空间向量的应用期末复习提高卷-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）

1.4空间向量的应用期末复习提高卷一、单选题1．若直线l的方向向量，平面的法向量，则（

）A． B． C． D．或2．若平面的一个法向量分别为，，则（

）A． B．与相交但不垂直C．或与重合 D．3．如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（

）A．直线与直线垂直，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线异面，直线平面D．直线与直线相交，直线平面4．已知，，则平面ABC的一个单位法向量为（

）A． B．C． D．5．平行六面体中，，则与底面所成的线面角的正弦值是（

）A． B． C． D．6．已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．7．正方体的棱长为3，点E，F分别在棱上，且，，下列几个命题：①异面直线与垂直；②过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；③三棱锥的体积为④过点作平面，使得，则平面截正方体所得的截面面积为．其中真命题的序号为（

）A．①④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④8．如图所示，在正三棱台中，，记侧面与底面，侧面与侧面，以及侧面与截面所成的锐二面角的平面角分别为，，，则（）A． B． C． D．二、多选题9．已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），那么下列说法中，正确的有（

）A． B．C． D．10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（

）A．若两条不重合的直线的方向向量分别是，则B．若直线的方向向量是，平面的法向量是，则C．若直线的方向向量是，平面的法向量是，则D．若两个不同的平面的法向量分别是，则11．如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，侧棱底面，为的中点，若，，则（

）A．B．异面直线与所成角的余弦值为C．异面直线与所成角的余弦值为D．平面12．已知矩形，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，翻折过程中（

）A．存在某个位置，使得B．存在某个位置，使得C．存在某个位置，使得D．存在某个位置，使得，、均不等于零三、填空题13．已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为________________14．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，AB＝BC＝2，CC1＝1，则直线AD1与B1D所成角的余弦值为__.15．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，若二面角为，则与平面所成角的正弦值为__________．16．如图，在正方体中，E为棱的中点，动点沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论：①存在点P，使得；②的面积越来越小；③四面体的体积不变.所有正确的结论的序号是_____________.四、解答题17．已知正方体的棱长为1，以D为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系．求证：．18．在四棱锥中，，平面平面.(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.19．如图，在三棱锥中，，平面，，.(1)求证：平面平面；(2)若，求平面与平面的夹角大小.20．如图，在四棱锥中，，底面，是边长为2的菱形，，正所在平面与底面垂直．(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值．21．如图，在四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，，，为等腰直角三角形，，平面底面ABCD，E为PD的中点.(1)求证：平面PBC；(2)求二面角的余弦值.22．已知多边形是边长为2的正六边形，沿对角线将平面折起，使得.（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由。参考答案1--8DCABACBB9．AB10．BD11．AC12．AD13．14．15．16．①②③17．由题意，,,所以所以.18．（1）作于点，平面平面，平面平面∴平面，平面，则又，平面平面，则，平面（2）取中点为，则由，得又平面，得，所以平面以为原点，方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为则，则今，则设平面的法向量为则，则令，则故故二面角的正弦值为19．(1)证明：因为平面，平面，所以.因为，，所以平面.因为，，所以，故平面.因为平面，所以平面平面.(2)方法一：因为，，所以.以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，所以，，，.设是平面的法向量，则，即，令，则，，所以，.设是平面的法向量，则，即，令，则，，所以，所以.所以平面与平面的夹角的大小为.方法二：如图，过作，垂足为，连接.由（1）中的垂直关系及条件，可计算得，，所以.所以.所以为二面角的平面角.，..所以.在中，由余弦定理可得.所以，所以平面与平面的夹角的大小为.20．(1)设的中点为O，连接,因为是正三角形，所以，又因为平面平面，所以平面，又因为底面，所以，又因为，所以四边形为平行四边形，所以，平面，因此平面．(2)因为，，所以是正三角形，连接OB,则，如图，以O为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，可取平面的法向量为，设平面的法向量，由，由，令，即，所以，所以所求二面角的正弦值为．21．（1）如图，取PC的中点F，连接EF，BF，∵，，∴，，∵，，∴，且.∴四边形ABFE为平行四边形，∴.∵平面PBC，平面PBC，故平面PBC.（2）取AB中点O，CD中点M，以O为原点，OM为x轴，AB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系：则，，，，，，则，，，设平面ABE的一个法向量为，平面CBE的一个法向量为，则，令，则，，，则，设与的夹角为，则，由二面角为钝角，则余弦值为.22．（1）证明：过作，连接由正六边形的性质知，且，，因为平