有限元分析第3章弹性力学基础知识2

李建宇天津科技大学有限元分析FiniteElementAnalysis内容弹性力学基础知识2

1.边界条件

2.弹性力学中的能量表示

3.弹性力学边值问题要求理解：弹性力学边界条件的提法了解：弹性力学边值问题的内涵掌握：弹性力学中的能量表述课后作业继续检索、阅读弹性力学基本文献上节回顾

弹性力学的“三个基本”1、基本假定2、基本变量3、基本方程上节回顾

弹性力学的基本假定五个基本假定：1、连续性(Continuity)

2、线弹性(Linearelastic)3、均匀性(Homogeneity)4、各向同性(Isotropy)5、小变形假定(Smalldeformation)弹性力学基本变量在外部力和约束作用下的变形体上节回顾位移的描述形状改变的描述力的描述材料的描述变形体的描述：弹性力学基本变量材料参数位移物体变形后的位置物体的变形程度物体的受力状态物体的材料特性应变应力上节回顾描述变形体的三类变量：上节回顾弹性力学基本变量dyxyzuvwdzdx(x,y,z)SuSpΩT位移（displacement）是指位置的移动。它在

x,y和z

轴上的投影用u,v

和w。上节回顾弹性力学基本变量dyxyzuvwdzdx(x,y,z)SuSpΩT微元体(Representativevolume)上节回顾弹性力学基本变量应力张量（stresstensor）上节回顾弹性力学基本变量应变张量（straintensor）dyuvwdzdx(x,y,z)dxuu

+duτβαγ=α+β弹性力学的基本方程应力应变位移几何方程物理方程平衡方程弹性力学三大方程上节回顾上节回顾弹性力学基本方程几何方程L：微分算子上节回顾弹性力学基本方程平衡方程A：微分算子上节回顾弹性力学基本方程物理方程D：弹性矩阵对称上节回顾弹性力学基本方程dyxyzuvwdzdx(x,y,z)SuSpΩT弹性力学三大方程in边界上呢？一、弹性力学的边界条件

(Boundarycondition)dyxyzuvwdzdx(x,y,z)SuSpΩT两类边界条件：Sp：力的边界Su：位移边界一、弹性力学的边界条件1、位移边界条件边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与给定位移相等的条件dyxyzuvwdzdx(x,y,z)SuSpΩT一、弹性力学的边界条件2、力的边界条件边界上给定面力时，则物体边界上的应力应满足与面力相平衡的力的平衡条件以二维问题为例注意ds为边界斜边的长度，边界外法线n的方向余弦l＝dy/ds，m=dx/ds有：一、弹性力学的边界条件以二维问题为例同理：一、弹性力学的边界条件以二维问题为例二维情形的力的边界条件其中：nx＝l；ny＝m一、弹性力学的边界条件扩展到三维情形的力的边界条件二、弹性力学中的能量表述功能原理的两个基本概念：

功（work）：外力功；

能量（energy）：如动能、势能、热能等弹性问题中的功和能量：外力功：施加外力在可能位移上所做的功应变能：变形体由于变形而储存的能量二、弹性力学中的能量表述1.弹性力学中的外力功（workbyforce）

弹性力学中的外力包括：面力和体力，故外力功包括：Part1：面力pi在对应位移上ui上的功（onSp）Part2：体力bi在对应位移上ui上的功（inΩ）外力总功为：二、弹性力学中的能量表述2.弹性力学中的应变能(strainenergy)

设加载缓慢，系统功能可忽略，同时略去其它能量（如热能等）的消耗，则所做的功全部以应变能的形式储存于内部。Part1：对应于正应力与正应变的应变能Part2：对应于切应力与切应变的应变能

对应于微元体的两种变形：线应变和切应变，亦有两种形式的应变能：怎么求？Part1：对应于正应力与正应变的应变能微元体的变形能：整个物体Ω上σx，εx所产生的变形能：Part2：对应于剪应力与剪应变的应变能微元体的变形能：整个物体Ω上τxy，γxy所产生的变形能：二、弹性力学中的能量表述2.弹性力学中的应变能(strainenergy)由叠加原理，将所有方向正应力正应变、剪应力剪应变所产生的变形能叠加应变能密度其中：i,j＝

x,y,z。μ,λ称为拉梅常量，其与工程弹性常数E,ν的关系为：不难发现：应变能密度的性质弹性应变能密度U0(εij)（或U0(σij)

）对任一应变分量（或应力分量）的改变率等于相应的应力分量（或应变分量）。三、弹性力学边值问题求解弹性力学问题的目的：求出物体内部各点的应力、应变和位移，即应力场、应变场和位移场。弹性力学问题的提法：给定作用在物体全部边界或内部的外界作用（包括温度影响、外力等），求解物体内由此产生的应力场和位移场。具体要求：（1）在物体内部各点：应力分量、应变分量和位移分量满足：（2）在物体边界：应力分量、应变分量和位移分量满足：

平衡方程（3个）几何方程（6个）物理方程（6个）

位移边界条件力的边界条件基本方程组，普遍规律定解条件，特定规律。每一个具体问题反映在各自的边界条件上三、弹性力学边值问题弹性力学边值问题提法：求u，σ，ε，满足：基本方程：边界条件：已经证明：该问题有解，而且解唯一。但很难求解！关于弹性力学解的唯一性的讨论

——圣维南原理由弹性力学解的唯一性可知，边界条件不同，则解不同，但实际应用中出现的事实是：圣维南发现了这一事实，并总结为：关于弹性力学解的唯一性的讨论

——圣维南原理圣维南原理：如作用在弹性体表面某一不大的局部面积上的力系，为作用在同一局部面积上的另一静力等效力系所代替，则荷载的这种重新分布只在力荷载作用处很近的地方才是应力的分布发生显著变化，在离荷载较远处只有极小的影响。关于弹性力学解的唯一性的讨论

——圣维南原理圣维南原理的应用：可将边界条件简化,将不容易积分的方程变成近似的容易积分的边界条件方程.

关于弹性力学解的唯一性的讨论

——圣维南原理利用Ansys初步体会圣维南原理的正确性在Ansys中，通过变换端部位移约束与外力的施加形式，观察变形体远离端部的变形、应力云图，。。。课后作业搜索、阅读弹性力学相关文献并了解如下弹性力学概念和计算公式：

一点的应力状态；

主应力（principalstress）；

应力不变量（stressinvariant）；

强度准则。上机实验安排时间：第4周星期三第1－2节（8:00－9:40）地点：C302上机实验题目：杆梁结构Ansys有限元分析（2）实验目的：利用Ansys具体计算杆梁结构的力学响应实验内容：照书操练教材P125，Ansys算例5.1(1),(2)利用Ansys后处理器，提