《直线与圆的位置关系（2）》示范公开课教案【高中数学北师大】

《直线与圆的位置关系（2）》教案教学目标教学目标1.能熟练对直线与圆的位置关系进行判断。2.会进行圆切线的判定。3.掌握求圆的切线的方法。4.能解决与弦长有关的问题。5.掌握直线与圆的综合问题。教学重难点教学重难点重点：求弦长问题。难点：直线与圆的综合问题。教学过程教学过程一、新课导入回顾：如何判断直线与圆的位置关系？即直线Ax+By+C=0与圆x-a生回顾思考答案：（1）两种方法进行判定：几何法和代数法。位置关系公共点个数几何法判定代数法判定相交2d>r∆>0相切1d=r∆=0相离0d<r∆<0（2）代数法与几何法的优缺点：代数法从方程的角度来考虑，比较直观，但计算较为烦琐；几何法从几何的角度来考虑，方法较为简单，是判断直线与圆的位置关系的常用方法；应用几何法还可以求出圆上有4个，3个，2个，1个，0个点到直线的距离等于某一定值的情况，因此几何法的适用面更广些。思考：作为直线与圆相切、相交的位置关系，如何来求圆的切线、相交的弦长等？本节课我们就来探讨这些问题。生思考，师引出本节课题：《直线与圆的位置关系（2）》。设计意图：回顾上节课所学，加深对对直线与圆的位置关系的理解，为本节课求圆切线、弦长等问题做铺垫。二、新知探究探究一：求圆的切线的方法。生思考、回顾以前所学分析：（1）求过圆上一点（x0,y0）（2）求过圆外一点（x0,y0）的圆的切线方程：几何法：设切线方程为代数法：设切线方程为y-y0=k(x-小结：求过一点P的圆的切线方程的问题需要注意：（1）先判断点P和圆的位置关系。若点P在圆上，切线有一条；若点P在圆外，切线有两条。（2）在求切线的过程中，要注意讨论斜率不存在的情况。探究二：求切线段的长度。分析：（1）从圆外一点P（x0,y（2）从圆外一点P（x0,y探究三：求直线与圆相交时弦长。分析：方法1：如图所示，直线l与圆C交于A,B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有AB=2方法2：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是AxAB=x=1+小结：几何法比代数法运算量小，也比较直观、简单，故通常采用几何法解决圆的有关弦长问题。设计意图：通过探究活动，让学生体验探索直线与圆的位置关系的过程，加深对直线和圆的三种位置关系判定的理解。三、应用举例例1：已知直线l经过O（0，0），且与圆C：x解法1：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，代入圆C的方程得y-32当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kxx将eq\o\ac(○,2)代入eq\o\ac(○,1)消去y并整理，得k2+1x2-23k+1由直线与圆相切可得方程eq\o\ac(○,3)有两个相等的实数根，所以∆=42解得k故所求直线l的方程为y=12解法2当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，圆心C（1，3）到直线l的距离为1当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，即由相切条件可得d=|k-解得k故所求直线l的方程为y=12例2：已知圆C：（1）若点P运动到（1，3）处，求此时切线l的方程。（2）求满足|PM解：（1）把圆C的方程化为标准方程为x+1所以圆心为（-eq\o\ac(○,1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1满足条件。eq\o\ac(○,2)当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则l:y-3=kx-1,即kx由题意，得|-k-2+3-k所以l的方程为3综上得，满足条件的切线l的方程为x=1或（2）设P（x,y），因为整理得2即点P得轨迹方程为2x例3：已知直线m:3x+4y-2=0与圆（1）写出圆P的圆心坐标和半径，并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形；（2）由（1）所画图形，判断直线m与圆P的位置关系，若相交，求直线m被圆P截得的弦长；若相切或相离，给出证明。解：（1）将圆的方程化为标准方程，得x-12+y-1（2）因为圆心P到直线m的距离d=|3+4-2|32+42=1<2，所以直线m与圆P相交。设交点为A,B，圆P的半径为r（如上图2所示），易知∆PAB所以由勾股定理得，AB故直线m被圆P截的弦长为2.小结：1.用点斜式求直线方程时要首先验证斜率不存在的情形。2.直线与圆相切用几何法列式计算比较简单不用代数法(判别式法)。3.求动点P的轨迹方程要用坐标变量表示P点，即P(x,y),然后利用条件列出(x,y)满足的方程化简则得解。设计意图：通过三个案例进行分析，进一步熟悉圆的一般方程，灵活转化标准方程和一般方程，掌握求圆的切线的方法，能灵活解决直线与圆的综合问题，提升学生数形结合及方程思想。四、课堂练习1.设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x22.已知直线x-3y+8=0和圆3.圆C与直线2r+y-5=0相切于点（2，1）4.求直线3x+4y=13被圆参考答案：1.±解析：由已知，可知直线方程为y=x+a，即x-y+a=02.5。分析：本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题。根据题意，分析圆的圆心，由点到直线得距离公式，可得圆心到直线x-3y解析：根据题意，圆x2+y则圆心到直线x-3y+8=0的距离d=81+33.x分析：已知直线与圆的位置关系求圆的方程，可将位置关系中的等量关系作为求圆的圆心和半径或圆的方程中待定系数的已知条件，列方程求解。解析：设圆的方程为x-a2+y-b2=r.因为两切线所以|2a+b+15|22|2a+b-又因为过圆心和切点的直线与切线垂直，所以b-1联立eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)，解得a=-2b=-1，故所求圆的方程为x+22+y4.4分析：先将圆的一般方程化为标准方程，再求得圆心到直线3x+4y解析：圆x2+y2-2x-15=0的标准方程为x-12+五、课堂小结1.求过一点P的圆的切线方程的问题需要注意：（1