第五章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析

第五章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析5.1李雅普诺夫意义下的稳定性5.2李雅普诺夫稳定性理论

5.3线性系统的李雅普诺夫稳定性分析

一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证系统是稳定的。因此，控制系统的稳定性分析是系统分析的首要任务。在经典控制理论中，已经提出了若干关于系统稳定性的判别方法，如劳斯判据、奈奎斯特判据和对数判据等。但这些判别方法只适用于线性定常系统，对于非线性系统和时变系统，上述判别方法不适用。

5.1李雅普诺夫意义下的稳定性

稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质。稳定性是系统本身的一种动态属性，和外部输入无关。所以系统的状态方程为：其中，x为n维状态向量，f(x,t)为n维向量函数。一、平衡状态：意义：当系统运动到xe点时，系统状态各分量将维持平衡，不再随时间变化。平衡点：由系统状态在状态空间中所确定的点求法：1、线性定常系统唯一一个平衡状态，坐标原点是唯一平衡点2、非线性系统对于非线性系统，方程的解可能有多个，即可能有多个平衡状态。如其平衡状态应满足下列方程解得：因此该系统有3个平衡状态：二、范数的概念范数：衡量（度量）状态空间距离的大小向量x的长度称为向量x的范数：n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用表示，则由范数的定义可知，向量的范数可写成通常又将称为与的距离。当向量的范数限定在某一范围之内时，则记为三、李雅普诺夫稳定性定义满足出发的解时，从任意初态，使当总存在另一个实数若任意给定一个实数是稳定的。则称系统的平衡状态extxtx),,(00x0，ettxx),(0³£-eexx0£-d,0>etxfx),,(=&)(eS)(dS总不会超出的任何时刻在发出的轨迹，几何意义：从0tt>定义中对的大小没有具体要求，只要是有限的实数就可以。因此，若状态解是等幅振荡的自由运动，在经典理论中是不稳定的，而在李雅普诺夫的稳定性定义中是稳定的。1、一致稳定性如果平衡状态是稳定的，且与无关，则称该平衡状态是一致稳定的。因此，若定常系统的平衡状态是稳定的，则一定是一致稳定的。稳定性定义）、渐近稳定（经典理论2时，当在李氏意义下稳定，且¥®tex®exx,=-¥®etxx0lim几何意义：时，最终收敛于当。ex¥®t发出的任意一个解，从Sd()显然，渐近稳定比稳定有更强的要求。另外，从上述定义还可以看出，经典理论中的稳定，就是这里所说的渐近稳定。3、大范围（全局）稳定性当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称该平衡状态是大范围稳定的，或是全局稳定的。此时，对于线性定常系统，当A为非奇异的，系统只有一个惟一的平衡状态。所以若线性定常系统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。而对于非线性系统，由于系统通常有多个平衡点，因此非线性系统通常只能在小范围内渐近稳定。4、不稳定不管取得多么小，只要在内有一条从x0出发点轨迹跨出，则称该平衡状态是不稳定的。与经典控制理论的区别：平衡点/BIBO；状态稳定/输出稳定；经典控制的稳定大致对应于现代控制的渐进稳定；即便输出稳定，状态可能不稳定；李雅普诺夫意义下的稳定在经典中是不稳定的；经典控制不需要一致性、全局性概念。5.2

李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫第一法的基本思想是利用状态方程解的性质来判断系统的稳定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系统以及线性时变系统和非线性系统可以线性化的情况。一、李雅普诺夫第一方法线性定常系统的特征值判据：系统渐近稳定的充要条件是A的特征值均具有负实部，即：证明：假定A有相异特征值根据凯莱哈密顿定理：矩阵指数eAt为的线性组合则状态方程的解为：如果只有一个（或一对）特征值的实部等于0，其余特征值实部均小于0，则系统仅仅可能是李亚普诺夫意义下的稳定性。李雅普诺夫第二法的特点是不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的稳定性进行分析判别，所以着重介绍李雅普诺夫第二法。二、李雅普诺夫第二方法1.二次型函数的定义定义:设x是n维列向量，称标量函数为二次型函数，P为实对称矩阵。f(x,y)=ax2+2bxy+cy2每项二次数都是二次的。上式是二次型函数的矩阵表达式，该式又可以展开为2.标量函数的定号性设x是状态空间中的非零向量，V(x)是向量x的标量函数:（1）正定性称为正定的。例如，（2）负定性例如，例如，（n=2）称为正半定的。例如，（3）正半定（4）负半定（5）不定性若既可正也可负，则称为不定的。例如，3.二次型函数的定号性判别准则对于P为实数对称矩阵的二次型函数的定号性，可以用赛尔维斯特准则来判定。（1）正定：二次型函数为正定的充要条件是，P阵的所有各阶主子行列式均大于零，即：（2）负定：二次型函数为负定的充要条件是，P阵的各阶主子式满足即（3）正半定：二次型函数为正半定的充要条件是，P的各阶主子式满足（4）负半定：二次型函数为负半定的充要条件是，P的各阶主子式满足由于二次型函数和它的二次型矩阵P是一一对应的。这样，可以把二次型函数定号性扩展到二次型矩阵P的定号性。例：已知，试判定是否正定。解：因为P阵的各阶主子式为所以是正定的。例

证明下列二次型函数是正定的。解：二次型可以写为,因为所以4.李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法又称为直接法，它可以不必求解系统的状态方程，而直接判定系统的稳定性。1）基本思想李雅普诺夫第二法是从能量的观点出发得来的。任何物理系统的运动都要消耗能量，并且能量总是大于零的。对于一个不受外部作用的系统，如果系统的能量，随系统的运动和时间的增长而连续地减小，一直到平衡状态为止，则系统的能量将减少到最小，那么这个系统是渐近稳定的。但由于系统的形式是多种多样的，不可能找到一种能量函数的统一表达形式。因此，李雅普诺夫引入了一个虚构的能量函数，称为李雅普诺夫函数，记为或。由于是表示能量的函数，所以。这样就可以根据的定号性来判断系统的稳定性。显然，若，并且，则系统就是渐近稳定的。例：下图为一个简单的RC一阶电路，试判断这个系统的稳定性。解：选择状态变量为电容器上的电压，得系统的状态方程为现由能量的观点来考察这个系统。由上述状态方程可知其状态解为电容器储存的电场能为它随时间的变化率是这表明系统的运动是一个放电过程，其能量随时间而减少，直到系统运动到平衡状态，其能量为零，运动停止在该平衡状态。根据李雅普诺夫关于稳定性定义，可判断该系统在平衡状态处是渐近稳定的。2）基本定理设系统的状态方程为其平衡状态为。

不恒等于零，即只在某个时刻暂时为零，而其他时刻均为负值。这表示能量的衰减不会终止。稳定性判别步骤：

1）求所有平衡点；

2）对非零平衡点进行坐标平移；

3）构造李雅普诺夫函数；

4）求导，并用状态方程消去状态变量的导数；

5）判断导数的定号性；

6）作出稳定性结论（注意加定语）。李雅普诺夫诸稳定性定理所述条件均是充分条件。李雅普诺夫函数的选择：一般情况下，不是惟一的。许多情况下，李雅普诺夫函数可以取为二次型函数，即的形式，其中阵的元素可以是时变的，也可以是定常的。但一般情况下，不一定都是这种简单的二次型的形式。例1：设系统的状态方程为试确定其平衡状态的稳定性。解：由平衡点方程得解得惟一的平衡点为，即，为坐标原点。选取李雅普诺夫函数为二次型函数，即显然是正定的。的一阶全导数为因此是负定的。又当时，有，故平衡点是大范围渐近稳定的。因V(x)与t无关，系统大范围一致渐近稳定。例2：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解：原点为系统的平衡状态。选二次型函数作为李雅普诺夫函数，即（正半定）根据定理知，系统是不稳定的例3：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解：由平衡点方程得可知是惟一的一个平衡状态。（正定）则根据定理知，原点是渐近稳定的，而且是大范围一致渐近稳定的。例4：设系统的状态方程为试确定系统平衡状态的稳定性。解：由可见，在任意的值上均保持为零。因此，系统在处是李雅普诺夫意义下稳定的，而且是一致稳定的。原点为系统的平衡状态。选李雅普诺夫函数为下面的二次型函数，即例5：设系统的状态方程为试确定系统平衡状态的稳定性。解：由选李雅普诺夫函数为下面的二次型函数，即负半定新系统原点是大范围一致渐进稳定的，故原系统在（1，1）处是大范围一致渐进稳定的注意：不能用李雅普诺夫函数直接去判断非原点的平衡状态稳定性。例6：试判断下列非线性系统平衡状态的稳定性。解：令利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性，关键是如何构造一个满足条件的李雅普诺夫函数，而李雅普诺夫第二法本身并没有提供构造李雅普诺夫函数的一般方法。所以，尽管李雅普诺夫第二法在原理上是简单的，但实际应用并不是一件易事。尤其对复杂系统更是如此，需要有相当的经验和技巧。不过，对于线性系统和某些非线性系统，已经找到了一些可行的方法来构造李雅普诺夫函数。5.3线性系统的李雅普诺夫稳定性分析针对常见的线性系统，从上述李雅普诺夫第二法中的基本定理出发，人们进一步找到了线性系统构造李雅普诺夫函数的方法以及判断系统渐近稳定的充要条件，从而使线性系统渐近稳定的判别变得非常简单。定理：线性定常系统式中，是n维状态向量；A是常数阵，且是非奇异的。在平衡状态处，渐近稳定的充要条件是：对任意给定的一个正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P，且满足矩阵方程而标量函数是这个系统的一个二次型形式的李雅普诺夫函数。一、线性定常连续系统渐近稳定的判别方法如果

则大范围渐近稳定。在应用上述定理时，应注意下面几点：然后检验P是不是正定的。（1）如果任取一个正定矩阵Q，则满足矩阵方程的实对称矩阵P是惟一的。若P是正定的，系统在处是渐近稳定的。P的正定性是一个充要条件。（2）为计算方便，在选定正定实对称矩阵Q时，可取，于是矩阵P可按下式确定；2、判断的一般步骤（1）确定系统的平衡状态。（2）取矩阵，并且设实对称矩阵P为下面的形式：（3）解矩阵方程，求出P。（4）利用塞尔维斯特判据，判断P的正定性。若