应力状态与强度理论

应力状态与强度理论

单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上的应力。单元体如何取？

在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量dx、dy和dz，如下图所示。dydzdxzxy

对单轴或纯剪切应力状态，可由实验测得的相应的材料许用应力来建立正应力和切应力强度条件。2、强度理论

而当一点处的应力状态较为复杂时，因应力的组合形式有无限多的可能性，不可能由实验的方法来确定每一应力组合下材料的极限应力，因此需确定引起材料破坏的共同因素。

关于材料破坏的共同因素（即破坏规律）的假说，即称为强度理论。可根据强度理论来建立强度条件。tzx例1

画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。

PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx§7-2平面应力状态分析•主应力

对图a所示悬臂梁上A点处单元体上的应力分布（图b）可见：有一对平面上的应力等于零，而不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。ssttttAF(a)

adcbAa'b'd'c'(b)

adcbAttttss

该应力状态则称为平面应力状态，其单元体可简化为左图所示情形。1、斜截面上的应力已知如下图a（或图b）所示的一平面应力状态：efanaxyzabcdtxty(a)sxsytysysxtxdabctxtytxx(b)sxsxsysytyy

可由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上应力。如图b所示，斜截面ef的外法线与x轴间的夹角为，称为截面。应力的正负和斜截面夹角的正负规定：1）正应力拉为正，压为负；2）切应力使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之为负；3）对角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法线重合时，其值为正；反之为负。

取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截面上应力和斜截面夹角均为正。efbtytxatasa(c)sxsy

由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法线n和切线t方向可得：⇒ntsydAsina(d)bftydAsinatadAtxdAcosaesadAsxdAcosa由此可得，任一斜截面上的应力分量为：⇒其中dA为斜截面ef的面积。解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：例7-1图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求C点=30°截面上的应力。(b)Cxtxsxsxtxtytyy(a)xTFTCF

图示斜截面上应力分量为：Cxtxsxsxtxtytyy30°nst-30-30°°2、应力圆由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：两式两边平方后求和可得：而圆方程为：

可见前式实际上表示了在为水平轴、为垂直轴的坐标系下的一个圆，其圆心坐标为：半径为：如下图。

单元体斜截面上应力（，）和应力圆上点的坐标（，）一一对应，因此可通过确定应力圆上相应点的坐标来求斜截面上应力（，）。

因为圆心一定在轴上，只要知道应力圆上的两点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。tsOC1）应力图的画法已知x、y、x、y，如右图，假定x>y。

在、坐标系内按比例尺确定两点：dabcefatxtytxxnasxsxsysytyy

以C为圆心，线段CD1或CD2为半径作圆，即为应力圆。

连接D1、D2两点，线段D1D2与轴交于C点。CC2）证明对下图所示应力圆可见C点的横坐标为：

从D1点按斜截面角的转向转动2得到E点，该点的坐标值即为斜截面上的应力分量值。C2sOtCs2FA1B1B2A2D1D2Etxtysysxs12a02a由于可得：因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且

该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述圆确为应力圆。则：另外，E点横坐标为：

可见，E点坐标值即为斜截面上的应力分量值。即：同理可得E点的纵坐标为：

由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量值一一对应，因此，按比例作图，可通过直接用尺子量出坐标值来求任意斜截面上的应力分量，此即称为图解法。解：按一定比例画出应力圆。

例7-2用图解法求图示=30°斜截面上的应力值。因为图示应力状态有：x30°tx=35.7MPasx=63.7MPayn

按一定比例，作出应力圆，并找到斜截面对应的点，量取其坐标可得：则x、y截面在应力圆上两点为：EsDy(0,35.7)Dx(63.7,-35.7)60°-30°(s-30°，)20MPa圆上一点，体上一面；圆上半径，体上法线；转向一致，数量一半；直径两端，垂直两面。应力圆和单元体的对应关系3、主平面和主应力对图a所示应力状态，作出应力圆（图b）。s1a0s1s2s2

主平面：剪应力=0的平面；主应力：主平面上的正应力。可证明：并规定：可见：txsy(a)tsODyDxCA2A12a0(b)具体值可在应力圆上量取，即：主平面位置：图a中1主平面的方位角0对应于应力圆（图b）上的圆心角20。

主应力值和主应力平面的计算：

由图b可见，A1、A2两点的横坐标为：，IV象限由此可得两个主应力值为：因为1主平面方位角的两倍对应于应力圆上20，而

IV象限。注意：20的值与其所在的象限有关，而其所在象限与计算式中分子、分母的正负有关，即：I象限；II象限；III象限；所以，1主平面方位角0为：

例7-3求图a所示应力状态的主应力及方向。

解：1、应力圆图解法：因为：所以：按一定比例作出应力圆（图b）。ytx30MPa100MPa=40MPax(a)DxDyA3A120(b)

由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大小关系可得：由此可得：主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：s1sa0s1yx(c)2、解析法：

所以：⇒（2）应力圆sOtCs2FA1B1B2A2D1D2Etxtysysxs12a02a应力圆和单元体的对应关系圆上一点，体上一面；圆上半径，体上法线；转向一致，数量一半；直径两端，垂直两面。（3）主平面和主应力§7-3空间应力状态的概念

下图所示单元体的应力状态是最普遍的情况，称为一般的空间应力状态。图中x平面有：图中y平面有：图中z平面有：

在切应力的下标中，第一个表示所在平面，第二个表示应力的方向。xyzOdxdydztxytxzsxtyxsytyztxysztzxtxysxtxztzysztzxtyxsytyz

可以证明，对上述应力状态一定可找到一个单元体，其三对相互垂直的面都是主平面，其上应力分别为：

空间应力状态共有9个分量，然而，根据切应力互等定理可知，独立的分量只有6个，即：空间应力状态：三个主应力都不等于零；平面应力状态：两个主应力不等于零；单向应力状态：只有一个主应力不等于零。该单元体称为主单元体。考虑图a所示主单元体中斜截面上的应力。对与3平行的斜截面：

同理：和2平行的斜截面上应力与2无关，由1、3的应力圆确定；和1平行的斜截面上应力与1无关，由2、3的应力圆确定。下面分析空间应力状态下的最大正应力和切应力。cabs1s3s3(b)s2s1s2s1s3s3s2(a)

进一步研究表明，一般斜截面abc面上应力位于图c所示的阴影部分内。由图b可知，该面上应力、与3无关，由1、2的应力圆来确定。max作用面为与2平行，与1或3成45°角的斜截面。所以，由1、3构成的应力圆最大，max作用点位于该圆上，且有：因为：stOs3s2s1smaxBDAtmax(c)注意：max作用面上，0。例7-4用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，最大切应力max及作用面。解：由图示应力状态可知z=20MPa为一主应力，则与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。可由图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。202040(b)(a)20MPa20MPa40MPa20MPaxyz

图b所示平面应力状态对应的应力圆如图c。最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。tsOs3s1ACD2D1(c)tsOtmaxs3s2s1BACD2D12a0(d)由此可得：

作用面与2平行而与1成45°角，如图e所示。最大剪应力对应于B点的纵坐标，即x(e)s3s2s1tmax45°17°解析法：§7-4应力与应变之间的关系1、各向同性材料的广义胡克定律时，2）纯剪应力状态：

1）单向应力状态：横向线应变：

stxgxy时，3）空间应力状态：对图示空间应力状态：

正负号规定：正应力分量同前，拉为正、压为负；切应力分量重新规定，正面（外法线与坐标轴指向一致）上切应力矢与坐标轴正向一致或负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为正，反之为负。六个应力分量，dxdydztxytxzsxtyxsytyztxysztzxtxysxtxztzysztzxtyxsytyz对应的六个应变分量，

正负号规定：正应变分量同前，拉为正、压为负；切应变分量以使直角减小为正，反之为负。

对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下，正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：三个正应力分量单独作用时，x方向的线应变为：

同理可得：则可得：对切应力分量与切应变的关系，有：

上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。对平面应力状态：设z=0，xz=0，yz=0，有：若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：二向应力状态：设有可见，即使3=0，但30而且各向同性材料有每单位体积的体积改变，称为体积应变，即：

所以：2、各向同性材料的体应变对图示主单元体，有：而变形后单元体体积为：321dxdzdy可见，任一点处的体积应变与三主应力之和成正比。对平面纯剪应力状态：因此：

即在小变形条件下，切应力不引起各向同性材料的体积改变，在空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变有关，并有：例7-5已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为1=240×10-6，3=–160×10-6。材料的弹性模量E=210GPa，泊松比=0.3。求该点处的主应力值数，并求另一应变2的数值和方向。解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：即为平面应力状态，有联立两式可解得：主应变2为：其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。

例7-6讨论图示各应力状态下的体积应变。因为：所以：2010050(a)408050(b)因为：所以：可见：ss=ts=t可见，图c和d所示应力状态下无体积应变。4010060(c)t(d)因为：所以：因为：所以：例7-7边长a=0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大、变形可忽略的钢凹槽中，如图a所示。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比=0.34。当受到F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的主应力、体应变以及最大切应力。解：铜块应力状态如图b所示，横截面上的压应力为：sysxsz(b)yxz(a)Faaa联解可得：

受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，并产生压应力，即有：利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：则铜块的主应力为：由此可得其体应变为：例7-8已知图示简支梁C点45°方向的线应变，材料的弹性模量为E，横向变形系数为ν求载荷F。

l/32l/3FC45°bh

⇒

而：所以：解：C点的应力状态为图示纯剪应力状态。tC45°3=t1=t主应力方向如图中红线所示，一主应力方向的应变已知，并且例7-9图示圆截面杆，已知d=100mm,E=200Gpa,ν=0.3,.求F、M。

解：

§7-5空间应力状态下的应变能密度

在线弹性范围和小变形条件下，应变能与加载顺序无关，只取决于外力(变形)的最终值。单位体积的应变能，称为应变能密度，即：1、单向应力状态dzdydxss2、三向应力状态

比例加载：图示主单元体中，各面上的应力按同一比例增加直至最终值。dzdydxs2s1s3

此时，对每一主应力，其对应的应变能仅与对应的主应变有关，而与其它主应力在该主应变上不作功，同时考虑三个主应力，有：由前述广义虎克定律有：则应变能密度为：而主单元体体积为：3、形状改变比能一般情况，单元体有体积改变，也有形状改变。1=+

主单元体分解为图示两种单元体的叠加，有s2s3s(a)smsmsm(b)s2-sm=s2's1-sm=s1's3-sm=s3'(c)平均应力：则体积不变，仅发生形状改变。

在m作用下，图b无形状改变，且其体积应变同图a，而对图c，因为：

与此对应，图a的体积改变能密度等于图b的应变能密度，而图a的形状改变能密度等于图c所示单元体的应变能密度，即：

而：而：所以：另外，由图c可得：所以：由两者相加并与图a的应变能密度比较可证明：

对一般空间应力状态的单元体，应变能密度可由六个应力分量和对应的应变分量来表示，即为：请推导单纯由应力分量表示的应变能密度！练习题：图示悬臂梁，已知中性层A点沿45o线应变ε,弹性模量E、横向变形ν,截面尺寸b、h。求F=?1、空间应力状态的概念最大剪应力2、广义胡克定律主应力三向应力圆stOs3s2s1smaxBDAtmax平面应力状态：3、各向同性材料的体积应变4、空间应力状态下的应变能密度形状改变比能体积改变比能§7-6强度理论及其相当应力ss1、概述

1）单向应力状态：

图示拉伸或压缩的单向应力状态，材料的破坏有两种形式：塑性屈服：极限应力为脆性断裂：极限应力为

此时，s、

p0.2和b可由实验测得。由此可建立如下强度条件：2)纯剪应力状态：其中n为安全系数。

图示纯剪应力状态，材料的破坏有两种形式：塑性屈服：极限应力为脆性断裂：极限应力为

其中，s和b可由实验测得。由此可建立如下强度条件：3）复杂应力状态txsx来建立，因为与之间会相互影响。

研究复杂应力状态下材料破坏的原因，根据一定的假设来确定破坏条件，从而建立强度条件，这就是强度理论的研究内容。对图示平面应力状态，不能分别用4）材料破坏的形式

塑性屈服型：常温、静载时材料的破坏形式大致可分为：

脆性断裂型：铸铁：拉伸、扭转等；低碳钢：三向拉应力状态。低碳钢：拉伸、扭转等；铸铁：三向压缩应力状态。例如：例如：

可见：材料破坏的形式不仅与材料有关，还与应力状态有关。

根据一些实验资料，针对上述两种破坏形式，分别针对它们发生破坏的原因提出假说，并认为不论材料处于何种应力状态，某种类型的破坏都是由同一因素引起，此即为强度理论。脆性断裂：塑性断裂：5）强度理论常用的破坏判据有：

下面将讨论常用的、基于上述四种破坏判据的强度理论。2、四个常用的强度理论强度条件：1）最大拉应力理论(第一强度理论)

假设最大拉应力1是引起材料脆性断裂的因素。不论在什么样的应力状态下，只要三个主应力中的最大拉应力1达到极限应力jx，材料就发生脆性断裂，即：可见：a)与2、3无关；

b)应力jx可用单向拉伸试样发生脆性断裂的试验来确定。实验验证：铸铁：单拉、纯剪应力状态下的破坏与该理论相符；平面应力状态下的破坏和该理论基本相符。存在问题：没有考虑2、3对脆断的影响，无法解释石料单压时的纵向开裂现象。

假设最大伸长线应变1是引起脆性破坏的主要因素，则：jx用单向拉伸测定，即：2）最大伸长线应变理论(第二强度理论)实验验证：

a)可解释大理石单压时的纵向裂缝；

b)铸铁二向、三向拉应力状态下的实验不符；

c)对铸铁一向拉、一向压的二向应力状态偏于安全，但可用。因此有：强度条件为：因为：

对低碳钢等塑性材料，单向拉伸时的屈服是由45°斜截面上的切应力引起的，因而极限应力jx可由单拉时的屈服应力求得，即：3）最大切应力理论(第三强度理论)

假设最大切应力max是引起材料塑性屈服的因素，则：因为：实验验证：c)二向应力状态基本符合，偏于安全。b)仅适用于拉压性能相同的材料。由此可得，强度条件为：a)仅适用于拉压性能相同的材料；b)低碳钢单拉(压)对45滑移线吻合；存在问题：没考虑2对屈服的影响，偏于安全，但误差较大；

假设形状改变能密度vd是引起材料塑性屈服的因素，即：4）形状改变能密度理论(第四强度理论)因为材料单拉屈服时有：可通过单拉试验来确定。所以：又：因此：由此可得强度条件为：实验验证：a)较第三强度理论更接近实际值；b)材料拉压性能相同时成立。强度理论的统一形式：

最大拉应力(第一强度)理论：

最大伸长线应变(第二强度)理论：

最大切应力(第三强度)理论：r称为相当应力，分别为：

形状改变能密度(第四强度)理论：§7-7强度理论的应用应用范围：a)仅适用于常温、静载条件下的均匀、连续、各向同性的材料；b)不论塑性或脆性材料，在三向拉应力状态都发生脆性断裂，宜采用第一强度理论；c)对于脆性材料，在二向拉应力状态下宜采用第一强度理论；d)对塑性材料，除三向拉应力状态外都会发生屈服，宜采用第三或第四强度理论；e)不论塑性或脆性材料，在三向压应力状态都发生屈服失效，宜采用第四强度理论。例7-9两危险点的应力状态如图，=，由第三、第四强度理论分别比较其危险程度。st(a)st(b)解：对图a所示应力状态，因为所以：对图b所示应力状态，有：所以：