对数函数与其质一教学讲义

湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76．7％．试推算马王堆古墓的年代．

人们经过长期实践，获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系：

考古学家一般通过提取附着在出土文物．古遗址上死亡生物体的残留物，利用（*）式估算出土文物或古遗址的年代．

由指数与对数的关系，此指数式写成对数式是：（*）

现在，你能推算出马王堆古墓的年代吗？（P=76．7％）（t=2193）碳14的含量P0.50.30.10.010.001生物死亡年数t

如果碳14的含量是下表中的数值，根据关系：试用计算器填写下表．

根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系，都有一个确定的年代t与它对应，所以，t是P的函数．57309953190353806957104

一般的，函数y=ax

（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量。函数的定义域是R

请同学们根据指数函数的定义,仿照着给出对数函数的定义?一般地,函数y=logax(a＞0,且a≠1)叫做对数函数.其中x是自变量,函数的定义域是（0,+∞）。对数函数的定义：注意：1)对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：，

都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．，且．2)对数函数对底数的限制条件：解:(1)因为x2>0,即x≠0.所以函数y=㏒ax2的定义域是｛x︱x≠0｝.解:(2)因为4-x>0,即x<4.所以函数y=㏒a(4-x)的定义域是｛x︱x<4｝.例1、

求下列函数的定义域

(1)y=㏒ax2(

2)y=㏒a(4-x)（

a＞0,且a≠1）

求解对数函数定义域问题的关键是要求真数大于零，当真数为某一代数式时，可将其看作一个整体单独提出来,求其大于零的解集,即该函数的定义域图象画出函数与的图像．问：（1）这两个函数的图像有什么关系？

（2）可否利用的图象画出的图象？利用换底公式,可以得到又点(x,y)和点(x,-y)关于x轴对称,所以和的图象关于x轴对称.图象011

（1）在同一坐标系中画出：

的图象.

（2）你能否猜测与

分别与哪个图象相似.xy性质

选取底数a（）的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．回顾指数函数性质③图象可以分为两类：一类图象在区间（0,1）内纵坐标都小于0，在区间（1,+∞）内的纵坐标都大于0；另一类图象正好相反．

②这些图象都经过（1，0）点．①这些图象都位于y轴右方．

函数性质图象特征①x取任何正数值时,函数值.②无论a为任何正数,总有③当时，当时,④自左向右看:当时图象逐渐上升；当时图象逐渐下降．

④当时，是增函数；当时，是减函数．

函数x01y=log2x㈠㈡图象和性质图象定义域值域性质a>10<a<1必过点：

在R

上是在R

上是R(0,+∞)(1,0),即x=1

时,y=0.减函数增函数yx0x=1(1．0)yx0x=1(1．0)对数函数的性质的助记口诀:对数增减有思路,函数图象看底数;底数只能大于0,等于1来也不行;底数若是大于1,图象从下往上增;底数0到1之间,图象从上往下减;无论函数增和减,图象都过(1,0)点.例2比较下列各组数中两个值的大小：

(1)log23.4,log28.5

(2)log0.31.8,log0.32.7

(3)log

a5.1,loga5.9(a＞0,a≠1)解⑴考察对数函数y=log2x,因为它的底数2＞1,∴它在(0,+∞)上是增函数∴log23.4＜log28.5

⑵考察对数函数y=log0.3

x,因为它的底数为

0.3,即0＜0.3＜1,∴它在(0,+∞)上是减函数∴log0.31.8＞log0.32.7解：当a＞1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,则有loga5.1＜loga5.9

（3）loga5.1,loga5.9(a＞0,a≠1)注:例2是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的,要关注底与真数两个方面，缺一不可.分析：对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论。当0＜a＜1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,则有loga5.1＞loga5.9练习1:

比较下列各题中两个值的大小:⑴log106

log108⑵log0.56

log0.54⑶log0.10.5

log0.10.6⑷log1.51.6