曲面及其方程、二次曲面课件

第五节曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面第五节曲面及其方程一、曲面方程的概念水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：曲面的实例：一、曲面方程的概念2水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的以下给出几例常见的曲面.解根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为3以下给出几例常见的曲面.解根据题意有所求方程为特殊地：球心在解根据题意有所求方程为4解根据题意有所求方程为4根据题意有化简得所求方程解5根据题意有化简得所求方程解5例4

方程的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底．解6例4方程以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．7以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关8二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线分别称为旋转曲面的母线和旋转轴。8二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一9二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。9二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一10二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。10二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转11二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。11二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转12二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。12二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转13二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。13二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转14二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。14二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转15二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。15二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转16二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。16二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转17二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。17二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转18二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。18二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转19二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。19二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转20二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。20二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转21例5

证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线为母线所产生的旋转曲面S的方程为：证明：旋转曲面如图设M(x,y,z)为旋转曲面S上任意一点，显然，M一定是由母线C上某点M1(0,y1,z1)旋转得到，(0,0,z)代入母线方程即得证明。即21例5证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线为22注意：1.yoz平面上的母线绕oz轴旋转得旋转曲面2.yoz平面上的母线绕oy轴旋转得旋转曲面3.xoy平面上的母线绕ox轴旋转得旋转曲面22注意：1.yoz平面上的母线例6

将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．23这两种曲面都叫做旋转双曲面.例6将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面旋转椭球面旋转抛物面24旋转椭球面旋转抛物面24特点：曲面方程中若除一个变量外，另外两个变量能写成平方和的形式，则该曲面是旋转曲面例：

25特点：曲面方程解

圆锥面方程26解圆锥面方程2627播放定义三、柱面观察柱面的形成过程:沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。27播放定义三、柱面观察柱面的形成过程:沿定曲线C移动的动28定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:28定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为29定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:29定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为30定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:30定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为31定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:31定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为32定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:32定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为33定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:33定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为34定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:34定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为35定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:35定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为36定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:36定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为37定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:37定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为38定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:38定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为39柱面举例抛物柱面平面39柱面举例抛物柱面平面40母线平行于z轴的柱面方程为：一般地，已知准线方程注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程表示母线平行于z轴的柱面。一般地，在空间直角坐标下（缺z），表示母线∥？，准线为？的柱面。（缺y），表示母线∥？，准线为？的柱面。（缺x），表示母线∥？，准线为？的柱面。40母线平行于z轴的柱面方程为：一般地，已知准线方程注意41问：（1）表示什么曲面？（2）表示什么曲面？回顾1.三元方程F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。2.表示一张球面。3.表示空间的一张平面。4.yoz平面上的母线绕oz轴旋转得旋转曲面41问：（1）42四、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状。即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。5.xoy平面上的准线方程母线平行于z轴的柱面方程为：其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面42四、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。目的：43（一）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：椭球面与平面的交线为椭圆同理与平面x=x1和y=y1

的交线也是椭圆43（一）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：椭球面与平面44椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆或绕z轴旋转而成。球面方程可写为44椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆45（二）抛物面（p与q同号）（1）椭圆抛物面用截痕法讨论：（1）用坐标面xoy(z=0)去截；设p与q都大于零。（2）用平面去截；（3）用坐标面xoz或yoz去截；（4）用平面去截；yoxz45（二）抛物面（p与q同号）（1）椭圆抛物面用截痕法讨论：46zxyo椭圆抛物面的图形如下：xyzo特殊地：当p=q时，方程变为旋转抛物面46zxyo椭圆抛物面的图形如下：xyzo特殊地：当p=q时47（2）双曲抛物面（马鞍面）(p与q同号)用截痕法讨论：设xzyo47（2）双曲抛物面（马鞍面）(p与q同号)用截痕法讨论48（三）双曲面单叶双曲面xyoz（1）zoxy.48（三）双曲面单叶双曲面xyoz（1）zoxy.椭圆.时,截痕为(实轴平行于x

轴；虚轴平行于z轴）平面上的截痕情况:双曲线:椭圆.时,截痕为(实轴平行于x轴；虚轴平行于z轴）平面虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z

轴;相交直线:双曲线:虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z轴51双叶双曲面xyo（2）xoyz单叶双曲面双叶双曲面注意51双叶双曲面xyo（2）xoyz单叶双曲面双叶双曲面注意(四）

椭圆锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①(椭圆锥面也可由圆锥面经x

或y方向的伸缩变换得到)(四）椭圆锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为内容小结1.空间曲面三元方程

球面

旋转曲面如,曲线绕z

轴的旋转曲面:

柱面如,曲面表示母线平行z

轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.内容小结1.空间曲面三元方程球面旋转曲面如,曲线绕2.二次曲面三元二次方程

椭球面

抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面

双曲面:单叶双曲面双叶双曲面

椭圆锥面:2.二次曲面三元二次方程椭球面抛物面:椭圆抛物面双曲抛第五节曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面第五节曲面及其方程一、曲面方程的概念水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：曲面的实例：一、曲面方程的概念56水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的以下给出几例常见的曲面.解根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为57以下给出几例常见的曲面.解根据题意有所求方程为特殊地：球心在解根据题意有所求方程为58解根据题意有所求方程为4根据题意有化简得所求方程解59根据题意有化简得所求方程解5例4

方程的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底．解60例4方程以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．61以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关62二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线分别称为旋转曲面的母线和旋转轴。8二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一63二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。9二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一64二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。10二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转65二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。11二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转66二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。12二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转67二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。13二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转68二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。14二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转69二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。15二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转70二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。16二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转71二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。17二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转72二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。18二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转73二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。19二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转74二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。20二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转75例5

证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线为母线所产生的旋转曲面S的方程为：证明：旋转曲面如图设M(x,y,z)为旋转曲面S上任意一点，显然，M一定是由母线C上某点M1(0,y1,z1)旋转得到，(0,0,z)代入母线方程即得证明。即21例5证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线为76注意：1.yoz平面上的母线绕oz轴旋转得旋转曲面2.yoz平面上的母线绕oy轴旋转得旋转曲面3.xoy平面上的母线绕ox轴旋转得旋转曲面22注意：1.yoz平面上的母线例6

将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．77这两种曲面都叫做旋转双曲面.例6将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面旋转椭球面旋转抛物面78旋转椭球面旋转抛物面24特点：曲面方程中若除一个变量外，另外两个变量能写成平方和的形式，则该曲面是旋转曲面例：

79特点：曲面方程解

圆锥面方程80解圆锥面方程2681播放定义三、柱面观察柱面的形成过程:沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。27播放定义三、柱面观察柱面的形成过程:沿定曲线C移动的动82定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:28定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为83定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:29定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为84定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:30定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为85定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:31定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为86定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:32定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为87定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:33定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为88定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:34定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为89定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:35定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为90定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:36定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为91定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:37定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为92定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:38定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为93柱面举例抛物柱面平面39柱面举例抛物柱面平面94母线平行于z轴的柱面方程为：一般地，已知准线方程注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程表示母线平行于z轴的柱面。一般地，在空间直角坐标下（缺z），表示母线∥？，准线为？的柱面。（缺y），表示母线∥？，准线为？的柱面。（缺x），表示母线∥？，准线为？的柱面。40母线平行于z轴的柱面方程为：一般地，已知准线方程注意95问：（1）表示什么曲面？（2）表示什么曲面？回顾1.三元方程F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。2.表示一张球面。3.表示空间的一张平面。4.yoz平面上的母线绕oz轴旋转得旋转曲面41问：（1）96四、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状。即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。5.xoy平面上的准线方程母线平行于z轴的柱面方程为：其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面42四、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。目的：97（一）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：椭球面与平面的交线为椭圆同理与平面x=x1和y=y1

的交线也是椭圆43（一）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：椭球面与平面