北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第2章随机变量及其分布-2

北京理工大学《概率论与数理统计》§1随机变量§2离散型随机变量及其分布律§3随机变量的分布函数§4连续型随机变量及其概率密度§5随机变量函数的分布第二章随机变量及其分布§1随机变量一随机变量的概念为了更深入地研究随机现象，就要建立数学模型，随机变量是随机现象的最基本的数学模型。引入了随机变量，我们就可以用随机变量的值表示随机试验的结果。

1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）例如

掷一颗骰子，观察出现的点数；观察某天从北京下火车的人数；观察昆虫的产卵数

2、此外，还有些试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果。也就是说，可以将试验结果数值化。正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫运动员的号码一样，二者之间建立了一种对应关系。这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数。

设随机试验的样本空间S={e,e是样本点}，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称

X=X(e)

为随机变量。由此看到，随机试验的结果可以用数值来示，因此引入随机变量的概念定义e.X(e)R对于任意的实数x

，集合

而表示随机变量所取的数值时,一般采用小写字母x,y,z等随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示二随机变量的意义随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件。引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究。例1

一批产品有50件，其中有8件次品，42件正品，现从中取出

6

件

X表示取出6件产品中的次品数

则X

就是一个随机变量

它的取值为0，1，2，…，6表示取出的产品全是正品这一随机事件表示取出的产品至少有一件是次品这一随机事件注意X的取值是有限个！

例2上午8:00～9:00

在某路口观察

Y表示该时间间隔内通过的汽车数

则Y

就是一个随机变量

它的取值为0，1，…．表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件注意Y

的取值是可列无限个！表示通过的汽车数大于50辆但不超过100辆这一随机事件

例3观察某生物的寿命（单位：小时）

Z表示该生物的寿命

则Z

就是一个随机变量

它的取值为所有非负实数表示该生物的寿命大于

3000小时这一随机事件表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件注意Z的取值是不可列无限个！例4

掷一枚硬币，令则X是一个随机变量请问：X表示什么含义？例5

掷一枚骰子，令等等一

离散型随机变量的概念与性质§2离散型随机变量及其分布律有些随机变量只能取有限个或可列个值。例如被访问者的性别、年龄、职业；一批产品中次品个数；一个医学试样中白细胞个数；掷两个骰子第一次得到12点的次数；等等。定义如果随机变量X只取有限个值或可列个值则称X是离散型随机变量。离散型随机变量的定义定义设X

是离散型随机变量，称离散型随机变量的分布律为X的分布律。离散型随机变量的分布律也常常用如下方式表达说明

离散型随机变量可完全由其分布律来刻划。即离散型随机变量可完全由其可能的取值以及取这些值的概率唯一确定。分布列的性质用这两条性质判断一个函数是否是离散型概率分布函数例1

从1～10这10个数字中随机取出5个数字，X

表示取出的5个数字中的最大值。试求X

的分布律。即X

的分布律为解

X

的取值为5，6，7，8，9，10.

并且例2

设离散型随机变量X

的分布律为

则例3

设随机变量X的分布律为解由分布列的性质，得该级数为等比级数，故有所以试求常数c。例4

设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过，以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求X

的分布律。(信号灯的工作是相互独立的)P{X=3}=(1-p)3p解

以p

表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则X的分布律为

0

1

2

3

4Xpk

p

(1-p)p

(1-p)2p

(1-p)3p

(1-p)4

或写成

P{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3

P{X=k}=(1-p)4,k=4.以p=1/2

代入，得Xpk

0

1

2

3

4

0.50.250.1250.06250.0625二几种常用的离散型随机变量设随机变量X只取0或1两个值，它的分布律为或则称随机变量X服从参数为p的（0—1）分布或两点分布，1、（0—1）分布记作（0

—1）分布的应用设X

表示在一次试验中事件A发生的次数即记则任何一次试验，当只考虑两个对立的结果A与

时，就可以用（0—1）分布来描述，此时例5

15件产品中有4件次品，11件正品，从中任取1件。

X表示取出的一件产品中的次品数。则X

的取值为0或者1，并且2、伯努利试验、二项分布（1）n重伯努利试验一般地，设在一次试验中我们只考虑两个对立的结果A或。再设我们重复地进行n次独立试验：

“重复”

是指这个试验中各次试验条件相同，每次试验成功的概率都是p，失败的概率都是q=1-p；这样的n次独立重复试验称作n重伯努利试验，或称伯努利概型。它是一种很重要的数学模型。“独立”是指各次试验的结果互不影响。对同一目标进行n次射击，若每次射击只关心“击中目标”与“未击中目标”两种情况。n重伯努利试验的例子掷n次硬币，只关心“出现正面”与“出现反面”这两种情况；掷n

颗骰子，如果我们对每颗骰子只关心“出现六点”与“不出现六点”这两种情况；分析设在n重伯努利试验中每一个样本点可记作其中每一个只取A或，个。且对于这样的一个基本事件，有n次试验中，k次A出现，n-k次A不出现就是一个基本事件，k=0,1,2,…,n。现考虑事件{n重伯努利试验中事件A恰好发生k次}，Bkn=现求概率在n次试验中，指定

k次出现A，其余n–k

次出现，这种指定的方法有种，即该事件含有个不同的样本点，且每个样本点发生的概率是。因此

用X表示n重伯努利试验中事件A出现的次数，则这就是我们下面要介绍的二项分布设随机变量X的所有可能值为0,1,2，…，n,

其分布律为则称X服从参数为

n和p的二项分布，

记作

（2）二项分布二项分布的应用进行n重伯努利试验，设在每次试验中X表示在n重伯努利试验中事件

A发生的次数则说明1、显然，当n

=1

时（0—1）分布是二项分布的一个特例第k+1项2、称为二项分布的原因是为二项展开式3、二项分布的特性对于二项分布B(n,p)，当k增加时，概率P{X=k}先是随之增加，直至达到最大值，随后单调减少。(见p35例2)如下图所示：二项分布的概率分布示意图例6

一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的。某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？则答5道题相当于做5重伯努利试验解

每答一道题相当于做一次试验，只关心“答对”和“答错”两种情况。则设X表示该学生靠猜测能答对的题数设A={答对一道题}，则P(A)=1/4因此P{至少能答对4道题}X的分布律为例7

某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，

独立射击400次，试求至少击中两次的概率。解射击一次相当于做一次试验，只关心“击中”与“没击中”令

X表示击中的次数则X~B(400,0.02)则射击400次相当于做400重伯努利试验X的分布律为因此3、泊松分布(Poisson分布)其中是常数。则称X服从参数为的泊松分布，设随机变量X的所有可能值为0,1,2，…，其分布律为

记作

泊松分布的应用电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数；放射物在某一时间间隔内发射的粒子数；容器在某一时间间隔内产生的细菌数，等等。在一定条件下，都是服从泊松分布的泊松分布是概率论中重要的分布之一。自然界及工程技术中的许多随机指标都服从

泊松分布，例如解

随机变量X的分布律为由已知试求例8

设随机变量X服从参数为的Poisson分布，且已知得由此得方程得解（另一个解不合题意，舍去）因此4、几何分布(Geometric分布)则称X服从参数是p的几何分布。则随机变量X的所有可能值为1,2，…，其分布律为设某试验成功概率为p(0<p<1)，独立地重复此试验直到第一次成功，设X是第一次成功需要的试验次数

例11对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为0.64，射击进行到击中目标时为止，X表示所需射击次数。试求随机变量X

的分布律，并求至少进行2次射击才能击中目标的概率。解

X的取值为1，2，…，

n…

P{X=n}=P{前n-1次射击均未击中，第n次射击时击中目标}由独立性，得X

的分布列为

作业

2,3,5,7,12一概率分布函数的概念与性质对于随机变量X，我们不仅要知道X取哪些值，还要知道X取这些值的概率；而且更重要的是想知道X在任意有限区间内取值的概率。§3随机变量的分布函数分析如果X是离散型随机变量，则

例如

计算事件{X∈

(

a,b]}的概率一般地，无论是离散型还是非离散型随机变量对事件{X∈

(

a,b]}的概率，都有为了对不同类型的随机变量给出一种统一的描述方法，我们引进分布函数的概念。事实上，如果我们定义

则上述概率分布函数

即

定义

对随机变量X,称x的函数为X的分布函数。0x分布函数的概念说明

1、分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究随机变量。

2、

如果将X

看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)

的值就表示X落在区间(-∞,x]的概率。3、对于任意的实数x1,x2(x1<x2)

，有x1

x2

xXo因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述。分布函数的性质分布函数

F(x)

具有以下基本性质10F(x)

是一个单调不减的函数

即2030

右连续，其中F(x+0)表示F在x处的右极限。

注

如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变量X

的分布函数。也就是说，上述三条性质是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件。试说明

F(x)能否是某个随机变量的分布函数。例1

设

解

注意到函数F(x)在上下降不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数不满足性质(2)，可见

F(x)也不能是分布函数或者解X的分布律为

例2

将一枚均匀的硬币抛掷三次，X表示三次中正面出现的次数，求X

的分布律及分布函数；并求下面求X的分布函数二离散型随机变量的分布函数当时，当时，当时，当时，当时，0

1

23x1分布函数F(x)的图形所以下面利用F(x)求概率分布函数分布律离散型随机变量的分布律与分布函数的关系图示如下分布函数F(x)的图形是阶梯形、右连续、单调不减的曲线；在X=xk,k=1,2,3,…处，有跳跃，其跳跃值恰好等于

P（X=xk）=pk§4连续型随机变量及其概率密度一连续型随机变量的概念与性质在线段上随机投点的位置、温度、气压、电压、电流等物理量等等，理论上可以取到某个区间的任何实数值。对这种类型的随机变量，不能象离散型随机变量那样，以指定它取每个值概率的方式给出其概率分布，而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式，从而得到连续型随机变量的概念。定义如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x),使对于任意实数

x有则称X为连续型随机变量，其中函数

f(x)称为

X的概率密度函数，简称概率密度或密度。连续型随机变量的概念xyxF(x)分布函数F(x)与密度函数

f(x)的几何意义-10-550.020.040.060.08由定义知道，概率密度f(x)

具有以下性质f(x)0x1概率密度的性质这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某X的概率密度函数的充要条件这是因为注

由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义，我们所关心的是它在某一区间上取值的问题。连续型随机变量的性质：设X是一个连续型随机变量对数集A

(严格意义下要求可测性),

（1）设X具有概率密度f(x)，则

特别地，在f(x)的连续点处，有

密度函数与分布函数的关系（2）设X具有分布函数F(x)。若除去有限个或可列个点外，F(x)有连续的导数，则X是连续型随机变量，且其密度函数可定义为当存在否则注

1、对于连续型的随机变量,密度函数唯一决定分布函数。

2、连续型随机变量的分布函数一定是连续的；但分布函数连续的随机变量不一定是连续型的

(除了连续型分布和离散型分布以外还存在其它类型的分布)。3

F(x)导数不存在的点处，根据改变被积

函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，

可以在F’(x)没意义的点处，任意规定的值，一般令其为0。例1

设X是连续型随机变量，其密度函数为解⑴由密度函数的性质求：⑴常数c；例2

某电子元件的寿命X（单位：小时）是以为密度函数的连续型随机变量。求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率。解设A={某元件在使用的前150小时内需要更换}检验5个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重伯努利试验，在一次试验中A发生的概率是1/3

B={5个元件中恰有2个的使用寿命不超过

150小时}例3

设随机变量X具有概率密度

确定常数k

；(2)求X的分布函数；(3)

求解(1)由得故，X的概率密度函数为(2)由得(3)当然，还可以用概率密度求概率。例4

设连续型随机变量X的分布函数为

确定A、B的值；(2)

求X的概率密度；(3)

求故有解(1)

因为X是连续型随机变量，所以F(x)连续即因此(3)(2)

由得当然，还可以用概率密度求概率。注

在

F(x)导数不存在的点处，根据改变被积

函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，

可以在没意义的点处，任意规定的值，一般令其为0。二几种常用的连续型随机变量1、均匀分布则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，若连续型随机变量X的概率密度为记作均匀分布密度函数的图形其分布函数为Xabxll0X设[c,c+l](a,b)

均匀分布的特性如果随机变量X在区间（a,b）上服从均匀分布，则X落在区间（a,b）中的任意一个子区间上的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关。即随机变量X落在区间（a,b）中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。

例5

设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车，如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30

之间均匀分布的随机变量，试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率。解设该乘客于7时X分到达此站则X服从区间[0,30]上的均匀分布令B={候车时间不超过5分钟}则2、指数分布其中θ>0为常数，则称X服从参数为θ的指数分布。若连续型随机变量X的概率密度为指数分布的另一种等价定义其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布。若连续型随机变量X的概率密度为指数分布密度函数的图形则其分布函数为指数分布的应用指数分布具有“无记忆性”。所以，又把指数分布称为“永远年轻”的分布。对任意

s,t>0,有“无记忆性”：若X服从参数为θ

的指数分布，则

指数分布常作为各种“寿命”分布的近似。

作业

20，21，24，25正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广，所以通常称为高斯分布。德莫佛德莫佛（DeMoivre)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。3、正态分布正态分布的应用若随机变量X受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加，则X服从正态分布。正态分布是应用最广泛、最重要的一种分布。例如各种测量的误差；人的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；热噪声电流强度；学生们的考试成绩；

……

都服从或近似服从正态分布。其中μ，σ

（

σ

>0）为常数，则称X服从参数为μ，σ

的正态分布或高斯分布。

记作定义：若连续型随机变量X的概率密度为正态分布密度函数的图形其分布函数为正态分布密度函数曲线的特点（1）曲线关于直线

x=

对称：

f(+x)=f(-x)；（2）在

x=

时，

f(x)取得最大值（3）在

x=±

时，曲线

y=f(x)在对应的点处有拐点；（4）曲线

y=f(x)以x轴为渐近线；（5）曲线

y=f(x)的图形呈单峰对称状；（1）

—位置参数即固定，改变

的值，则f(x)的形状不变，只是位置不同，沿着x轴作平移变换。正态分布密度函数f(x)

的两个参数的几何意义：（2）

—形状参数即固定

，改变

的值，则f(x)图形的对称轴不变，而形状在改变。越小，图形越高越瘦；越大，图形越矮越胖。当μ=0，σ=1

时，称随机变量X服从标准正态分布。其概率密度和分布函数分别为标准正态分布标准正态分布密度函数的图形标准正态分布分布函数的图形重要结论

命题1.若，则

1、3、2、证明1、

的分布函数为故2、由1得3、由2

得标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过一定的线性变换（标准化变换）转化为标准正态分布。根据上述结论，只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以通过查表解决一般正态分布的概率计算问题。（教材附表2.）说明例5

设随机变量X~N(0,1)，试求（1）；解（1）（2）

（2）

解（1）例6

设随机变量X~N(2,9)，试求（1）；（2）

；

（3）

（2）（3）这说明，标准正态分布X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内。若X~N(0,1)

，则

命题2.3σ—准则一般地，若

，则

可以看到，X的取值几乎全部集中在区间内，这在统计学上称作正态分布3σ—准则。标准正态分布的上

分位数

z设X~N(0,1),0<<1,称满足的点

z

为X的上分位数。

z常用的几个数据这一节我们介绍了随机变量的分布函数分布函数分布函数的性质

离散型随机变量的分布函数

分布律与分布函数的关系

连续型随机变量的分布函数

概率密度与分布函数的关系在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣求截面面积

A=

的分布例如已知圆轴截面直径d

的分布，§5随机变量函数的分布又如，已知t=t0

时刻噪声电压

V的分布，求功率

W=V2/R

(R为电阻）的分布思考：设随机变量X

的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X

的分布求出

Y

的分布？这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的

下面进行讨论一离散型随机变量函数的分布例1

设离散型随机变量X

的分布律为随机变量Y=2X－3

，试求Y的分布律。解概率所以，随机变量Y=2X－3

的分布律为

解

例2

设随机变量

X

的分布律为pkX-10120.20.30.10.4试求Y=(X-1)2

的分布律。概率pkY

0140.10.70.2所以，Y=(X-1)2

的分布律为解题思路二连续型随机变量函数的分布设X是连续型随机变量，其概率密度为

再设Y=g(X)是X的函数，假定Y也是连续型随机变量，试求Y=g(X)的概率密度（1）先求Y=g(X)的分布函数（2）利用，求Y=g(X)的

密度函数解(1)

设Y的分布函数为

FY(y)例3设X

的概率密度求

Y=2X+8的概率密度。(2)

利用可以求得因此例4

设

X具有概率密度

,求

Y=X2的概率密度。当

时，

因为，解

(1)设Y和X的分布函数分别为和

所以当

时，

(2)

利用可以求得则

Y=X2

的概率密度为例如设X~N(0,1),

其概率密度为此时称

Y服从自由度为1的分布例5

设随机变量X的概率密度为求Y=sinX的概率密度。解

(1)显然，X的取值范围为，Y的取值范围为因此，当时，当时，当时，

(2)

利用可以求得下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度。定理

设

X是一个取值于区间[a,b]，具有概率密度

f(x)的连续型随机变量

；又设y=g(x)处处

可导，且对于任意

x,恒有或恒有；则Y=g(X)是一个连续型随机变

量

,

它的概率密度为

其中，

x=h(y)是

y=g(x)的反函数下面我们用这个定理来解一个例题证X的概率密度为例6

设随机变量，试证明X

的线性函数也服从正态分布。的反函数为显然，满足定理条件所以即若函数y=g(x)在不相叠的区间上逐段满足上述定理条件（即分段单调可导），其反函数分别为则Y=g(x)是连续型随机变量，其概率密度为定理的推广：

作业

26，34，35（2）,（3）第二章习题1、设

,为随机变量

,

的分布函数.为使为一分布函数，在下列给定的各组数值中应取

A.

a=3/5,b=-2/5;

B.

a=2/3,b=2/3

C.

a=-1/2,b=3/2;

D.

a=1/2,b=-3/2

解:答案为

A提示:由得2、设且，求解:因为

所以因此解得（不合题意，舍去）故3、如果在时间t（分钟）内,某纺织工人看管的织布机断纱次数服从参数与t成正比的泊松分布.已知在一分钟内不出现断纱的概率为

0.2，求在2分钟内至少出现一次断纱的概率由已知，当t=1时，解:设X表示某纺织工人看管的织布机断纱次数,

则当t=2时解得故，2分钟内至少出现一次断纱的概率即解:

4、设随机变量X~U(-2,2)

，Y表示作独立重复m次试验中事件(X>0

)

发生的次数，则Y~＿＿

。提示:X落入区间(1,3)的概率最大5、设随机变量，当时

解:记即求为何值时，达到最大令得解得Poisson定理

设在n重贝努里试验中，以代表事件A在一次试验中发生的概率，它与试验总数n有关。若则Poisson定理的应用

—二项分布与泊松分布关系由Poisson定理，可知有令则当n比较大，p

比较小时说明当n≥20,p≤0.05

时，近似效果很好。6、设有80台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法：

其一，由4人维护，每人负责20

台；其二，由3

人，共同维护80

台试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。

解第一种方法：

以X记“第1人负责的20台中同一时刻发生故障的台数”，则X~B(20，0.01）以Ai表示事件“第i人负责的20台中发生故障不能及时维修”则80台中发生故障而不能及时维修的概率为故本问还可以用Poisson定理所得的近似公式计算：由于n=20,p=0.01,则λ=np=20×0.01=0.2因此故第二种方法：

以

Y记“80台中同一时刻发生故障的台数”