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无穷级数第8章主讲教师：

第8章无穷级数级数的概念与性质常数项级数审敛法幂级数8.1常数项级数的概念与性质123常数项级数的概念级数收敛的必要条件级数收敛的基本性质用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0

表示即内接正三角形面积,ak

表示边数增加时增加的面积,则圆内接正8.1.1常数项级数的概念引例给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第

n

项叫做级数的一般项或通项,级数的前

n

项和次相加,简记为称为级数的部分和.（8.1）定义8.1当级数收敛时,部分和是级数的和的近似值，称差值为级数的余项.则称无穷级数（8.1）发散

.显然收敛

,则称无穷级数（8.1）也称级数收敛于和S,记作如果级数（8.1）的部分和数列有极限，定义8.2判定级数的敛散性.由于

所以例8.1解而所以该级数收敛，其和为。（1）判定级数（2）判定级数的敛散性。的敛散性。联想？讨论等比级数(又称几何级数)(q

称为公比)的敛散性.

1)

若则，级数收敛；则则部分和级数发散.例8.2解2).

若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.判断下列级数的敛散性（2）（3）

（1）讨论级数的敛散性.是公比为的等比级数，则当即时，级数收敛，且当,即时，级数发散。例8.3解设级数则必有【注】该定理的逆否命题常用来作为级数发散的，则级数发散”。判别方法，即“若收敛，8.1.2级数收敛的必要条件定理8.1证观察下列级数的敛散性：

由于一般项不趋于0，因而都发散。提示【注】提醒读者特别注意，不要误认为“若，则级数收敛”。事实上，当时，级数可能收敛也可能发散。例如收敛发散设有两个收敛级数k为常数，则：（1）级数也收敛,其和为cS.（2）级数也收敛,其和为以上两个性质表明，收敛级数可逐项数乘、相加或减.8.1.3收敛级数的基本性质性质8.1求级数的和．

由于等比级数，故有＝1+5＝6且例8.4解在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.将级数的前m项去掉后得到新级数特别地，当级数由于级数的前m项之和是个定常数，不影响级数的敛散性，所以级数同敛散。与时，性质8.2证若级数收敛，则在级数的相邻间任意加括弧后所成的新级数仍收敛，且其和不变。收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.例如，性质8.3注意

①若级数与均发散，则级数

是否发散？

②若级数收敛，而级数发散，则级数

是否发散？若加括弧后的级数发散,则原级数

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