材料力学I第九章

第9章压杆稳定§9-1压杆稳定性的概念§9-2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式§9-3不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式·压杆的长度因数§9-4欧拉公式的应用范围·临界应力总图§9-5实际压杆的稳定因数§9-6压杆的稳定计算·压杆的合理截面§9-1压杆稳定性的概念实际的受压杆件

实际的受压杆件由于:其轴线并非理想的直线而存在初弯曲，2.作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心，3.材料性质并非绝对均匀，因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的侧向位移随轴向压力的增大而更快地增大。

对于细长的压杆(大柔度压杆)，最终会因为弹性的侧向位移过大而丧失承载能力；对于中等细长的压杆(中等柔度压杆)则当侧向位移增大到一定程度时会在弯－压组合变形下发生强度破坏(压溃)。

对于实际细长压杆的上述力学行为，如果把初弯曲和材质不均匀的影响都归入偶然偏心的影响，则可利用大柔度弹性直杆受偏心压力作用这一力学模型来研究。

图(a)为下端固定，上端自由的实际压杆的力学模型；为列出用来寻求F－d关系所需挠曲线近似微分方程而计算横截面上的弯矩时,需把侧向位移考虑在内，即

M(x)=F(e+d-w)，这样得到的挠曲线近似微分方程EIzw"=F(e+d-w)和积分后得到的挠曲线方程便反映了大柔度杆偏心受压时侧向位移的影响。(a)

按照这一思路求得的细长压杆在不同偏心距e时偏心压力F与最大侧向位移d的关系曲线,如图b所示。(b)

由图可见虽然偶然偏心的程度不同(e3>e2>e1)，但该细长压杆丧失承载能力时偏心压力Fcr却相同。其它杆端约束情况下细长压杆的F-d

关系曲线其特点与图b相同。抽象的细长中心受压直杆

由图b可知，当偶然偏心的偏心距e→0时，细长压杆的F-d关系曲线就逼近折线OAB，而如果把细长压杆抽象为无初弯曲，轴向压力无偏心，材料绝对均匀的理想中心压杆，则它的F-d关系曲线将是折线OAB。(b)

由此引出了关于压杆失稳(buckling)这一抽象的概念：当细长中心压杆上的轴向压力F小于Fcr时，杆的直线状态的平衡是稳定的；当F＝Fcr时杆既可在直线状态下保持平衡(d＝0)，也可以在微弯状态下保持平衡，也就是说F＝Fcr时理想中心压杆的直线平衡状态是不稳定的，压杆在轴向压力Fcr作用下会丧失原有的直线平衡状态，即发生失稳。Fcr则是压杆直线状态的平衡由稳定变为不稳定的临界力(criticalforce)。

从另一个角度来看，此处中心受压杆的临界力又可理解为：杆能保持微弯状态时的轴向压力。

显然，理想中心压杆是有偶然偏心等因素的实际压杆的一种抽象。细长中心受压直杆失稳现象压杆的截面形式及支端约束

压杆的临界力既然与弯曲变形有关，因此压杆横截面的弯曲刚度应尽可能大；图a为钢桁架桥上弦杆(压杆)的横截面，图b为厂房建筑中钢柱的横截面。在可能条件下还要尽量改善压杆的杆端约束条件，例如限制甚至阻止杆端转动。§9-2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式

本节以两端球形铰支(简称两端铰支)的细长中心受压杆件(图a)为例，按照对于理想中心压杆来说临界力就是杆能保持微弯状态时的轴向压力这一概念，来导出求临界力的欧拉(L.Euler)公式。

在图a所示微弯状态下，两端铰支压杆任意x截面的挠度(侧向位移)为w，该截面上的弯矩为M(x)=Fcrw（图b）。杆的挠曲线近似微分方程为上式中负号是由于在图示坐标中，对应于正值的挠度w，挠曲线切线斜率的变化率为负的缘故。令k2=Fcr

/EI，将挠曲线近似微分方程(a)改写成该二阶常系数线性微分方程(b)的通解为(b)(c)此式中有未知量A和B以及隐含有Fcr的k，但现在能够利用的边界条件只有两个，即x=0，w=0和x=l，w=0，显然这不可能求出全部三个未知量。这种不确定性是由F=Fcr时杆可在任意微弯状态下(d可为任意微小值)保持平衡这个抽象概念所决定的。事实上，对于所研究的问题来说只要能从(c)式求出与临界力相关的未知常数k就可以了。

将边界条件x=0，w=0代入式(c)得B=0。于是根据(c)式并利用边界条件x=l，w=0得到注意到已有B=0，故上式中的A不可能等于零，否则(c)式将成为w≡0而压杆不能保持微弯状态，也就是杆并未达到临界状态。由此可知，欲使(c)成立，则必须sinkl=0(c)满足此条件的kl为或即

由于意味着临界力Fcr

＝0，也就是杆根本未受轴向压力，所以这不是真实情况。在kl≠0的解中，最小解kl＝p

相应于最小的临界力，这是工程上最关心的临界力。由kl＝p有亦即从而得到求两端铰支细长中心压杆临界力的欧拉公式：

此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得B=0，且取kl＝p，以此代入式(c)得注意到当x=l/2时w=d，故有A=d。从而知，对应于kl＝p，亦即对应于Fcr=p2EI/l2，挠曲线方程为可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。需要指出的是，尽管上面得到了A=d，但因为杆在任意微弯状态下保持平衡时d为不确定的值，故不能说未知量A已确定。事实上，在推导任何杆端约束情况的细长中心压杆欧拉临界力时，挠曲线近似微分方程的通解中，凡与杆的弯曲程度相关的未知量总是不确定的。

思考：在上述推导中若取kl＝2p，试问相应的临界力是取kl＝p时的多少倍？该临界力所对应的挠曲线方程和挠曲线形状又是怎样的？§9-3不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式·压杆的长度因数

现在通过两个例题来推导另一些杆端约束条件下求细长中心压杆临界力的欧拉公式。

试推导下端固定、上端自由的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式，并求压杆失稳时的挠曲线方程。图中xy平面为杆的弯曲刚度最小的平面。例题9-1根据该压杆失稳后符合杆端约束条件的挠曲线的大致形状可知，任意x横截面上的弯矩为杆的挠曲线近似微分方程则为将上式改写为1.建立压杆挠曲的近似微分方程例题9-1解:令由(1)式得此微分方程的通解为一阶导数为

根据边界条件x=0，w=0由(3)式得Ak=0，注意到不会等于零，故知A＝0。再利用边界条件x=0，w=0由(1)式得B=-d。将A=0，B=-d代入(1)式得2.求解挠曲线的近似微分方程，并求临界力例题9-1利用

x=l时

w=d这一关系，由(4)式得出从式(4)可知d不可能等于零，否则w将恒等于零，故上式中只能coskl=0。满足此条件的kl的最小值为kl=p/2，亦即

从而得到求此压杆临界力的欧拉公式：亦即例题9-1

以kl=p/2亦即k=p/(2l)代入式(4)便得到压杆失稳时的挠曲线方程为例题9-1

试推导下端固定、上端铰支的等直细长中心压杆临界力的欧拉公式，并求该压杆失稳时的挠曲线方程。图(a)中的xy平面为杆的最小弯曲刚度平面。例题9-21.杆端约束力分析

图b示出了该压杆可能的微弯状态，与此相对应，B处应有逆时针转向的约束力偶矩MB，根据平衡方程SMB

＝0可知，杆的上端必有向右的水平约束力Fy；从而亦知杆的下端有向左的水平约束力Fy

。例题9-2解:杆的任意x截面上的弯矩为从而有挠曲线近似微分方程：2.建立压杆挠曲线的近似微分方程例题9-2上式等号右边的负号是因为对应于正值的w,w"

是负而加的。令k2=Fcr

/EI，将上式改写为亦即此微分方程的通解为其一阶导数为式中共有四个未知量：A，B，k，Fy。3.求临界力Fcr例题9-2再利用边界条件x=l，w=0，由上式得

由边界条件x=0，w=0得

A=Fy/(kFcr)。又由边界条件x=0，w=0得

B=-Fyl/Fcr。将以上A和B的表达式代入式(a)有例题9-2由于杆在微弯状态下保持平衡时，Fy不可能等于零，故由上式得

满足此条件的最小非零解为kl=4.49，亦即，从而得到此压杆临界力的欧拉公式为亦即例题9-24.将kl=4.49，亦即k=4.49/l代入式(c)即得此压杆对应于上列临界力的挠曲线方程：利用此方程还可以进一步求得该压杆在上列临界力作用下挠曲线上的拐点在

x=0.3l处(图b)。例题9-2压杆的长度因数和相当长度

表9-1中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：式中，m称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关；ml称为压杆的相当长度(equivalentlength)，它表示某种杆端约束情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为ml的两端铰支压杆的临界力。表9-1的图中从几何意义上标出了各种杆端约束情况下的相当长度ml。

运用欧拉公式计算临界力时需要注意：当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球形铰)，欧拉公式中的I应是杆的横截面的最小形心主惯性矩Imin。当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相对应。例如杆的两端均为如图所示柱形铰的情况下：xyz轴销对应于杆在xy平面内失稳，杆端约束接近于两端固定，对应于杆在xz平面内的失稳，杆端约束相当于两端铰支，而取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小者。xyz轴销

思考：图a、b所示细长中心压杆均与基础刚性连接，但图a所示杆的基础置于弹性地基上，图b所示杆的基础则置于刚性地基上。试问两压杆的临界力是否均为？为什么？并由此判断压杆的长度因数m

是否可能大于2。§9-4欧拉公式的应用范围·临界应力总图I.欧拉公式应用范围

在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限sp的情况。

按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力Fcr作用时可在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可按scr＝Fcr/A来计算，亦即式中，scr称为临界应力；为压杆横截面对于失稳时绕以转动的形心主惯性轴的惯性半径；ml/i为压杆的相当长度与其横截面惯性半径之比，称为压杆的长细比(slenderness)或柔度，记作l，即

根据欧拉公式只可应用于scr≤sp的条件，由式(a)知该应用条件就是亦即或写作可见就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔度。对于Q235钢，按照E＝206GPa，sp

＝200MPa，有

通常把l≥lp的压杆，亦即能够应用欧拉公式求临界力Fcr的压杆，称为大柔度压杆或细长压杆，而把l<lp的压杆，亦即不能应用欧拉公式的压杆，称为小柔度压杆。

图中用实线示出了欧拉公式应用范围内(l≥lp)的scr-l曲线，它是一条双曲线，称为欧拉临界力曲线，简称欧拉曲线。需要指出的是，由于实际压杆都有初弯曲，偶然偏心和材质不匀，所以从实验数据来分析，可以应用欧拉公式求临界力的最小柔度比这里算得的lp要大一些。*II.研究小柔度压杆临界力的折减弹性模量理论

工程中的绝大部分压杆为小柔度压杆，不能应用欧拉公式。研究小柔度压杆（l<lp）临界应力的理论很多，此处介绍的折减弹性模量理论是其中之一。

现先以矩形截面小柔度钢压杆在xy平面内失稳为例来探讨。

图a所示为钢在压缩时的s-e曲线。当加载过程中应力s超过比例极限时，材料在某一应力水平下的弹性模量可应用切线模量Es；而卸载时，材料的弹性模量由卸载规律可知，它与初始加载时的弹性模量E相同。(1)

横截面上应力的变化情况

按抽象的概念，小柔度中心压杆与大柔度中心压杆一样，当F=Fcr时杆既可在直线状态下保持平衡，也可在微弯状态下保持平衡。小柔度压杆在直线状态下保持平衡时其横截面上的应力是均匀的，其值为scr=Fcr/A（图b）。

当压杆在此应力水平下发生微弯时，中性轴一侧(图b中z轴右侧)横截面上产生附加拉应力，使原有的压应力scr减小，故属于减载，附加弯曲拉应力为st=Ey/r(x)；中性轴另一侧横截面上产生附加应力，使原有的压应力scr增大，故属于加载，附加弯曲压应力为sc=Esy/r(x)。因为E≠Es，故微弯时中性轴不通过横截面形心，它离左边缘的距离为h1，离右边缘的距离为h2。(2)中性轴的具体位置

根据压杆由于微弯产生的正应力在横截面上不应组成合力有即应有亦即要求这就要求注意到h1+h2=h，由上式可解得(3)横截面上弯矩M(x)与曲率r(x)的关系根据有上式中，Iz,1=bh13/3和Iz,2=bh23/3都是z轴一侧的矩形对z轴的惯性矩。由上式可得为了表达方便，用I来表示bh3/12，于是有为将上式表达为一般弯曲问题中的形式，引入折减弹性模量Er：(b)于是有亦即或者说，挠曲线的近似微分方程为

对于非矩形截面的小柔度压杆，其折减弹性模量可类似于上面所述的方法求得，而挠曲线方程的形式仍如式(c)所示。(c)(4)

小柔度压杆的临界力和临界应力表达式

小柔度压杆的挠曲线近似微分方程(c)与大柔度压杆的

w"＝±M(x)/EI完全一致，可见对不同杆端约束下各种截面形状的小柔度压杆都有如下公式：临界力临界应力III.压杆的临界应力总图

临界应力总图是指同一材料制作的压杆，其临界应力scr随柔度l变化的关系曲线。

在l≥lp的部分，有欧拉公式scr

＝p2E/l2表达scr－l关系；但在压杆柔度l很小时，由于该理论存在的不足，计算所得scr可能会大于材料的屈服极限ss，故取scr

＝ss。

在l<lp的范围内可利用折减弹性模量理论公式scr

＝p2Er/l2表达scr－l关系；此外，该理论公式中有与截面形状相关的折减弹性模量Er，故l<lp范围内的scr-l曲线实际上还因截面形状而有所不同。§9-5实际压杆的稳定因数

为保证实际压杆具有足够的稳定性，在稳定计算中需纳入稳定安全因数nst，取稳定条件(stabilitycondition)为式中，[s]st=scr/nst为压杆的稳定许用应力。亦即

由于scr与压杆的柔度l有关，而且考虑到不同柔度的压杆其失稳的危险性也有所不同，故所选用的稳定安全因数nst也随l变化，因此[s]st是一个与压杆柔度的关系比较复杂的量。

为了应用方便，将稳定许用应力[s]st写为材料的强度许用应力[s]乘以一个随压杆柔度l变化的稳定因数j=j(l)，即

我国钢结构设计规范根据对常用截面形式、尺寸和加工工艺的96根钢压杆，并考虑初曲率和加工产生的残余应力所作数值计算结果，在选取适当的安全因数后，给出了钢压杆稳定因数j与柔度l的一系列关系值。该规范按钢压杆中残余应力对临界应力的影响从小到大分为a、b、c三类截面。大多数钢压杆可取作b类截面压杆。表9-3为Q235钢b类截面中心压杆随柔度l变化的稳定因数j。表9-3

Q235钢b类截面中心受压直杆的稳定因数j

思考：

1.

已知Q235钢的[s]=170MPa，E=206GPa。表9-3中列出有l＝120的b类截面中心压杆的相应值j＝0.437。试推算其所采用的稳定安全因数nst的值。

2.

已知Q235钢的ss＝240MPa，试推算取用[s]=170MPa时的强度安全因数n的值。

图a，b，c所示两端球形铰支的组合截面中心受压直杆，由两根110mm×70mm×7mm的角钢用缀条和缀板联成整体，材料为Q235钢，强度许用应力[s]=170MPa。试求该压杆的稳定许用应力。例题9-31.

确定组合截面形心和形心主惯性轴

组合截面的形心O，位于对称轴y上，由型钢表查得y0＝35.7mm，由此确定形心O的位置。y、z轴为形心主惯性轴。例题9-3解：2.

计算组合截面的形心主惯性矩可见，Imin=Iy。由型钢表查得单根110mm×70mm×7mm角钢的Iz1=153cm4，Iy1=49.01cm4，A1=12.301cm4，z0=1.61cm例题9-33.计算压杆的柔度

组合截面对y轴的惯性半径为压杆的柔度例题9-34.计算压杆的稳定许用应力

按b类截面中心压杆，查b类截面中心受压构件的稳定因数j表得l＝97时j＝0.575，从而得例题9-3§9-6压杆的稳定计算·压杆的合理截面

根据上节中所述，中心压杆的稳定条件可以表达为需要注意的是，式中A所表示的横截面面积，即使当压杆被钉孔等局部削弱时也还采用不考虑削弱的毛面积，因为压杆的稳定性取决于整体的抗弯能力，受局部削弱的影响很小。这与强度计算中必须以横截面被钉孔等削弱后的净面积为依据是有所不同的。

在稳定计算中如需按稳定条件选择压杆的横截面尺寸，那么由于查表确定稳定因数j时需要依据与截面尺寸相关的柔度l，所以要用试算法。

压杆的临界应力随柔度的减小而增大，因而当杆端约束在各纵向平面内相同时，压杆的合理截面应是：Ⅰ.对两个形心主惯性轴的惯性半径相等的截面，亦即两个形心主惯性矩相等(Imax=Imin)的截面；Ⅱ.在横截面面积相同的条件下，对形心主惯性轴的惯性半径尽可能大的截面，亦即形心主惯性矩尽可能大的截面。

对于杆端约束在压杆各纵向平面内不同的情况，其横截面以使压杆在各纵向平面内的柔度l相同或接近相同为合理。

图示截面中，对于杆端约束在各纵向平面内相同的压杆来说，正方形截面较矩形截面合理；圆截面合理，且空心圆截面较实心圆截面更合理。图e所示组合截面其两个槽钢的形心间距离h以能使Iy等于或稍大于Iz者为合理。

图示为简易起重装置，其扒杆(图中的斜杆)为平均直径d=300mm的红松，长度

l＝6m，顺纹抗压强度许用应力[s]＝10MPa。试求该扒杆所能承受的许用压力值。例题9-41.我国规范的有关规定

我国木结构设计规范中对木制压杆，按树种的弯曲强度分两类给出稳定因数j的计算公式。红松属于树种强度TC13级(“13”表示弯曲强度为13MPa)，该等级所属分类的稳定因数计算公式为时时例题9-4解：2.求扒杆在图示平面内失稳时的许用压力[F1]

该扒杆在轴向压力作用下如果在图示平面内失稳，则由于其上端受水平钢丝绳的约束而基本上不能产生侧向位移而只能转动，其下端由于销钉的约束也只能转动，故扒杆大致相当于两端铰支压杆，长度因数可取为m＝1。例题9-4扒杆的柔度为式中因为，所以扒杆的许用压力为例题9-4扒杆在垂直于图示平面的平面内失稳时，其上端通常没有任何约束，而下端由于受销钉约束基本上不能转动而可视为固定端，故长度因数可取为m＝2。3.求扒杆在垂直于图示平面的平面内失稳时的许用压力[F2]例题9-4扒杆的柔度为因l>91，稳定因数为扒杆的许用压力为例题9-44.确定扒杆所能承受的许用压力[F]因为[F2]<[F1]所以[F]=77kN例题9-4

厂房的钢柱由两根槽钢组成，并由缀板和缀条联结成整体，承受轴向压力F=270kN。根据杆端约束情况，该钢柱的长度因数取为m＝1.3。钢柱长7m，材料为Q235钢，强度许用应力[s]=170MPa。该柱属于b类截面中心压杆。由于杆端连接的需要，其同一横截面上有4个直径为d0=30mm的钉孔。试为该钢柱选择槽钢号码。例题9-51.按稳定条件选择槽钢号码假设j＝0.50，得到压杆的稳定许用应力为

按稳定条件选择槽钢的号码，就是先由稳定条件，得，然后由A的值查型钢表选择槽钢号码。现在的问题是槽钢的号码未定，惯性半径i未知，不能由算出l值，也无法确定j。通常用试算法选择槽钢号码。例题9-5解：因而按稳定条件算得每根槽钢所需横截面面积为由型钢表查得，14a号槽钢的横截面面积为

A=18.51cm2＝18.51×10-4m2，而它对z轴的惯性半径为iz=5.52cm=55.2mm。

下面来检查采用两根14a号槽钢的组合截面柱其稳定因数j是否不小于假设的j＝0.5。例题9-5

注意到此组合截面对于z轴的惯性矩

Iz和面积

A都是单根槽钢的两倍，故组合截面的iz值就等于单根槽钢的iz值。于是有该组合截面压杆的柔度：例题9-5由表9-3(孙训方，《材料力学》)查得，Q235钢b类截面中心压杆相应的稳定因数为j＝0.262。显然，前面假设的j＝0.5这个值过大，需重新假设j值再来试算；重新假设的j值大致上取前面假设的j＝0.5和所得的j＝0.262的平均值为基础稍偏于所得j的值。重新假设j＝0.35，于是有例题9-5试选16号槽钢，其

A=25.15×10-4m2，iz