc曲线如右图所示：

数学建模与数学实验西安建筑科技大学下面建立sinc函数文件：

functiony=sinc(x)y=sin(x)./x;初值x0分别取2和8，求最小值的命令为

[x1f1e1]=fminunc(@sinc,2);[x2f2e2]=fminunc(@sinc,8);输出最优解x1=4.4934,x2=10.9041,最优值为f1=-0.2172,f2=-0.0913。由此可以看出：fminunc只能寻找到初值x0附近的局部最优解。

数学建模与数学实验西安建筑科技大学含约束化问题的MATLAB求解

将非线性规划(1.5)的约束按线性和非线分开表示，则它可表示如下的标准型：

数学建模与数学实验西安建筑科技大学用MATLAB求解上述问题，基本步骤分三步：

1．首先建立M文件fun.m,用来定义目标函数F(X):functionf=fun(X);f=F(X);2.若约束条件中有非线性约束:C(X)≤0或Ceq(X)=0,则建立M文件nonlcon.m定义函数C(X)与Ceq(X):function[C,Ceq]=nonlcon(X)C=…;Ceq=…;

数学建模与数学实验西安建筑科技大学3．建立主程序.求解非线性规划的函数是fmincon,命令的基本格式如下：

(1)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)(2)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)(3)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,lb,lu)(4)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,lb,lu,’nonlcon’)(5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,lb,lu,’nonlcon’,options)

(6)[x,fval]=fmincon(…)(7)[x,fval,exitflag]=fmincon(…)(8)[x,fval,exitflag,output]=fmincon(…)输出极值点M文件迭代的初值变量上下限参数说明

数学建模与数学实验西安建筑科技大学因此，可用fmincon函数求解(1.6)，讲义常用调用格式为：

[x,fval,exitflag]=fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,’nonlcon’)

数学建模与数学实验西安建筑科技大学先将目标函数表示为M文件：functionf=fun2(x)f=-x(1)*x(2)*x(3);

x0=[10;10;10];A=[-1-2-2;122];b=[0;72];[x,f]=fmincon(‘fun2’,x0,A,b)结果为x=[24.000012.000012.0000]，f=-3.4560e+003。数学建模与数学实验西安建筑科技大学多目标优化模型及求解（了解）

多目标优化是在给定的约束范围内求多个目标的最值，一般形式如下：数学建模与数学实验西安建筑科技大学数学建模与数学实验西安建筑科技大学数学建模与数学实验西安建筑科技大学(1)

求解程序为：c=[-3-100]';A=[2-100];b=12;Aeq=[3310;4-401];beq=[30;16];lb=zeros(4,1);x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb)课后题：数学建模与数学实验西安建筑科技大学解：对目标函数建立M文件：functionf=ex2(x)f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);对非线性约束建立M文件：function[cceq]=ex2con(x)c=[1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];ceq=[];主程序为

Aeq=[11];beq=0;x0=[1-1]';[xfvalexitflag]=fmincon(@ex2,x0,[],[],Aeq,beq,[],[],@ex2con)数学建模与数学实验西安建筑科技大学2、营养学家指出，成人良好的日常饮食应至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪。1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg的蛋白质，0.14kg的脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg的蛋白质，0.07kg的脂肪，花费21元。为了满足营养学家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？数学建模与数学实验西安建筑科技大学求解程序为c=[2821];A=-[0.1050.105;0.070.14;0.140.07];b=-[0.075;0.06;0.06];x=linprog(c,A,b,[],[],[0;0],[]);最优结果为：x=[0.14290.5714]’.数学建模与数学实验西安建筑科技大学3.某公司生产甲、乙、丙三种产品。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4kg、4kg和5kg；三种产品的单位产品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180kg，工时每天只有150台时。另外，三种产品的利润分别为400元每件、250元每件和300元每件。试建立能获得最大利润的优化模型，并进行求解。数学建模与数学实验西安建筑科技大学求解程序为c=-[400250300];A=[445;636];b=[180;150];[xf]=linprog(c,A,b,[],[],[000],[]);-f

西安建筑科技大学数学建模与数学实验MATLAB优化工具箱提供了求解0-1线性规划的函数命令bintprog。考虑如下形式的0-1线性规划：0-1线性规划的MATLAB求解

(3)bintprog调用格式为：

[x,z]=bintprog(c,A,b,Aeq,beq)四、整数规划模型

西安建筑科技大学数学建模与数学实验例4.求解解：c=-[9564]';

A=[6352;0011;-1010;0-101];

b=[9100]';

[xz]=bintprog(c,A,b)

西安建筑科技大学数学建模与数学实验2.2.3整数线性规划的MATLAB求解

下面给出使用分支界定法求解整数线性规划的MATLAB函数程序。function[x,fval,status]=intprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

globalIee=0.00001;I=[1:length(c)]ifnargin<7,ub=[];ifnargin<6,lb=[];ifnargin<5,beq=[];ifnargin<4,Aeq=[];end,end,end,end

西安建筑科技大学数学建模与数学实验options=optimset('display','off');[x0,fval0,exitflag]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,[],options);ifexitflag<0disp('无整数解');x=x0;fval=fval0;status=exitflag;return;elsebound=inf;[x,fval,status]=branchbound(c,A,b,x0,fval0,bound,Aeq,beq,lb,ub);end

西安建筑科技大学数学建模与数学实验%以下为子函数function[x_new,fval_new,status,bound_new]=branchbound(c,A,b,x,fval,bound,Aeq,beq,lb,ub)globalIeoptions=optimset('display','off');[x0,fval0,status0]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,[],options);ifstatus0<=0|fval0>=boundx_new=x;fval_new=fval;bound_new=bound;status=status0;return;end

西安建筑科技大学数学建模与数学实验int_index=find(abs(x0(I)-round(x0(I)))>e);ifisempty(int_index)x_new(I)=round(x0(I));fval_new=fval0;bound_new=fval0;status=1;return;endn=I(int_index(1));addA=zeros(1,length(c));addA(n)=1;A=[A;addA];b=[b;floor(x(n))];[x1,fval1,status1,bound1]=branchbound(c,A,b,x0,fval0,bound,Aeq,beq,lb,ub);

西安建筑科技大学数学建模与数学实验A(end,:)=[];b(end,:)=[];status=status1;ifstatus1>0&&bound1<boundx_new=x1;fval_new=fval1;bound=fval1;bound_new=bound1;elsex_new=x0;fval_new=fval0;bound_new=bound;EndA=[A;-addA];b=[b;-ceil(x(n))];[x2,fval2,status2,bound2]=branchbound(c,A,b,x0,fval0,bound,Aeq,beq,lb,ub);

西安建筑科技大学数学建模与数学实验A(end,:)=[];b(end,:)=[];ifstatus2>0&&bound2<boundstatus=status2;x_new=x2;fval_new=fval2;bound_new=bound2;end

西安建筑科技大学数学建模与数学实验例5.求解解：clearc=[13];A=[0-1;-22-34];b=-[3.13;285];lb=[0;0];[x,fval,status]=intprog(c,A,b,[],[],lb);[x,fval,status]=intprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

西安建筑科技大学数学建模与数学实验解：c=[3-25];A=[12-1;14-1;110;041];b=[2436]';

[xz]=bintprog(c,A,b)课后题：

西安建筑科技大学数学建模与数学实验解：clearc=-[11-4];A=[112;11-1;-111];b=[924]';lb=[000];[x,fval,status]=intprog(c,A,b,[],[],lb);fval=-fval;

西安建筑科技大学数学建模与数学实验2.有一份中文说明书，需翻译成英、日、德、俄、法五种语言。现有甲、乙、丙、丁、戊五个人，他们用各种语言翻译所用时间如下表，问如何指派时间最少?

西安建筑科技大学数学建模与数学实验该指派问题的优化模型为

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西安建筑科技大学数学建模与数学实验程序：Data=[382103;87297;64275;84235;9106910];c=Data(:);Aeq=zeros(10,25);fori=1:5Aeq(i,i:5:25)=1;Aeq(i+5,[1:5]+(i-1)*5)=1;endbeq=ones(10,1);[xfvalexitflag]=bintprog(c,[],[],Aeq,beq);reshape(x,5,5)西安建筑科技大学数学建模与数学实验微分方程的MATLAB求解微分方程的解析解

在MATLAB中，求解微分方程(组)的函数是desolve，调用格式如下：

r=dsolve('eq1,eq2,...','cond1,cond2,...','v')或

r=dsolve('eq1','eq2',...,'cond1','cond2',...,'v')微分方程模型西安建筑科技大学数学建模与数学实验

解：命令为r=dsolve('Dy=a*x','x')

结果为r=1/2*a*x^2+C1。解：命令为r=dsolve('Dx=x+sin(t)','x(0)=1','t')

结果为r=-1/2*cos(t)-1/2*sin(t)+3/2*exp(t)。

其中eq1,eq2,…用来表示常微分方程(组)，cond1,cond2,…表示初始或边界条件，v表示自变量，缺省时默认为t。西安建筑科技大学数学建模与数学实验

解：命令为r=dsolve('D2y-Dy^2/y=0','y(0)=1','Dy(0)=2','x')结果为r=exp(2*x)。解：命令为[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t)','t')西安建筑科技大学数学建模与数学实验2.2微分方程的数值解

解含初始条件的常微分方程的MATLAB格式

[t,Y]=solver(‘odefun’,tspan,y0)其中，odefun表示以函数文件存储的微分方程(不含初始条件)，tspan为二维向量，用来表示区间的起点和终点，y0表示自变量取tspan区间起点时的初始条件。solver指ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t和ode23tb七种求解方法中的一种。西安建筑科技大学数学建模与数学实验西安建筑科技大学数学建模与数学实验

例8.求下列微分方程解：先建立函数文件来表示微分方程：

functiondy=rigid(t,y)

dy=zeros(3,1);%dy应为列向量

dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);西安建筑科技大学数学建模与数学实验再在脚本函数或命令窗口中输入：[t,Y]=ode45(@rigid,[012],[011]);plot(t,Y(:,1),'ro-',t,Y(:,2),'g*:',t,Y(:,3),'bx--')xlabel('t','FontSize',15)legend('y_1','y_2','y_3',3)运行后得右图.西安建筑科技大学数学建模与数学实验

例9.求下列微分方程在t∈[0,3000]上的数值解，并绘出曲线。

解：先将上述高阶微分方程转化为下列微分方程组：西安建筑科技大学数学建模与数学实验建立函数文件来表示微分方程：functiondy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);%dy应为列向量dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);在脚本函数或命令窗口中输入：[t,Y]=ode15s(@vdp1000,[03000],[01]);%ode45运行时间较长plot(t,Y(:,1),'r.-')xlabel('t','FontSize',15)运行结果如右图。西安建筑科技大学数学建模与数学实验微分方程建模案例——人口预测模型3.1问题提出

在当前世界，人口问题已成为人们所面对的最为严峻的问题之一。较大的人口基数给自然生态、人类健康和人口素质带来的严重的影响。控制和预测人口数量是当前人口问题的核心问题。表1给出了陕西省1955年至2010年每间隔5年的人口数据，根据这些数据建立人口统计数据模型，并预测2015年和2020年陕西省的总人口。西安建筑科技大学数学建模与数学实验3.2几何模型西安建筑科技大学数学建模与数学实验西安建筑科技大学数学建模与数学实验上述线性方程组的最小二乘解为：从而

西安建筑科技大学数学建模与数学实验下面给出了求解r的MATLAB程序：pop=[1711.81954.22144.324272692.12831.43001.733163514 364437203735];u=mean(log(pop(2:end)/pop(1))./(1:length(pop)-1));r=exp(u)-1;绘制实际人口与预测人口对比图、相对误差图的程序为：figure(1)plot([0:11]*5+1955,pop,'ro-')popp=zeros(size(pop));popp(1)=pop(1);fori=2:length(pop)popp(i)=popp(i-1)*(1+r);end西安建筑科技大学数学建模与数学实验holdonplot([0:11]*5+1955,popp,'gs:')xlabel('年份'),ylabel('人口(单位：万)')legend('实际人口','预测人口',2)axis([1955201015005500])gridonfigure(2)plot([0:11]*5+1955,100*abs(popp-pop)./pop,'ro-')xlabel('年份')ylabel('相对误差(%)')axis([19552010040])gridon西安建筑科技大学数学建模与数学实验结果如图图7几何模型的实际与预测人口图8几何模型的相对误差西安建筑科技大学数学建模与数学实验

从图7和图8可以看出，在前期，相对误差较小；在后期相对误差非常大，2010年的预测人口的相对误差高达35.73%。因此，此模型不适合来预测2015年和2020年的人口。3.3指数模型西安建筑科技大学数学建模与数学实验即因为所以可建立含初始条件的微分方程西安建筑科技大学数学建模与数学实验求解上述微分方程得：

上述模型即为指数增长模型，也称为马尔萨斯人口模型，它最早由英国人口学家马尔萨斯在1798年提出。为了根据拟合方法求解参数r，对上述公式两边取对数：西安建筑科技大学数学建模与数学实验MATLAB求解程序为： t=[0:11]';y=log(pop');pop0=pop(1);r=t\(y-log(pop0));下面分析指数增长模型的性能，程序如下：tt=1955:5:2010;plot(tt,pop,'o-',tt,pop0*exp(r*t),'gs-','MarkerSize',10)xlabel('年份')

ylabel('人口(单位：万)')legend('实际人口','预测人口',2)axis([1955201015004500])gridon西安建筑科技大学数学建模与数学实验figure(2)plot(tt,100*abs(pop'-pop0*exp(r*t))./pop','ro-','MarkerSize',10)xlabel('年份')

ylabel('相对误差(%)')axis([19552010020])gridon

实验结果如图9和图10所示。从图9可以看出：在多数时刻，预测模型都有稍大的误差；从图10可以看出：指数模型的相对误差相对稳定，最大值为16.35%，比几何模型的相对误差低很多。西安建筑科技大学数学建模与数学实验图9指数模型的实际与预测人口图10指数模型的相对误差西安建筑科技大学数学建模与数学实验3.4阻滞增长模型西安建筑科技大学数学建模与数学实验于是建立下列微分方程：西安建筑科技大学数学建模与数学实验则西安建筑科技大学数学建模与数学实验西安建筑科技大学数学建模与数学实验附：x=0:0.01:1;dx=0.1*(1-x).*x;plot(x,dx,'-')axis([01.100.04])holdonplot(0.5*ones(1,26),0:0.001:0.025,'r:')text(0.5-0.03,-0.002,'x_m/2')text(1-0.03,-0.002,'x_m')text(1.1,-0.002,'x')text(0-0.01,0-0.001,'O')text(0-0.1,0.04,'dx/dt')%=======t=0:0.05:30;r=0.2237;x0=1711;xm=4310;x=xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*t));plot(t,x)axis([03204400])boxoffholdonplot(t,xm*ones(length(t)),'r:')西安建筑科技大学数学建模与数学实验functionx=fun(beta,t)x0=1711.8;x=beta(1)./(1+(beta(1)/x0-1)*exp(-beta(2)*t))