大连海事大学数学系

大连海事大学数学系王志平2008年3月数学分析第四章实数连续性定理及其应用

实数的连续性实数的连续性实数连续性定理闭区间套定理确界定理有限覆盖定理聚点定理致密性定理应用柯西收敛准则的证明连续函数性质的证明实数连续性定理一、闭区间套定理设有闭区间列.若则存在唯一数属于所有的闭区间(即且证明：由条件1),数列单调增加有上界,数列单调减少有下界,即故数列收敛，设，由2）得证明l的唯一性.假设还有一个也属于所有的闭区间,即属于所有的闭区间.实数连续性定理对任意取定的,有.从而,或从而,有,有由条件2),有,即是唯一的.说明：闭区间套定理的几何意义是,有一系列闭线段

(两个端点也属于此线段),后者被包含在前者之中,并且这些闭线段的长构成的数列以0为极限,

则这一列闭线段存在唯一一个公共点,如图.实数连续性定理定理的应用步骤：首先构造一个具有某种性质的闭区间；其次,通常采用二等分法,将此闭区间二等分,至少有一个闭区间具有此性质.然后继续用二等分法,得到满足闭区间套定理条件和具有此性质的闭区间列.则称是数集E的上确界,表为1.确界的定义设E是非空数集,若,且说明：1)表明是数集E的上界;

2)表明小于的任意数

-都不是E的上界。二.确界定理实数连续性定理（类似地可以定义下确界，表为实数连续性定理例1：例2：例3：证明：证明：实数连续性定理说明：有限数集必存在上、下确界；

无限数集未必存在上、下确界；若无限数集存在确界未必属于该数集；数集是否存在确界由下面定理决定。确界定理：

若非空数集E

有上界(下界),则数集

E存在唯一的上确界(下确界).[a1,b1]

的右侧没有数集E的点(因为b1是数集E的上界);2.[a1,b1]中至少包含数集E的一个点(因为).实数连续性定理证明：已知数集E非空,设设b1是E

的一个上界,显然,又已知数集E有上界,,不妨设.则闭区间具有如下性质:将具有性质1,2的闭区间称为具有P*的闭区间.其中必有一个是具有P*的闭区间.不包含数集E的点,那么实数连续性定理将闭区间[a1,b1]二等分,所得的两个闭区间事实上,已知具有性质1,如果中至少包含数集E的一个点,则就是具有P*的闭区间.如果右侧没有数集E的点,即具有具有性质2（因为性质1,已知则就是具有性质P*的闭区间.具有P*

的闭区间,表为[a3,b3]用二等分的方法无限进行每个

[an,bn]

都是具有P*的闭区间.根据闭区间套定理,存在唯一一个数属于所有的闭区间[an,bn],且实数连续性定理将与中具有P*的闭区间表为.同样方法,将闭区间[a2,b2]二等分,必有一闭区间是下去,得到闭区间列{[an,bn]},且位于闭区间[am,bm]的左侧.由性质2，在[am,bm]中已知1),有.用反证法,假设,有.下面证明,数就是数集E的上确界.实数连续性定理即闭区间[am,bm]右侧有数集E的数x0,与具有性质1矛盾.2)有事实上,已知即于是,数是数集E

的上确界,即最后证明上确界的唯一性.用反证法.假设除外尚有实数连续性定理不妨设一方面,已知另一方面,已知推出矛盾.于是,上确界唯一.实数连续性定理三、有限覆盖定理则开区间集S没有覆盖区间I.定义若

则称开区间集S覆盖区间.例如,不属于任何开区间.设则S覆盖区间I.有限覆盖定理

若开区间集S覆盖闭区间[a,b],则S

中存在有限个开区间也覆盖了闭区间[a,b].证明：用反证法.假设S中任意有限个开区间都不能覆盖闭区间[a,b]，简称[a,b]没有有限覆盖.将闭区间[a,b]二等分,分成两个闭区间实数连续性定理这两个闭区间必至少有一个没有有限覆盖.这是因为,如果这两个闭区间都有有限覆盖，则整个闭区间[a,b]必有有限覆盖,这与[a,b]没有有限覆盖矛盾.将中没有有限覆盖的表示为用同样的方法将闭区间[a1,b1]二等分,二者之中必至少有一个闭区间没有有限覆盖,表为[a2,b2].用二等分方法无限进行下去,得到闭区间列{[an,bn]}(a0=a,b0=b),具有如下性质:1)每个闭区间[an,bn]都没有有限覆盖.根据闭区间套定理，存在唯一数属于所有闭区间,且实数连续性定理显然,，已知开区间集S覆盖闭区间[a,b],从而,S中必至少存在一个开区间根据极限保序性,由1)式,当充分大时,有,即.定理中,将被覆盖的闭区间[a,b]改为开区间（a,b）,定理不一定成立.例如,开区间集实数连续性定理一方面,闭区间[an,bn]没有有限覆盖;另一方面,闭区间[an,bn]用S中一个开区间（p,q）就覆盖了,产生矛盾,这个矛盾是由于最初假设闭区间[a,b]

没有有限覆盖产生的.于是,S中存在有限个开区间覆盖闭区间[a,b].此定理亦称为紧致性定理或海涅-博雷尔定理.覆盖开区间(0,1).说明：覆盖开区间.但是,S中任意有限个开区间都不能四.聚点定理定义设E是数轴上的无限点集,是数轴上的一个定点(可以属于E,也可以不属于E).若,点的邻域都含有E的无限多个点,则称是E的一个聚点.聚点定理

数轴上有界无限点集E至少有一个聚点.实数连续性定理例如，设则0是E的一个聚点.再如，设E={开区间(a,b)的一切有理点}，

则(a,b)的每一个点都是E的聚点.说明：应用反证法和有限覆盖定理证明.五.致密性定理致密性定理

有界数列必有收敛的子数列.实数连续性定理证明：若数列{an}有无限多项相等，设显然，常数子数列

是收敛的子数列.若数列{an}没有无限多项相等，则有有界无限点集根据聚点定理，E

至少有一个聚点下证存在子数列收敛于根据聚点定义，如此无限下去，构造了数列{an}的子数列，故得证.实数连续性定理说明：利用致密性定理可以证明柯西收敛准则.实数连续性定理六.柯西收敛准则柯西收敛准则

数列收敛证法：只证明充分性.首先证明数列有界，根据致密性定理，数列存在收敛的子数列；再根据极限的定义及条件证明数列和子数列的极限相同.说明：闭区间套定理,确界定理,有限覆盖定理,聚点定理,致密性定理,柯西收敛准则的充分条件,虽然它们的数学形式不同,但是它们都是描述了实数集的连续性,它们是彼此等价的.

一性质的证明定理1.(有界性)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则函数f(x)在闭区间[a,b]上有界.定理的应用证法：由函数的连续性得到函数f(x)在[a,b]上的每一点的某个邻域内都有界.根据有限覆盖定理，可找到覆盖闭区间[a,b]的有限个领域，而且函数f(x)在这些邻域上都有界，从而在有限个界中可找到函数在闭区间上的界.定理2.(最值性)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则函数f(x)在[a,b]上取到最小值m与最大值M.定理3.(零点定理)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0(即f(a)与f(b)异号),则在开区间（a,b）内至少存在一点c,使f(c)=0.定理的应用证法：根据定理一，函数f(x)在[a,b]上有界.根据确界定理，可知函数f(x)在[a,b]上有唯一的上（或下）确界M(或m)；只要证明在闭区间上存在一点x0，使得f(x0)=M(或m)即可，可用反证法.证法：用二分法找到一列闭区间，在每一个闭区间上都有函数f(x)在两端点的函数值异号，于是根据闭区间套定理，一定存在一点c使得f(c)=0.则称函数f(x)在区间I上一致连续.二、一致连续性定理的应用定义设函数f(x)在区间I上有定义.例1.函