江西省赣州市宁师中学2022-2023学年数学高三第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生请注意：1考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。15G网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G20198月初推出了一款5G手机，现调查得到该款5Gxy（单位：%）如图所示的折12019820199月201912月，根据数据得出yx的线性回归y0.042xa若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G能超过0.5（精确到月（）A．2020年6月 B．2020年7月 C．2020年8月 D．2020年9月2．当输入的实数x3时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是（ 914

514

37

9281lx24

y21相交于A、B两点，则AB 的最大值为( )A．2 B．4 55

C．4105

D．8105f(x)x2ex4

a恰有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）4A．(e2

,)

B．(0, )e2

C．(0,4e2) D．(0,)某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）A．3 2 B．2 5 C．2 6 D．2 7若样本1x,1

,1

, ,1

102，则对于样本22x22x

,22x

, ,22x

，下列1 2 3 n

1 2 3 n结论正确的是（ ）20C217fxsin2x0x

4D205的值域为（ ）1

3 3 1

12

1,0A．2

．0,2

C．0,1

D．2 ABCD-ABCD，黑、白两蚂蚁从点A走完一段”．白蚂蚁爬1 1 1 11 1 1 AA→AD→AB→BB→i+2i段所在直线必须是异面直线（iN*）.设白、黑蚂蚁都走完20201 1 1 A．1 B．2 C．3 D．0木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（）A．2493 B．93 C．183D．14418310．2019年10月17日是我国第6个扶贫日”，某医院开展扶贫送医下”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中医生甲被指定分配到医院A医生乙只能分配到医院A或医院B医生丙不能分配到医生甲乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共( )A．18种 B．20种 C．22种 D．24种11．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ 1π2

32

C．D．3

x

x22x,xx22x,x0

x

x2

x

0恰有1个整数解，则实数a的最大值为（ ）A．2 B．3 C．5 D．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。m、n，两个不同平面，有下列四个命题：①若m//且n//，则m//n；②mmn，则n//；③若mm//，则；④若n，且m，则mn其中正确命题的序号为 .三棱柱ABCAB

中，ABBCAC，侧棱AA

ABC，且三棱柱的侧面积为3

3.若该三棱柱的顶1 1 1 1点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值15．函数f(x)xe2x的极大值为 .16．已知复数z1，其中i为虚数单位，则z2的模为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数f(x)e

x2

2ab（xR）x0ybx（e为自然对数的底数）求ab的值；kZf(x

(3x25x2k0xR恒成立，求k的最大值.218（12分）设数列an

an 1

1, an

n1 (n2).a2aan1（1）求数列a的通项公式；n（2）31S

11.2 2n n 619（12分）已知数列an

1an1

2 a1且2a 1且2n求数列n

的通项公式；1 求数列a 2n的前n项和Sn.n 20（12分）如图，在正四棱锥ABCD中，底面正方形的对角线AC,BD交于点O且O＝12

AB．BPPCD所成角的正弦值；BPDC的大小．21（12分PABCDABCDBD△PCDPC⊥ABCD，EPC的中点．证明：APEBD；证明：BE⊥PC．22（10分）在ABC中，内角C的对边分别是c，已知(a b)sinAbsinBcsinC.求角C的值；若sinAsinB1+ 3，c2，求的面积．4参考答案125601、C【解析】根据图形，计算出x,y，然后解不等式即可.【详解】1解：x1(12345)3，y (0.020.050.10.150.18)0.115 5点0.042x上0.10.0423，0.0260.042x0.0260.042x0.0260.5x131201981320208故选：C【点睛】考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用，基础题.2、A【解析】根据循环结构的运行，直至不满足条件退出循环体，求出x的范围，利用几何概型概率公式，即可求出结论.【详解】程序框图共运行3次，输出的x的范围是2247，247103 144 9x103故选:A.

.24723 224 14【点睛】3、C【解析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值．【详解】x2 5解：设直线l的方程为y＝x+t，代入 y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，4 4由题意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．弦长|AB|＝4

．2525t24 10故选：C．【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．4、B【解析】f(xx2ex

a恰有三个零点，即可求实数a的取值范围.【详解】yx2exy2xexy0x0或，

x2ex

xex(x2)，2x0上单调递减，(,2),(0,)上单调递增，0y的极值点，f(0)0,f(2)4e24，e24函数f(x)x2ex故选B.【点睛】

a恰有三个零点，则实数的取值范围是：(0, ).e2该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.5、C【解析】根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥SABCSACABCACBCSSDAC，连BDAD2.【详解】由三视图得：该几何体是一个三棱锥SABC，且平面SAC 平面ABC，ACBC过S作SDAC，连接BD，则AD2，所以BD DC2BC2 20，SB SD2BD2 26，SA SD2AD222，SC SD2AC225，该几何体中的最长棱长为2 6.故选：C【点睛】6、D【解析】由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.【详解】样本1x,1x,1x, ,1

的平均数是10，方差为2，1 2 3 n所以样本22x,22x1

,22x,3

,22xn

的平均数为21020,方差为2228.故选:D.x

,x,

xxs2

b,ax

b,

b, ,ax

b的平均数为axb,方差为a2s2.1 2 3 n7、A

1 2 3 n【解析】x0,计算出2x

yfx的值域.123【详解】x0,，2x

,，1

sin 2x 12

3 3 6

2 3

x

0x

的值域为1 .3sin2x 3

12

2A.【点睛】8、B【解析】根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1120202020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离．【详解】1 1 1 1 由题意AA1→AD→DC→C11 1 1 1 可以看作以1为周期，由20206336 4白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；1 1 1 1 同理AB→BB1→BC→CD→DD→DA，2020D11 1 1 1 所以它们此时的距离为2.故选B.【点睛】9、C【解析】(62(623)2

,圆锥的高h

,截去(3 5)232(3 5)232

1 的底面劣弧的圆心角为(35)2(35)232

，底面剩余部分的面积为S r2 r2sin3 23 2 3

,利用锥体的体积公式即可求得.3232(623)2

6，圆锥的高h

6，圆锥母线62622l62622

，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分的面积为212 r22 1212 r22 1sin 62 sin3233233V1Sh1(249 3)6183 33故选C.【点睛】

93.3

，故几何体的体积为：本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题,考查了学生空间想象,数学运算能力,难度一般.10、B【解析】A1A2答案.【详解】根据医院A的情况分两类：第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院B，当医院B只有1人，则共有C2A2种不同3 2分配方案，当医院B有2人，则共有C1A2种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时，2 2共有C2

C1

10种不同分配方案；3 2 2 2第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有A3种不同分配方案，当乙不在A医院，3在B医院时，共有C1A2种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，2 2C1

10种不同分配方案；3 2 2共有20种不同分配方案.故选：B【点睛】11、B【解析】三视图对应的几何体为如图所示的几何体，利用割补法可求其体积.【详解】根据三视图可得原几何体如图所示，它是一个圆柱截去上面一块几何体，把该几何体补成如下图所示的圆柱，3其体积为1232.故选：B.【点睛】本题考查三视图以及不规则几何体的体积，复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系，另外，不规则几何体的体积可用割补法来求其体积，本题属于基础题.12、D【解析】画出函数fx的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.【详解】解：函数fx，如图所示fx2afx0fxfxa0a0afx0，由于关于x的不等式fx2afx0恰有1个整数解3f3963a0af48，则3a8当a0时，fx

0，则a0不满足题意；a00fxa当0a10fxa，没有整数解a10fxa，至少有两个整数解综上，实数a的最大值为8故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题.452013、③④【解析】由直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断．【详解】①若m//n//mn的位置关系是平行、相交或异面，①错；②若mmnn//n，②错；③若m//m交于直线n，则m//n，又mn，∴，③正确；④若nm，由线面垂直的定义知mn故答案为：③④．【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义，考查空间线面间的位置关系，掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础．14【解析】ABCAB

为正三棱柱，所以三棱柱的中心即为外接球的球心O，1 1 13a3a2 32h2 设棱柱的底面边长为

，高为，则三棱柱的侧面积为3ah3

，球的半径表示为R

，再由重要不等式即可得球O表面积的最小值【详解】如下图，ABCAB

为正三棱柱1 1 1ACaBBh1 1 13∴三棱柱的侧面积为3ah333∴ah3a2 3a2 32h2 a h2 32SR2.故答案为：4【点睛】考查学生对几何体的正确认识，能通过题意了解到题目传达的意思，培养学生空间想象力，能够利用题目条件，画出图形，寻找外接球的球心以及半径，属于中档题115、2e【解析】对函数求导，根据函数单调性，即可容易求得函数的极大值.【详解】依题意，得f(x)e2x2xe2xe2x(12x).x1f(x)0x1f(x)0.2 2 x

1 1时，函数f(x)有极大值 .2e1故答案为： .2e【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想，属基础题.16、5【解析】利用复数模的计算公式求解即可.【详解】解：由z1i，得z21i

34i，3242所32425.【点睛】

5.本题考查复数模的求法，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】（1）对f(x)求导得fxex

2xf(x)x0ybx，列出方程组，即可求出ab（）由（）可得fxexx21，根据fx13x25x2k0对任意xR恒成立，等价于2kex1x25x1xR恒成立，构造hxex1x25x1，求出hx的单调性，由h00，2 2 2 20h10h30x

1,3，使得hx

0，利用单调性可求出 2 4

0 2 4 0hxmin

hx0

，即可求出k的最大值.（1）fxexx22ab，fxexf012ab0a1

2x.由题意知

f01b

b1.（2）由（1）fxexx21，∴fx13x25x2k0对任意xR恒成立21 5ex x2 x1k0xR恒成立1 2 1 kex x2 x1xR恒成立.2 2hxex1x25x1hxexx5.2 2 2'xex10，所以hxR上单调递增.h030

h1e30

h1e1

2

h3e3

71370又 2 ，

2 ，2 2

，4

4 ，4 4 4 x13hx

0x,

x0x

,x0.即hx 0 2 4 0 0 0在x1 1

单调递减，在x0

,上单调递增.hx

h

ex

x2 x

1.0min 0

2 0 2 000又hx0，即exx50，∴ex 5x.0010 0 2 2 11 ∴hx5x x2 x1 x27x1 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0∵x1,3，∴hx27,1.0 2 4

0 32 8 kex

1x25x1xRkhx，2 2 0kZ，∴

1.max.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.118（1）a （2）证明见解析1n 2n1【解析】1由已知可得a 1n

2an1

1，构造等比数列即可求出通项公式；1 3 1

2 1 11 当n2时，由a

，可求

，n3时，由a ，可证S nN* ，验证n1,2n 2n

2 2n

n n 2n

2n1 n 6时，不等式也成立，即可得证.【详解】a 1 2n由a n

n12an1

(n2)可得，an

an1

1，即112 1 1，(n2)a a n n1 1anan

12n 1 2n1当n1S1

a 1，1Sn1,n2an

1，2n

1 1S 111

114 2n1

31n 22 23

2n 112

2 2nSn

312 2n

nN* ，n由a 0可得递增，nna1,a 1n3

2 11 2 3

n 2n

11S 11

11

1

44 2n

41

1 11

1 11；n 3 22 23

2n1

3 11 3 2 2n12

6 2n1 6所以SS1

S 11，3 6综上：Sn

nN*116113 1 11故 . S 2 2n n 6

nN*【点睛】本题主要考查了递推数列求通项公式，利用放缩法证明不等式，涉及等比数列的求和公式，属于难题.1n19（1）a

（）S 2n1n2n2n 2 n【解析】（1）根据已知可得数列an

为等比数列，即可求解；1（2）由（1）可得

为等比数列，根据等比数列和等差数列的前n项和公式，即可求解.ana【详解】（1）因为

1

，所以

a 1n1 ，又a1a an1

a 2 1 2na

1 1

1n所以数列

为等比数列，且首项为，公比为故n 2 2 n

2 （2）由（1）知

1 2n，所以

2n2n2na an n所以Sn

2(12n) (22n)n 2n1n2n12 2【点睛】本题考查等比数列的定义及通项公式、等差数列和等比数列的前n项和，属于基础题.20（1）

6）6.3【解析】以OEOFOPx轴,y轴,z轴,设底面正方形边长为2,BPPCD的法向量BPPCD所成角的正弦值即可.分别求解平面BPD 与平面PDC 的法向量再求二面角的余弦值判断二面角大小即.【详解】1中AC,BD交于点O,所以OPABCDABEBCF,所以OPOEOF两两垂直故以点O,以OEOFOPx轴,y轴z轴建立空间直角坐标系．设底面正方形边长为2,1因为AB,2所以OP＝1,所以B,,0,C,,0,D,0,P0,0,1,所以B,1,,PCD的法向量是nxyz,因为CD0,2,0,CP,,所以CDn2