《离散型随机变量的均值与方差》同步练习 市赛一等奖

《离散型随机变量的均值与方差》同步练习一、选择题(每小题7分，共35分)1．已知X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)，且Y＝aX＋3，E(Y)＝eq\f(7,3)，则a的值为()A．1B．2C．3D．42．已知随机变量X的分布列为X－2－10123Peq\f(1,12)mneq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,12)其中m，n∈[0,1)，且E(X)＝eq\f(1,6)，则m，n的值分别为()\f(1,12)，eq\f(1,2)\f(1,6)，eq\f(1,6)\f(1,4)，eq\f(1,3)\f(1,3)，eq\f(1,4)3．(2022·全国)某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100B．200C．3004．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3·2－2B．2－4C．3·2－105．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A．5B．5.25C．二、填空题(每小题6分，共24分)6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E(ξ)＝______.7．(2022·上海)某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E(ξ)＝__________(结果用最简分数表示)．8．(袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E(ξ)＝________.9．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E(ξ)＝________.三、解答题(共41分)10．(13分)袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量ξ的概率分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．11．(14分)一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．(1)若从袋子里一次取出3个球，求得4分的概率；(2)若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸2次，求所得分数ξ的分布列及数学期望．12．(14分)某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座)统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：信息技术生物化学物理数学周一eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,2)周三eq\f(1,2)eq\f(1,2)eq\f(1,2)eq\f(1,2)eq\f(2,3)周五eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(2,3)(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；(2)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．答案10.解(1)随机变量ξ可取的值为2,3,4，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,5)；P(ξ＝3)＝eq\f(A\o\al(2,2)C\o\al(1,3)＋A\o\al(2,3)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(3,10)；P(ξ＝4)＝eq\f(A\o\al(3,3)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,10)；所以随机变量ξ的概率分布列为：ξ234Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)(2)随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝2·eq\f(3,5)＋3·eq\f(3,10)＋4·eq\f(1,10)＝eq\f(5,2)；随机变量ξ的方差D(ξ)＝(2－eq\f(5,2))2·eq\f(3,5)＋(3－eq\f(5,2))2·eq\f(3,10)＋(4－eq\f(5,2))2·eq\f(1,10)＝eq\f(9,20).P(ξ＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2＝eq\f(4,25)，故ξ的分布列为ξ234Peq\f(9,25)eq\f(12,25)eq\f(4,25)故ξ的数学期望E(ξ)＝2×eq\f(9,25)＋3×eq\f(12,25)＋4×eq\f(4,25)＝eq\f(14,5).P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,4)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))4×eq\f(2,3)＝eq\f(1,8)；P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋Ceq\o\al(1,4)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))3×eq\f(2,3)＝eq\f(7,24)；P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)；P(ξ＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(2,3)＝eq\f(3,16)；P(ξ＝5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4×eq\f(2,3)＝eq\f(1,24).所以，随机变量ξ的分布列如