工程实际中的扭转问题

第三章扭转§3–1工程实际中的扭转问题§3–2扭转时的内力§3–3薄壁圆筒的扭转§3–4圆轴扭转时的应力和变形§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算§3–6非圆截面杆的扭转第三章扭转§3–1工程实际中的扭转问题第三章扭转§3–1工程实际中的扭转问题轴：以扭转为主要变形的工程构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。实例：汽车转向轴、机械传动轴、丝锥等§3–1工程实际中的扭转问题传动轴§3–1工程实际中的扭转问题扭转角（）：任意两截面绕轴线相对转动的角位移。剪应变（）：直角的改变量。mmOBA扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA§3–1工程实际中的扭转问题§3–1工程实际中的扭转问题箱式截面梁的扭转§3–2扭转时的内力第三章扭转§3–2扭转时的内力一、传动轴的外力偶矩其中：P—功率，千瓦（kW）n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，马力（PS）n—转速，转/分（rpm）1PS=735.5N·m/s,1HP=745.7N·m/s,1kW=1.36PS3扭矩的符号规定：二、扭矩及扭矩图

1扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。

2截面法求扭矩mmmTx右手螺旋法则：与外法线方向一直为正与外法线方向相反为负§3–2扭转时的内力4扭矩图：扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xT§3–2扭转时的内力例已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDm2

m3

m1

m4解：①计算外力偶矩§3–2扭转时的内力112233②求扭矩（扭矩按正方向设）nABCDm2

m3

m1

m4§3–2扭转时的内力③绘制扭矩图BC段为危险截面:nABCDm2

m3

m1

m49.56xT4.786.37––§3–2扭转时的内力第三章扭转§3–3薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：1.实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。§3–3薄壁圆筒的扭转2.实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。②各纵向线均倾斜了同一微小角度。③所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形。3.结论：§3–3薄壁圆筒的扭转①无正应力②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。分析图示截面上的应力：LR§3–3薄壁圆筒的扭转单元体上的应力如图所示：acddxbdy´´tzxyLR§3–3薄壁圆筒的扭转4.与的关系：LR§3–3薄壁圆筒的扭转二、薄壁圆筒切应力大小：

A0：平均半径所作圆的面积。§3–3薄壁圆筒的扭转三、切应力互等定理：

该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxbdy´´tzxy§3–3薄壁圆筒的扭转四、剪切虎克定律：

单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。acddxbdy´´tzxy§3–3薄壁圆筒的扭转T=m

剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。§3–3薄壁圆筒的扭转式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：§3–3薄壁圆筒的扭转第三章扭转§3–4圆轴扭转时的应力和变形等直圆杆横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面§3–4圆轴扭转时的应力和变形分析应力的方法：1.横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行线。一、等直圆杆扭转实验观察：§3–4圆轴扭转时的应力和变形1、在dx长度上，圆柱的两端面相对转过角度d2、若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱3、半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，半径越小者剪应变越小。§3–4圆轴扭转时的应力和变形二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：距圆心为任一点处的与到圆心的距离成正比。——扭转角沿轴线方向变化率。§3–4圆轴扭转时的应力和变形Ttmaxtmax2.物理关系：虎克定律：§3–4圆轴扭转时的应力和变形代入上式得：3.静力学关系：令代入物理关系式得：TOdA§3–4圆轴扭转时的应力和变形dA4.公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：

T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

—该点到圆心的距离。

Ip

—极惯性矩，与截面形状和尺寸有关的量。§3–4圆轴扭转时的应力和变形③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。对于实心圆截面：DdO§3–4圆轴扭转时的应力和变形对于空心圆截面：dOd§3–4圆轴扭转时的应力和变形D④应力分布tmaxtmaxT实心截面空心截面Ttmaxtmax§3–4圆轴扭转时的应力和变形由公式已知：长为

l一段杆两截面间相对扭转角为三.等直圆杆在扭转时的变形§3–4圆轴扭转时的应力和变形四、单位扭转角：或GIp

反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。§3–4圆轴扭转时的应力和变形第三章扭转§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算由知：当一.强度条件：§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算对于实心圆截面：对于空心圆截面：§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算强度条件：对于等截面圆轴：强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算二、刚度条件或[]称为许用单位扭转角。§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算例1某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率N1=500马力，输出功率分别N2=200马力及N3=300马力，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1º/m，试确定：

①AB段直径d1和BC段直径d2；②若全轴选同一直径，应为多少；③主动轮与从动轮如何安排合理？解：①扭矩如图

500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算由强度条件得：§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算由刚度条件得：500400N1N3N2ACBT–7.024–4.21(kNm)§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算

综上：②全轴选同一直径时§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应

该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才

为75mm。Tx–4.21(kNm)2.814§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比=0.5。二轴长度相同。例题2求:实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算解：首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算解：对于空心轴，算得d2＝0.5D2=23mm§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算解：确定实心轴与空心轴的重量之比空心轴D2＝46mmd2＝23mm实心轴d1=45mm长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算已知：P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm,d=50mm,d3=35mm.求:各轴横截面上的最大切应力。3例题3§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min3解：计算各轴的功率与转速§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算Mx1=T1=1114N.mMx2=T2=557N.mMx3=T3=185.7N.m3解：计算各轴的扭矩§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算3解：计算各轴的横截面上的最大切应力§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算例4某传动轴M1=1kNm，M2=0.7kNm，M3=0.3kNm，l1=l2=1.5m，d=50mm，G=80GPa，试求C截面相对A截面的扭转角？解：①扭矩图

Tx–0.70.3(kNm)§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算

l1M1M3M2ACBl2例4某传动轴M1=1kNm，M2=0.7kNm，M3=0.3kNm，l1=l2=1.5m，d=50mm，G=80GPa，试求C截面相对A截面的扭转角？解：②相对扭转角

Tx–0.70.3(kNm)§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算

l1M1M3M2ACBl2例4某传动轴M1=1kNm，M2=0.7kNm，M3=0.3kNm，l1=l2=1.5m，d=50mm，G=80GPa，试求C截面相对A截面的扭转角？解：②相对扭转角–0.70.3

Tx(kNm)§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算

l1M1M3M2ACBl2相对扭转角§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算例题5长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，G=80GPa，许用剪应力[]=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：①设计杆的外径§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算40NmxT代入数值得：D0.0226m。②由扭转刚度条件校核刚度§3–5圆轴扭转时的强度和刚度计算xT③右端面转角为：40Nm第三章扭转§3–6非圆截面杆的扭