新人教A版必修二高中数学教学课件：-直线的方程

直线的方程(一)复习提问：1、什么叫直线的倾斜角和斜率？2、已知直线上两个不同的点(x1,y1)、(x2,y2)(x1≠x2)，求此直线的斜率。3、什么是直线方程?什么是方程的直线?4、已知直线l的方程为y=x+2,点P（-1，1）在l上吗？Q（-2，2）呢？为什么？5、对于直线l（如图），θ和b在l中分别表示什么？0θbl6、方程y=kx+b与直线l之间存在着什么样的关系？7、直线l过点Q（-1，1），点P（x,y)且斜率为1，则x,y有何关系？问：上述关系（1）是过Q（-1，1）的直线方程吗？为什么？分析：直线l的方程首先是直线上任意一点所应满足的方程。也就是动点P（x,y)所要满足的等式。但由于，当x=-1时，式子没有意义，所以，此式还不是直线l的方程。将上述方程整理得：y-1=1.(x+1)（2）(问：此方程是不是直线l的方程？）直线的方程验证：直线l上包括Q在内的每一点的坐标都是方程（2）的解，反之，以方程（2）的解为坐标的点都在直线l上。所以方程（2）就是经过点Q（-1，1）且斜率为1的直线l的方程。请同学们完成下面问题：已知直线l经过点P（x1,y1),斜率为k,求直线l的方程。总结：过点P(X1,Y1)，斜率为k的点斜式方程为Y-y1=k(x-x1)说明：（1）此方程叫直线方程的点斜式。（2）已知直线过一点及斜率可求直线方程（垂直于x轴的直线除外）。

此时直线的方程是

x=x1直线的倾斜角为00时，直线的倾斜角为900时，没有斜率

此时直线的方程是例1求分别满足下列条件的直线方程并画图：（1）经过点（-2，-1），斜率为-√3；（2）经过点（0，1），斜率为0；（3）经过点（-√2，2），倾斜角为60°；（4）经过点（-2，0），倾斜角为90°；（5）经过点（-2，0），倾斜角为0°。练习:求满足下列条件的直线方程(1)经过点A(0,-2),倾斜角为(2)经过点B(0,3),斜率为2;(3)经过点C(0,b),斜率为k.总结:直线方程的斜截式:y=kx+b称b为直线l在y轴上的截距,这个方程是由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定的,所以叫直线方程的斜截式.说明(1)已知直线斜率及在y轴上的截距,可用斜截式求直线方程.(2)直线方程的斜截式是点斜式的特殊情况.练习:已知直线l的斜截式方程为

,求直线l的斜率、倾斜角和直线在y轴上的截距。点评：（1）斜截式与一次函数y=kx+b形式一样，但有区别。（2）由斜截式可知x的系数，即为直线斜率。（3）截距与距离不一样，截距可正、可零、可负,如：y=3x+1,y=3x,y=3x-1,而距离不能为负。（4）截距分横截距和纵截距。纵截距为直线与y轴交点的纵坐标（即令x=0);横截距为直线与x轴交点的横坐标（即令y=0）小结：1)直线方程的两种形式：点斜式：y-y1=k(x-x1)

斜截式：y=kx+b2)点斜式和斜截式都是在斜率存在时方可用。§7.2直线的方程(1)形式条件方程应用范围点斜式过点(x0,y0),斜率为kK存在斜截式在y轴上的截距为b,斜率为kK存在且不含y轴注：在使用这两种形式求解直线方程时，若斜率存在与否难以确定，应分“斜率存在”和“斜率不存在”这两种情况分别考虑，以免丢解。练习：P39-40T1、2作业布置：P44T1、2、3、4、5解：由题意知直线l与两坐标轴不垂直。于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为无解。例2：例3、已知直线L经过点P(3,2)，并且与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，若△AOB面积为16，求L的方程；变式题：求使△AOB面积最小时的直线

L的方程。直线的方程4、已知直线L:求直线L的倾斜角的取值范围。5、若△ABC在第一象限，A(1,1)，B(5,1)，且点C在直线AB的上方，求直线AC、直线BC的方程。直线的方程直线的方程(二)1、（1）直线方程的点斜式：（2）直线方程的斜截式：已知直线上一点P（x1，y1）与斜率k，直线方程为已知直线斜率k与在y轴上的截距为b，直线方程为y-y1=k（x-x1）y=kx+b复习回顾直线的方程直线L经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)并且x1≠x2，所以它的斜率代入点斜式得：当时,方程可以写成说明：（1）这个方程是由直线上两点确定；叫两点式.（2）当直线没斜率或斜率为0时，不能用两点式来表示；直线L经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)两点，求直线L的方程？分析：二、直线方程的两点式和截距式问题1对直线的两点式方程公式的理解：

(2)直线的两点式方程中，要求x1≠x2，y1≠y2

．倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示．即这个方程不能表示平行于y轴，平行于x轴的直线．当x1=x2时，直线平行于y轴，直线的方程为x=x1=x2，当y1=y2时，直线平行于x轴，直线的方程为y=y1=y2．

(3)直线的两点式方程比较复杂，同学们要注意它的特征------（对称和美观，体现了数学美

）做好记忆．(1)方程中的x，y代表直线l上动点的坐标，x1，y1，x2，y2代表两个已知点的坐标．(4)如果把两点式进行一下变形为就可以表示为任意的直线了。已知直线L与X轴的交点为（a,0）与y轴的交点为（0,b），其中a≠0,b≠0，求直线L的方程?解：由两点式得:即:说明:（1）这一直线方程是由直线的纵截距和横截距所确定；叫直线方程的截距式.（2）截距式适用于纵，横截距都存在且都不为0的直线；问题2：2它不能表示a，b不存在或为零的直线，即表示不了倾斜角及和过原点的直线。3对于a、b来说，可能有一者不存在但不可能都不存在，可能都存在且a=0时b=0同时成立。1截距式：，它是两点式的特殊形式，其中的两点为和。形式非常对称、美观，其中a是横截距，b是纵截距．

4对于任意一条直线l的方程应设为或x=a

或y=b或y=kx

。理解：1.求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式方程（1）P（2，1），Q（0，-3）（2）A（0，5），B（5，0）（3）C（-4，-5），D（0，0）答案课堂练习2.根据下列条件求直线方程（1）在X轴上的截距为2，在Y轴上的截距是3；（2）在X轴上的截距为-5，在Y轴上的截距是6；答案由截距式得：整理得：由截距式得：整理得：三、世间万物是相互联系的，我们已经学习了直线方程的应当把它们勾通起来，相互进行转换．例2：已经直线l过A(1，－3)B(2，1)两点，求直线l的的两点式方程，并把它转化为直线的斜截式、截距式和点斜式．解l过A(1，－3)．B(2，1)两点，由两点式

点斜式、斜截式、两点式、截距式由4x－y－7=0化为y=4x－7．即直线的斜截式．由4x－y－7=0中，x=0y=－7，即b=－7．

直线的点斜式方程为:y-1=4(x-2)点斜式方程唯一吗？三角形的顶点是A（-5，0），B（3，-3）C（0，2），求这个三角形三边所在的直线方程？解：xyo.C（0，2）.B(3,-3)（-5，0)A.直线AB经过A，B两点，由两点式得整理得3x+8y+15=0，这就是AB的直线方程直线BC经过B，C两点，由两点式得整理得5x+3y-6=0，这就是BC的直线方程同理可得：AC的直线方程为2X-5y+10=0例题点评：直线AC，截距式较好；直线BC，斜截式较好；直线AB，两点式较好.课堂小结：直线方程四种形式的特点：

点斜式和斜截式表示直线时，斜率存在是关键，所以对于垂直于X轴的直线要另加说明。

两点式表示直线时，前提条件是这两点的横坐标不能相等，纵坐标也不相等，所以它不能表示平行于坐标轴的直线。

截距式表示直线时，直线在X轴，Y轴上的截距可正，可负，但绝不能为零，所以它不能表示任何平行于坐标轴和过原点的直线。第一种：点斜式第二种：斜截式第三种：两点式第四种：截距式直线方程的几种形式:y-y1=k(x-x1)（1）这个方程是由直线上一点和斜率确定的（2）当直线L的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1(3)当直线倾斜角90°时，直线没有斜率，方程式不能用点斜式表示，直线方程为x=x1▲▲▲▲1.点斜式：

y=kx+b

说明：

（1）上述方程是由直线L的斜率和它的纵截距确定的，叫做直线的方程的斜截式。

（2）纵截距可以大于0，也可以等于0或小于0。2.斜截式：说明：（1）这个方程是由直线上两点确定；（2）当直线没斜率或斜率为0时，不能用两点式来表示；3.两点式：说明:（1）这一直线方程是由直线的纵截距和横截距所确定；（2）截距式适用于纵，横截距都存在且都不为0的直线；4.截距式：解：例1.三角形的顶点是A（-5，0）、B（3，-3）、C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。例2三角形的顶点是A（-5，0）、B（3，-3）、C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。

补充：1、求经过点（4，-3）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程。2、过点P（2，1）作直线l交x轴，y轴的正半轴于A，B，当的值最小时直线l

的方程.直线的方程(三)形式条件方程应用范围点斜式过点(x0,y0),斜率为k斜截式在y轴上的截距为b,斜率为k两点式过P1（x1,y1),P2（x2,y2)截距式在y轴上的截距为b,在x轴上的截距为a能否统一写成？？？7.2直线的方程(3)第一种：点斜式第二种：斜截式第三种：两点式第四种：截距式一、复习回顾直线方程的四种形式：直线的方程一般式1、直线与二元一次方程的关系

在平面直角坐标系中，对于任意一条直线都有一个表示这条直线的关于x,y的二元一次方程结论二、新课讲解:当可以写成：当可以写成：（一）（二）上两式都可看作关于x、y的二元一次方程，其中（二）式中y前的系数是0结论2、证明：任何关于x、y的一次方程都表示一条直线。（其中A、B不同时为0）①②表示与y轴平行或重合的直线一般式：例1、已知直线经过点A（6，－4）斜率为求直线方程的点斜式和一般式方程解：直接代入点斜式方程有：点斜式方程：一般式方程：化简得评述：一般前的系数为正，系数及常数都不为分式，一般按常数排列三、范例讲解:说明：(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留．解：思考

直线方程Ax+By+C=0的系数A、B、C满足什么关系时,这条直线有以下性质：与两条坐标轴都相交；只与x轴相交；只与y轴相交；是x轴所在直线；是y轴所在直线.答：AB≠0A≠0，B=0；B≠0，A=0；B≠0，A=C=0；A≠0，B=C=0.例2.已知直线的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求该直线的方程？

由题意知所围成的三角形为直角三角形，而根据直角三角形的面积公式，直线方程应设为截距式较好，解：设直线方程为直线的斜率又S解得或所求直线的方程为：或分析：四、课堂练习:P43.1,2,3六、课外作业:P44.11,12知道直线方程的一般式及由一般式化其它形式，及求斜率，截距等五、课堂小结:例2、把直线的方程化成斜截式，求出直线的斜率及它在轴与轴上的截距解：由有故的斜率纵截距为3令则即横截距为－6例3、设、是轴上的两点，点的横坐标为2，且若直线的方程为 求直线的方程解：由得故又两直线的倾斜角互补故即例4、直线方程为若直线不过第二象限，求的取值范围解：由

得：故直线过定点则直线的斜率范围为即其倾斜角直线的方程(四)目的要求:1.复习掌握直线方程的四种特殊形式,并能运用这四种形式熟练地求出直线的方程.2.会由直线的方程求出直线的斜率、倾角、截距等,并能根据方程画出方程表示的直线.重点难点分析:教学重点:直线方程的点斜式和斜截式方程及应用.教学难点:几种形式的正确理解和熟练运用;以及恰当选取.一.知识要点回顾:1.建立直线点斜式方程的依据是:直线上任意一点与这条直线上的一个定点的连线的斜率相等,故有,此式是不含点P1(X1,y1)的两条反向射线的方程,必须化成:才是整条直线的方程.y－y1=k·(x－x1)特别地:当直线的斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为:x=x1.2.斜截式方程可看作是点斜式的特殊情况,表示过(0,b)点,斜率为k的直线:y-b=k(x-0),即y=kx+b,其特征是方程等号的一端只是一个y,其系数是1;等式的另一端是x的一次式,而不是x的一次函数;如:y=c是直线的斜截式方程,而2y=3x+4不是直线的斜截式方程.斜截式方程形式上的最大特点是“斜率k让人一目了然”.4.直线的截距式是过点(a,0),(0,b),(a≠0,b≠0)两点的两点式,用截距式最便于作图,要注意截距式是坐标而不是长度,当斜率不存在或为0时,直线不能用截距式表示.3.直线的两点式方程的条件为:x1≠x2,y1≠y2.名称

已知条件

方程

说明点斜式点P1(X1,y1)和斜率k不包括y轴及平行于y轴的直线斜截式斜率k和y轴上的截距不包括y轴及平行于y轴的直线两点式点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)不包括坐标轴及与坐标轴平行的直线截距式在x轴上的截距a.在y轴上的截距b.不包括过原点及与坐标轴平行的直线一般式Ax+By+C=0A,B不同时为零1.直线方程的几种特殊形式都有其局限性,使用时要注意分类讨论的意识的培养;二.直线方程形式的灵活选取技巧:2.一般地,已知一点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或点斜式;已知截距或两点选择截距式或两点式;另外,从所求的结论来看,若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长,则应选用截距式;3.待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法,但要注意选择形式:⑴一般地,已知一个点就待定k,但应注意讨论K的存在性;⑵若已知斜率k,一般选择斜截式,待定纵截距b;⑶若已知直线与坐标轴围成三角形的问题就选择