大数定律与中心极限定理

研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:与大数定律中心极限定理下面我们先介绍大数定律§3.4大数定律与中心极限定理字母使用频率

大量的随机现象中平均结果的稳定性大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率生产过程中的废品率……阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统称为大数定律。依概率收敛

与微积分学中的收敛性的概念类似,在概率论中,我们要考虑随机变量序列的收敛性.的概率几乎等于1，即则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于记作当n充分大时，事件定义1如果对于任意切比雪夫不等式.则对于任给>0,有设随机变量X的数学期望E(X)和方差存在，由切比雪夫不等式可以看出,若越小,则事件的概率越大,即,随机变量集中在期望附近的可能性越大.由此可见方差刻划了随机变量取值的离散程度.例1已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数平均是7300,均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解 设每毫升白细胞数为

依题意,所求概率为由切比雪夫不等式即每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9.几个常见的大数定律定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律）切比雪夫

设{Xn}是相互独立的随机变量序列，存在，其方差一致有界，即D(Xi)≤L，i=1,2,…，则对任意的ε>0，依概率收敛于其数学期望.定理表明:当很大时,随机变量序列的算术平均值随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于1.即当n充分大时，差不多不再是

切比雪夫大数定律表明，独立随机变

偏差很小的概率接近于1.量序列{Xn}，如果方差一致有界，则与其数学期望切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述推论设随机变量序列{Xn

}独立且都服从某则对于任意恒有个分布，它们的数学期望及方差均存在，即[注]一般地，我们要求出随机变量X的数学期来估计EX。当n充分大时，偏差不会太大。机变量X的分布时求EX的方法，即用知道EX，上述的推论告诉了我们,在不知随我们往往在不知随机变量X的分布时，希望望，必须知道随机变量X的分布。但实际中，这一点我们将会在数理统计中看到。

定理2(伯努利大数定律)设是重伯努利试

验中事件A出现的次数,又A在每次试验中出即频率依概率收敛于概率即则对于任意的现的概率为有[注]贝努里大数定律从理论上证明了频率的稳定性

下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.

设随机变量序列X1,X2,…独立同分布，且数学期望E(Xi)=μ,i=1,2,…，则对任给ε>0，定理3（辛钦大数定律）辛钦[注]（1）辛钦大数定律与定理1的推论的区别在，辛钦大数定律与方差无关。（3）贝努里大数定律是辛钦大数定律的特例,而辛钦大数定律在应用中是非常重要的。（2）由于证明辛钦大数定律要用特征函数的知识，故证明略。二、中心极限定理

中心极限定理的客观背景

在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.

空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等.

观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.

自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.

现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.

在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.

中心极限定理回答了大量独立随机变量和的近似分布问题,其结论表明:当一个量受许多随机因素(主导因素除外)的共同影响而随机取值,则它的分布就近似服从正态分布.定理1

李雅普诺夫定理

设随机变量相互独立,它们具有数学期望和方差:

，记

若存在正数

使得当时,则随机变量之和的标准化变量:的分布函数对于任意,满足注：定理1表明,在定理的条件下,随机变量当很大时,近似地服从正态分布由此,当很大时,近似地服从正态分布

这就是说,无论各个随机变量服从什么分布,只要.

满足定理的条件,那么它们的和当很大时,就近似地服从正态分布.

定理2（独立同分布下的中心极限定理）设X1,X2,…,Xn是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,…,n，则[注]1）证明所需要的知识已超出范围，证明略。列维一林德伯格（Levy－Lindberg）定理.独立同分布，且它们的数学期2）中心极限定理表明，若随机变量序列都近似服从正态分布.(注意:不一定是即望及方差存在，则当n充分大时，其和的分布,3）中心定理还表明：无论每一个随机变量在和的分布中起的作用很微服从什么分布，只要每一个随机变量近似服从正态分布。小，则标准正态分布）例1根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取

16只,设它们的寿命是相互独立的.求这16

只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.由题给条件知，诸Xi独立，16只元件的寿命的总和为解:设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为P(Y>1920)由题给条件知,诸Xi独立,16只元件的寿命的总和为解:设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,…,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为P(Y>1920)由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理,近似N(0,1)P(Y>1920)=1-P(Y1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119

定理3(棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)

设是重伯努利试验中事件A出现的次数,

又A在每次试验中出现的概率为则对于任意的实数有:[注]1）德莫佛—拉普拉斯定理表明:二项分布以正态分布为极限;3）设随机变量X～当n充分大时,2)棣莫佛－拉普拉斯定理是中心极限定理的特殊情况.设为重贝努里试验中事件A发生的频率,

p为每次试验用频率估计概率的误差

这个关系式可用来解决频率估计概率的计算问题:中事件A发生的概率,由棣莫佛—拉普拉斯定理,有部数解设表示某一时刻机器开动的台数,则设电厂至少要供应个单位的电能,则由题意,有由棣莫弗-拉普拉斯定理,有

例2某车间有同型号的机床200部,每部机器开动概率保证不致因供电不足而影响生产?少要供应该车间多少单位电能,才能以95%的开动时每部机器要耗电能15个单位,问电厂最

的概率为0.7,假定各机床开关是相互独立的,查表得,应有

故至少须向该车间供应2261个单位的电能,才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.解设

是装运的第箱的重量,看作是相互独立同分布的随机变量,而总重量是独立同分布的随机变量之和.

例3一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重多少箱，才能保障不超载的概率大于0.997.

试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装差5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，量是随机的，假设每箱的平均重50千克,标准是所求得箱数,由条件可以把由林德伯格-列维定理由题意知并且要求满足即必须满足即最多可以装98箱。例4对敌人的防御工事用炮火进行100次轰击,

设每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望为2,均方差为1.5.如果各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求100次轰击

(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.解设Xk

表示第

k次轰击命中的炮弹数