曲线积分和曲面积分_第1页
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文档简介

§14.1曲线积分一、第一型曲线积分定义设在平面上一条可求长曲线.用任意分法将曲线依次分个小弧,.其中.设它们的弧长分别为.在小弧上任取一点.作和数（1）令若当时二元函数在曲线的积分和(1)存在限。即则称是函数在曲线的第一型曲线积分.记为其中是弧长微元.第一型曲线积分性质1、即第一型曲线积分与的方向无关.2、

3、，其中为常数

4、定理1

若曲线:是光滑的.即,在连续且不同时为0.在连续.则在存在第一型曲线积分,且二、第二型曲线积分

定义设在平面上有光滑曲线有定义.用任意分法将曲线依次分个小弧,，.设的弧在轴与轴上的投影区间的长(带有符号)分别为与.

在上任取一点.作和数与（2）令若当时(2)有极限(或)即（或）则称(或)是（或）在曲线的第二型曲线积分.记为或定理若在有向光滑曲线:

连续,且，则与在的第二型曲线积分都存在,且

三、第一型曲线积分与第二型曲线积分的关系

两类曲线积分互相转化的公式均为上点的函数.表示向着弧长增加方向的切线与轴正向夹角.当改变方向为时,切线也改变方向.于是均要变号.若在平面上.有图14.3四、格林公式定理若与及与在光滑或逐段光滑闭曲线围成的闭曲线连续.则

其中取正向图14.4

图14.5证法：对区域形状划分为三种讨论平行y轴(或x轴)的直线与C至多交于两点.

平行y轴(或x轴)的直线与闭曲线C的交点多于两个.

若G是若干条互不相交的闭曲线围成的闭区域.五、曲线积分与路径无关的条件

定理若以及在单连通区域G连续.则下四个断语是等价的:1．曲线积分与路径无关.即只与起点与终点有关.2．在内存在一个函数使3．有4．对G内任意光滑或逐段光滑闭曲线，有证法：采用大循环论证法

1

2233441定理若在单连通区域内函数是的原函数.而与是内任意两点.则

§14.2曲面积分一、第一型曲面积分定义设函数在光滑或逐片光滑的曲面块有定义.任意分法.将曲面分成个小曲面:,设的面积为,在上任取一点.作和数

（1）令.若当时.(1)式存在极限.即则称是在曲面的第一型曲面积分.记为其中是曲面的面积微元.

定理若曲面块:是光滑或逐片光滑的.其中是有界闭区域,

在曲面连续.则在的第一型曲面积分存在,且

光滑曲面:.其中是有界闭区域.则二、第二型曲面积分定义设函数在光滑或逐片光滑的曲面块有定义，选定曲面一侧为正

.任意分法.将曲面分成个小曲面:,

的面积为,在xy平面投影小区域的面积为.在上任取一点作和数

（２）令.若当时.(2)式存在极限.即

则称是在曲面的第二型曲面积分.记为其中是曲面微元在平面上投影的面积微元

图14.9定理若有光滑曲面：其中是有界闭区域.在连续.则在的第二型曲面积分存在.且

其中符号“”由曲面S的正侧外法线与z轴正向的夹角余弦的符号决定.三、奥—高公式定理设三维空间的有界闭体是由光滑或逐片光滑的闭曲面围成.函数,,

及其偏导数在连续.则

（3）其中曲面外侧为正侧.公式(3)称为奥—高公式

四、斯托克斯公式定理若光滑曲面块的边界是光滑或光滑闭曲线函数,,及其偏导数在包含曲面的一个空间区域内连续.则（4）

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