高三数学一轮复习 第九章《立体几何》94精品

..重点难点重点：线面、面面平行的判定定理与性质定理及应用难点：定理的灵活运用.知识归纳一、直线与平面平行1．判定方法(1)用定义：直线与平面无公共点．.二、平面与平面平行1．判定方法(1)用定义：两个平面无公共点..3．两条直线被三个平行平面所截，截得线段对应成比例．.误区警示1．应用线面平行、面面平行的判定定理与性质定理时，条件不足或条件与结论不符是常见的错误，解决的方法是弄清线线、线面、面面平行关系的每一个定理的条件和结论，明确这个定理是干什么用的，具备什么条件才能用．其中线面平行的性质定理是核心，证题时，找(或作)出经过已知直线与已知平面相交的平面是解题的关键，另外在证明平行关系时，常见错误是(1)“两条直线没有公共点则平行”；(2)“垂直于同一条直线的两直线平行”，不恰当的把平面几何中的一些结论迁移到立体几何中来，解决的关键是先说明它们在同一个平面内．.2．注意弄清“任意”、“所有”、“无数”、“存在”等量词的含义．3．注意应用两平面平行的性质定理推证两直线平行时，不是两平面内的任意直线，必须找或作出第三个平面与两个平面都相交，则交线平行．应用二面平行的判定定理时，两条相交直线的“相交”二字决不可忽视．4．要注意符合某条件的图形是否惟一，有无其它情形．.一、转化的思想解决空间线面、面面平行关系的问题关键是作好下列转化二、解题技巧要能够灵活作出辅助线、面来解题，作辅助线、面一定要以某一定理为理论依据．..[例1]已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：①若m∥α，则m平行于平面α内的任意一条直线②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β④若α∥β，m⊂α，则m∥β上面命题中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号).解析：若m∥α，则m平行于过m作平面与α相交的交线，并非α内任一条直线，故①错；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则可能m∥n，也可能m、n异面，故②错；.答案：③④点评：解决这类问题首先要熟悉线面位置关系的各个定理，如果是单项选择，则可以从中先选最熟悉最容易作出判断的选项先确定或排除，再逐步考察其余选项．要特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形等．.(2010·浙江理)设m，l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故选B.答案：B.[例2](文)在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD..解析：(1)在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点，所以EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，所以直线EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点，所以CF⊥BD.因为EF⊂平面EFC，CF⊂平面EFC，EF与CF交于点F，所以BD⊥平面EFC..又因为BD⊂平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.(理)如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BE；(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点，求证：MN∥平面DAE..证明：(1)因为BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，所以AE⊥BC.又BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以AE⊥BF.又BF∩BC＝B，所以AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，所以AE⊥BE..故四边形AMNP是平行四边形．所以MN∥AP，而AP⊂平面DAE，MN⊄平面DAE，所以MN∥DAE.证法二：取BE中点G，连结GM、GN，∵GN∥BC，BC∥DA，∴GN∥DA，又∵GM∥AE，∴平面MGN∥平面DAE，从而证明MN∥平面DAE....∴四边形AGEF为平行四边形，∴AF∥EG，∵EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)连结FG.∵EF∥CG，EF＝CG＝1且CE＝1，∴四边形CEFG为菱形，∴EG⊥CF.∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.又∵平面ACEF⊥平面ABCD且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD.又∵BD∩EG＝G，∴CF⊥平面BDE..[例3](2010·山东青岛)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点．(1)求证：平面AD1E∥平面BGF；(2)求证：D1E⊥平面AEC..证明：(1)∵E，F分别是棱BB1，DD1的中点，∴BE綊D1F.∴四边形BED1F为平行四边形．∴D1E∥BF.又D1E⊂平面AD1E，BF⊄平面AD1E，∴BF∥平面AD1E.又G是棱DA的中点，∴GF∥AD1.又AD1⊂平面AD1E，GF⊄平面AD1E，∴GF∥平面AD1E.又BF∩GF＝F，∴平面AD1E∥平面BGF..∵AC⊥BD，AC⊥D1D，∴AC⊥平面BDD1B1.又D1E⊂平面BDD1B1，∴AC⊥D1E.又AC∩AE＝A，∴D1E⊥平面AEC..(2010·大连模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a、b，a⊂α、b⊂β、a∥β、b∥αD．存在两条异面直线a、b，a⊂α、b⊂β、a∥β、b∥α.解析：在正方形ABCD－A1B1C1D1中，取ABCD为α，ADD1A1为β，B1C1为直线a，可知A错；如图(1)，α∩β＝l，a⊂α，a∥l，可知满足B的条件，故B错；如图(2)，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∥l，满足a∥β，b∥α，故C错；由面面平行的判定定理知D正确．答案：D.[例4]用平行于四面体ABCD一组对棱AB、CD的平面截此四面体(如图)(1)求证：所得截面MNPQ是平行四边形；(2)如果AB＝CD＝a.求证：四边形MNPQ的周长为定值；.(3)如果AB＝a，CD＝b，AB、CD成θ角．求四边形MNPQ面积的最大值，并确定此时点M的位置．分析：(1)由AB∥平面MNPQ及线面平行的性质定理得到四边形一组对边平行，由CD∥平面MNPQ得到另一组对边平行．(2)由平行得到比例关系，将四边形MNPQ的两邻边的和用AB(CD)表达出来．(3)利用正弦定理将四边形面积用两邻边表示，设四边形一个顶点(如M)到四面体的M所在棱的端点的距离为x(如AM＝x)，将面积表达为x的函数求极值．..解析：(1)∵AB∥平面MNPQ.平面ABC∩平面MNPQ＝MN.且AB⊂平面ABC.∴由线面平行的性质定理知，AB∥MN.同理可得PQ∥AB.∴由平行公理可知MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.∴截面四边形MNPQ为平行四边形．.又∵AB＝CD＝a，∴MN＋MQ＝a.∴平行四边形MNPQ的周长为2(MN＋MQ)＝2a定值．(3)设AC＝c，AM＝x.由(1)得：.如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行．求证：四边形ABCD是平行四边形．.分析：欲证四边形ABCD为平行四边形，须证其两组对边分别平行，欲证AD∥BC，从图中可见AD、BC是平面ABCD与平面AA′D′D和BB′C′C的交线，故只须证平面AA′D′D∥平面BB′C′C.AB∥CD同样可找到证明思路．.解析：∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′.∵AA′∥BB′，且AA′、A′D′是平面AA′D′D内的两条相交直线，BB′、B′C′是平面BB′C′C内的两条相交直线，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又∵AD、BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D、平面BB′C′C的交线，故AD∥BC.同理可证AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形..[例5]如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求三棱锥D－AEC的体积；(2)设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上的确定一点N，使得MN∥平面DAE..解析：(1)∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，∵BC∩BF＝B，且BC、BF⊂平面BCE，∴AE⊥平面BCE，又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE...∵MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE，同理，GN∥平面ADE，∴平面MGN∥平面ADE.又MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE.∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．.(文)(2010·烟台中英文学校质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA＝AB＝2..(1)证明：BC⊥平面AMN；(2)求三棱锥N－AMC的体积；(3)在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由．解析：(1)因为ABCD为菱形，所以AB＝BC，又∠ABC＝60°，所以AB＝BC＝AC，又M为BC中点，所以BC⊥AM而PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，又PA∩AM＝A，所以BC⊥平面AMN.....(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．.由勾股定理得AC⊥CD，又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，又CD⊂平面PCD，∴平面PAC⊥平面PCD.(2)证明：作CF∥AB交AD于F，作EF∥AP交PD于E，连接CE，∵CF∥AB，EF∥PA，CF∩EF＝F，PA∩AB＝A，∴平面EFC∥平面PAB，又CE在平面EFC内，CE∥平面PAB，.∴E为PD中点，故棱PD上存在点E，且E为PD中点，使CE∥平面APB...一、选择题1．(2010·山东文，4)在空间，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行[答案]D.[解析]当两平行直线都与投影面α垂直时，其在α内的平行投影为两个点，当两平行直线所在平面与投影面α相交但不垂直时，其在α内的平行投影可平行，故A错；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与平面BCC1B1及平面CDD1C1都平行，但平面BCC1B1与平面CDD1C1相交，故B错；同样，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1及平面CDD1C1都与平面ABCD垂直，但此二平面相交，故C错；由线面垂直的性质定理知D正确．.2．(2010·胶州三中)已知有m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的命题是()A．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βB．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥n，n⊥α，则m⊥α[答案]D.[解析]A中两直线m与n相交时，才能得出结论α∥β，故A错；B中分别在两个平面内的两条直线可能平行，也可能异面，故B错；C中n可能在平面α内，故C错．..A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台[答案]D[解析]

∵EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，∴EH∥B1C1∴B1C1∥平面EFGH，B1C1∥FG，∴EH∥FG，四边形EFGH是矩形，Ω是棱柱，故选D.

.4．如果直线l、m与平面α、β、γ满足l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有()A．m∥β且l⊥m B．α∥β且α⊥γC．α⊥β且m∥γ D．α⊥γ且l⊥m[答案]D.

请同学们认真完成课后强化作业..1．(2010·寿光现代中学)已知直线m，n，l是互不重合的直线，平面α，β是互不重合的平面，给出下列四个命题：(1)m⊂α，l∩α＝A，A∉m，则l与m不共面；(2)l，m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；(3)若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β；(4)若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m.其中为真命题的是().A．(1)(2) B．(1)(2)(3)C．(1)(3) D．(2)(3)(4)[答案]B[解析]根据异面直