协方差和相关系数的计算课件

§3.3.1协方差和相关系数问题对于二维随机变量(X，Y)：已知联合分布边缘分布这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系．问题是用一个什么样的数去反映这种联系．

数Y之间的某种关系．反映了随机变量X，§3.3.1协方差和相关系数问题对于二维随机变量(X，定义称协方差．记为称为(X，Y)的协方差矩阵．可以证明协方差矩阵为半正定矩阵．协方差和相关系数的定义为X，Y的定义称协方差．记为称为(X，Y)的协方差矩阵．可以证明协若D(X)>0，D(Y)>0，称为X，Y的相关系数，记为事实上，若称

X，Y不相关．无量纲的量若D(X)>0，D(Y)>0，称为X，Y的——利用函数的期望或方差计算协方差若(X，Y)为离散型，若(X，Y)为连续型，协方差和相关系数的计算

——利用函数的期望或方差计算协方差若(X，Y)为离散型，若求

cov(X，Y)，XY．10pqXP10pqYP

例1已知

X，Y的联合分布为：XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1解10pqXYP求cov(X，Y)，XY．10p协方差和相关系数的计算课件

例2设(X，Y)~N(1，12，2，22，)，

求

XY．解例2设(X，Y)~N(1，12，若(X，Y)~N(1，12，2，22，)，则X，Y相互独立X，Y不相关．若(X，Y)~N(1，12，2，22

例3设

X，Y相互独立，且都服从

N(0，2)，U=aX+bY，V=aX-bY，a，b为常数，且都不为零，求UV．解由而例3设X，Y相互独立，且都服从N(0，2)故继续讨论：a，b

取何值时，U，V

不相关？此时，U，V

是否独立？故继续讨论：a，b取何值时，U，V不相关？协方差的性质当D(X)>0，D(Y)>0时，当且仅当时，等式成立—Cauchy-Schwarz不等式．协方差和相关系数的性质

协方差的性质当D(X)>0，D(Y)>0时，证明

令对任何实数

t，即等号成立有两个相等的实零点即证明令对任何实数t，即等号成立有两个相等的实零点即又显然即即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系为又显然即即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系相关系数的性质Cauchy-Schwarz不等式的等号成立．即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系为

相关系数的性质Cauchy-Schwarz不等式的等号成立．X，Y不相关X，Y相互独立X，Y不相关．若

X，Y服从二维正态分布，X，Y相互独立X，Y不相关．

X，Y不相关X，Y相互独立X，Y不相关．若X，Y服在例1中已知

X，Y的联合分布为XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1在例1中已知X，Y的联合分布为XYpij1例4设(X，Y)~N(1，4；1，4；0.5)，Z=X+Y，求

XZ．解例4设(X，Y)~N(1，4；1，4；0.

定义设X1，…，Xn为n个r.v.，记bij=cov(Xi，Xj)，i，j=1，2，…，n．则称由bij组成的矩阵为随机变量X1，…，Xn的协方差矩阵B．即以前讲过的n维正态分布的形式中就有协方差矩阵．§3.3.2协方差矩阵定义设X1，…，Xn为n个r.v.，记bij=cov(显然bii=DXi，i=1，2，…，nbik=bki，i，k=1，2，…，n．故协方差矩阵B是对称矩阵．由柯西-许瓦兹不等式有如果我们记则有因此B为称为列随机向量X的数学的方差，其中期望．显然bii=DXi，i=1，2，…，n故协方差矩阵B是对任意实数t1，…，tn，有如果记t=(t1，…，tn)，上式即为证明设协方差矩阵的性质

的概率密度函数，则以及分别为对任意实数t1，…，tn，有如果记t=(t1，…，tn)，这表示B是非负定的，由矩阵论的二次型理论知，对任意正整数k(1kn)，有这表示B是非负定的，由矩阵论的二次型理论知，对任意正整数如果X1，…，Xn相互独立，则B为对角矩阵．证明因为X1，…,Xn相互独立，所以当kI时，

所以B为对角矩阵．作业

P208习题三35，36如果X1，…，Xn相互独立，则B为对角矩阵．证明因为X1§3.3.1协方差和相关系数问题对于二维随机变量(X，Y)：已知联合分布边缘分布这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系．问题是用一个什么样的数去反映这种联系．

数Y之间的某种关系．反映了随机变量X，§3.3.1协方差和相关系数问题对于二维随机变量(X，定义称协方差．记为称为(X，Y)的协方差矩阵．可以证明协方差矩阵为半正定矩阵．协方差和相关系数的定义为X，Y的定义称协方差．记为称为(X，Y)的协方差矩阵．可以证明协若D(X)>0，D(Y)>0，称为X，Y的相关系数，记为事实上，若称

X，Y不相关．无量纲的量若D(X)>0，D(Y)>0，称为X，Y的——利用函数的期望或方差计算协方差若(X，Y)为离散型，若(X，Y)为连续型，协方差和相关系数的计算

——利用函数的期望或方差计算协方差若(X，Y)为离散型，若求

cov(X，Y)，XY．10pqXP10pqYP

例1已知

X，Y的联合分布为：XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1解10pqXYP求cov(X，Y)，XY．10p协方差和相关系数的计算课件

例2设(X，Y)~N(1，12，2，22，)，

求

XY．解例2设(X，Y)~N(1，12，若(X，Y)~N(1，12，2，22，)，则X，Y相互独立X，Y不相关．若(X，Y)~N(1，12，2，22

例3设

X，Y相互独立，且都服从

N(0，2)，U=aX+bY，V=aX-bY，a，b为常数，且都不为零，求UV．解由而例3设X，Y相互独立，且都服从N(0，2)故继续讨论：a，b

取何值时，U，V

不相关？此时，U，V

是否独立？故继续讨论：a，b取何值时，U，V不相关？协方差的性质当D(X)>0，D(Y)>0时，当且仅当时，等式成立—Cauchy-Schwarz不等式．协方差和相关系数的性质

协方差的性质当D(X)>0，D(Y)>0时，证明

令对任何实数

t，即等号成立有两个相等的实零点即证明令对任何实数t，即等号成立有两个相等的实零点即又显然即即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系为又显然即即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系相关系数的性质Cauchy-Schwarz不等式的等号成立．即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系为

相关系数的性质Cauchy-Schwarz不等式的等号成立．X，Y不相关X，Y相互独立X，Y不相关．若

X，Y服从二维正态分布，X，Y相互独立X，Y不相关．

X，Y不相关X，Y相互独立X，Y不相关．若X，Y服在例1中已知

X，Y的联合分布为XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1在例1中已知X，Y的联合分布为XYpij1例4设(X，Y)~N(1，4；1，4；0.5)，Z=X+Y，求

XZ．解例4设(X，Y)~N(1，4；1，4；0.

定义设X1，…，Xn为n个r.v.，记bij=cov(Xi，Xj)，i，j=1，2，…，n．则称由bij组成的矩阵为随机变量X1，…，Xn的协方差矩阵B．即以前讲过的n维正态分布的形式中就有协方差矩阵．§3.3.2协方差矩阵定义设X1，…，Xn为n个r.v.，记bij=cov(显然bii=DXi，i=1，2，…，nbik=bki，i，k=1，2，…，n．故协方差矩阵B是对称矩阵．由柯西-许瓦兹不等式有如果我们记则有因此B为称为列随机向量X的数学的方差，其中期望．显然bii=DXi，i=1，2，…，n故协方差矩阵B是对任意实数t1，…，tn，有如果记t=(t1，…，tn)，上式即为证明设协方差矩阵的性质

的概率密